Soubor hmotných bodů nebo těles, kdy poloha nebo pohyb každého bodu závisí na poloze nebo pohybu ostatních, se nazývá mechanický systém.
Vnější síly jsou ty, které působí na části (body) systému z bodů nebo těles, která nejsou součástí systému. Označeno jako .
Vnitřní síly jsou síly působící na body systému z bodů stejného systému. Jsou označeny jako .
Vnější a vnitřní síly mohou být aktivní nebo reakce vazeb, rozdělení sil na vnější a vnitřní je podmíněné a závisí na konkrétní úloze.
Vlastnosti vnitřních sil:
1. Hlavní vektor všech vnitřních sil soustavy je roven nule.
2. Hlavní moment všech vnitřních sil systému vzhledem k libovolnému středu nebo ose je roven nule:
První vlastnost je založena na pátém axiomu statiky, to znamená, že každá vnitřní síla odpovídá jiné vnitřní síle, která je jí rovna velikostí a směřuje opačně.
Druhá vlastnost je povrchně podobná rovnovážným podmínkám, i když tomu tak není, protože vnitřní síly působí na různé body systému a mohou způsobit relativní pohyby.
Pohyb soustavy závisí na její celkové hmotnosti a jejím rozložení. Každý bod soustavy s hmotností lze charakterizovat svým poloměrovým vektorem.
Těžištěm systému je bod C, jehož vektor poloměru je určen vzorcem:
kde hmotnost systému je rovna aritmetickému součtu hmotností všech bodů systému.
Rozložení hmot lze posuzovat podle polohy těžiště. Dosazení do vzorců pro souřadnice těžiště (7.2.2); P = Mg, dostáváme
Poloha těžiště soustavy (neboli těžiště setrvačnosti) v každém časovém okamžiku závisí pouze na poloze a hmotnosti každého bodu soustavy.
Těžiště systému se shoduje s jejich těžištěm. Pojem těžiště je použitelný pro tuhá tělesa a pojem těžiště je použitelný pro jakékoli systémy bodů nebo těles.
Protože poloha těžiště soustavy úplně necharakterizuje rozložení hmot, zavádí se další veličina - moment setrvačnosti.
Moment setrvačnosti soustavy (tělesa) vzhledem k ose (axiální moment setrvačnosti) je skalární veličina rovna součtu součinů hmotností všech bodů (těles) soustavy druhých mocnin jejich vzdáleností od tato osa.
Nechť je to osa Oz. Pak
Axiální moment je mírou setrvačnosti soustavy bodů (těles) při rotačním pohybu, rozměr: v soustavě SI jednotek - .
Ve vyjádření pomocí souřadnic bude zapsán osový moment setrvačnosti J vzhledem k osám:
Poloměr setrvačnosti tělesa vzhledem k ose (Oz) je lineární veličina určená závislostí
kde M je hmotnost tělesa, je vzdálenost od osy Oz k bodu, ve kterém je nutné soustředit celou hmotnost M tělesa tak, aby moment setrvačnosti tohoto bodu vůči této ose byl roven moment setrvačnosti těla.
Momenty setrvačnosti kolem os (15.3.1) závisí na volbě těchto os a jsou u těchto os různé.
Huygens ukázal, že když znáte moment setrvačnosti kolem jakékoli jedné osy, můžete jej najít vzhledem k jakékoli jiné ose rovnoběžné s ní (obr. 75 
)
Narýsujme osy Cx"y"z" procházející těžištěm C tělesa a bodem O - xyz, vzájemně rovnoběžné.
Označme vzdálenost OS d. Pak:
Na pravé straně rovnice (15.3.6) je prvním součtem vztah (15.3.5). druhý součet je hmotnost tělesa M. Protože bod C je těžištěm, z rovnice (15.2.2) dostaneme
ale bod C je také počátkem souřadnic, kde = 0, to znamená, že třetí součet je nula. Tak
Toto je analytické vyjádření Huygensovy věty: Moment setrvačnosti tělesa kolem dané osy se rovná momentu setrvačnosti kolem osy rovnoběžné s ní, procházející těžištěm tělesa, plus součin hmotnost celého tělesa a čtverec vzdálenosti mezi osami.
Tuhé těleso je v mechanice chápáno jako soustava hmotných bodů, jejichž vzdálenost mezi libovolnými dvěma body zůstává při pohybu nezměněna. Proto všechny výsledky získané v předchozích tématech („Dynamika hmotného bodu“, „Zákon zachování hybnosti“, „Zákon zachování energie“ a „Zákon zachování momentu hybnosti“) pro soustavu hmotných bodů jsou použitelné i na pevné těleso.
Moment setrvačnosti tuhého tělesa
Moment setrvačnosti je veličina, která závisí na rozložení hmot v tělese a je spolu s hmotností mírou setrvačnosti tělesa při netranslačním pohybu. Když se tuhé těleso otáčí kolem pevné osy, moment setrvačnosti tělesa vzhledem k této ose je určen výrazem
Kde 
- elementární tělesné hmotnosti; 
- jejich vzdálenosti od osy otáčení.
Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k libovolné ose lze zjistit výpočtem. Pokud je hmota v tělese distribuována spojitě, pak se výpočet momentu setrvačnosti redukuje na výpočet integrálu
,
(1)
Kde 
– hmotnost prvku těla umístěného ve vzdálenosti 
od osy našeho zájmu. Integrace musí být provedena po celém objemu těla.
Analytický výpočet takových integrálů je možný pouze v nejjednodušších případech těles pravidelného geometrického tvaru.
Pokud je znám moment setrvačnosti tělesa kolem jakékoli osy, můžete najít moment setrvačnosti kolem jakékoli jiné osy rovnoběžné s touto osou. Pomocí Steinerovy věty, podle které moment setrvačnosti tělesa 
vzhledem k libovolné ose se rovná součtu momentu setrvačnosti tělesa vůči ose procházející těžištěm tělesa 
a rovnoběžné s danou osou a součin tělesné hmoty T na čtverec vzdálenosti mezi osami 
:
(2)
Výpočet momentu setrvačnosti tělesa vzhledem k ose lze často zjednodušit tím, že nejprve vypočítáme moment setrvačnosti o bod. Moment setrvačnosti tělesa vůči samotnému bodu nehraje v dynamice žádnou roli. Jde o čistě pomocný koncept, který slouží ke zjednodušení výpočtů.
Uvažujme nějaký bod tuhého tělesa s hmotností 
a se souřadnicemi 
vzhledem k pravoúhlému souřadnicovému systému (obr. 1). Čtverce jeho vzdáleností k souřadnicovým osám 
jsou si rovny resp 
a momenty setrvačnosti kolem stejných os
(3)
Sečtení těchto rovností a sečtení přes celý objem tělesa
(5)
Kde 
– moment setrvačnosti tělesa vzhledem k bodu.
Z tohoto výrazu můžeme získat vztah mezi momenty setrvačnosti plochého tělesa vůči osám 
. Nechť je hmotnost plochého tělesa soustředěna v rovině 
těch. koordinovat 
jakýkoli bod takového tělesa je roven nule, pak od
rovnic (3) a (4) z toho vyplývá
(6)
Rotace tuhého tělesa kolem pevné osy
Uvažujme pevné těleso hmoty 
, rotující kolem pevné osy s úhlovou rychlostí 
. Abychom získali rovnici popisující tento pohyb, použijeme momentovou rovnici kolem osy získanou v části „Zákon zachování momentu hybnosti“
,
(7)
Připomeňte si to v této rovnici 
A 
– moment hybnosti a moment síly kolem osy, kolem které se tuhé těleso otáčí.
Moment hybnosti určitého bodu hmotného tělesa 
rotující v kruhu o poloměru 
s rychlostí 
, je roven
Součet přes celý objem těla, s přihlédnutím k tomu 
dostaneme
Moment hybnosti tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy je tedy roven součinu momentu setrvačnosti tělesa vůči této ose a jeho úhlové rychlosti.
Dosazením výsledného výrazu do (7) získáme rovnici dynamiky tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy,
nebo 
(8)
Kde 
– úhlové zrychlení těla.
Najděte kinetickou energii rotujícího tělesa. K tomu sečteme kinetické energie jeho jednotlivých částí po celém objemu tělesa.
(9)
Když známe závislost momentu sil působících na těleso na úhlu natočení, můžeme najít práci těchto sil, když se těleso otáčí o konečný úhel. 
.
Nechť je pevné tělo. Zvolme nějakou přímku OO (obr. 6.1), kterou budeme nazývat osa (přímka OO může být mimo těleso). Rozdělme těleso na elementární úseky (hmotné body) s hmotností 
umístěn v určité vzdálenosti od osy 
respektive.
Moment setrvačnosti hmotného bodu vzhledem k ose (OO) je součin hmotnosti hmotného bodu druhou mocninou jeho vzdálenosti k této ose:
. (6.1)
Moment setrvačnosti (MI) tělesa vzhledem k ose (OO) je součtem součinů hmotností elementárních řezů tělesa druhou mocninou jejich vzdálenosti k ose:
. (6.2)
Jak vidíte, moment setrvačnosti tělesa je aditivní veličina - moment setrvačnosti celého tělesa vůči určité ose je roven součtu momentů setrvačnosti jeho jednotlivých částí vůči stejné ose.
V tomto případě
.
Moment setrvačnosti se měří v kgm2. Protože
, (6.3)
kde
- hustota látky, 
- hlasitost i- tedy oddíl
,
nebo přechod na nekonečně malé prvky,
. (6.4)
Pro výpočet MI homogenních těles pravidelného tvaru vzhledem k ose symetrie procházející těžištěm tělesa je vhodné použít vzorec (6.4). Například pro MI válce vzhledem k ose procházející těžištěm rovnoběžně s tvořící čárou tento vzorec dává
,
Kde T- hmotnost; R- poloměr válce.
Steinerův teorém poskytuje velkou pomoc při výpočtu MI těles vzhledem k určitým osám: MI těles já vzhledem k jakékoli ose se rovná součtu MI tohoto tělesa já C vzhledem k ose procházející těžištěm tělesa a rovnoběžné s daným a součin hmotnosti tělesa druhou mocninou vzdálenosti d mezi uvedenými osami:
. (6.5)
Moment síly kolem osy
Nechte sílu působit na těleso F. Předpokládejme pro jednoduchost, že síla F leží v rovině kolmé k nějaké přímce OO (obr. 6.2, A), kterou budeme nazývat osa (např. jde o osu rotace tělesa). Na Obr. 6.2, A
A- místo působení síly F,
- průsečík osy s rovinou, ve které leží síla; r- vektor poloměru definující polohu bodu A vzhledem k bodu O";
Ó"B
= b
-
rameno síly. Rameno síly vzhledem k ose je nejmenší vzdálenost od osy k přímce, na které leží vektor síly F(délka kolmice nakreslené z bodu 
na tento řádek).
Moment síly vzhledem k ose je vektorová veličina definovaná rovností
. (6.6)
Modul tohoto vektoru je . Někdy se proto říká, že moment síly kolem osy je součinem síly a jejího ramene.
Pokud síla F je nasměrován libovolně, pak jej lze rozložit na dvě složky; 
A 
(obr. 6.2, b), tj. 
+
, Kde 
- součást směřující rovnoběžně s osou OO a 
leží v rovině kolmé k ose. V tomto případě pod momentem síly F vzhledem k ose OO rozuměj vektoru
. (6.7)
V souladu s výrazy (6.6) a (6.7) je vektor M směrováno podél osy (viz obr. 6.2, A,b).
Hybnost tělesa vzhledem k ose rotace
P 
Nechte těleso rotovat kolem určité osy OO úhlovou rychlostí 
. Pojďme mentálně rozložit toto tělo na elementární sekce s hmotností 
, které jsou umístěny od osy, respektive ve vzdálenostech 
a otáčejí se v kruzích s lineárními rychlostmi 
Je známo, že hodnota je stejná 
- existuje impuls i-spiknutí. moment impulsu i-řez (bod materiálu) vzhledem k ose otáčení se nazývá vektor (přesněji pseudovektor)
, (6.8)
Kde r i– vektor poloměru definující polohu i- plocha vzhledem k ose.
Moment hybnosti celého tělesa vzhledem k ose otáčení se nazývá vektor
(6.9)
jehož modul 
.
V souladu s výrazy (6.8) a (6.9) jsou vektory
A 
směrováno podél osy otáčení (obr. 6.3). Je snadné ukázat, že moment hybnosti tělesa L vzhledem k ose otáčení a momentu setrvačnosti já tohoto tělesa vzhledem ke stejné ose jsou vztaženy vztahem
. (6.10)
DEFINICE
Fyzikální veličina, která je mírou setrvačnosti tělesa rotujícího kolem osy, se nazývá moment setrvačnosti tělesa (J).
Toto je skalární (obecně tenzorová) veličina.
kde jsou hmotnosti hmotných bodů, na které je těleso rozděleno; druhou mocninou vzdáleností od bodu materiálu k ose otáčení.
Pro spojité homogenní těleso rotující kolem osy je moment setrvačnosti často definován jako:
kde r je funkcí polohy hmotného bodu v prostoru; - hustota těla; - objem tělesného prvku.
Tenzor setrvačnosti
Sada hodnot:
nazývaný tenzor setrvačnosti. Diagonální tenzorové prvky: . Tenzor setrvačnosti je symetrický.
Nechť jsou všechny nediagonální prvky tenzoru rovny nule, pouze diagonální složky se rovnají nule. Pak zapíšeme tenzor jako:
V tomto případě se osy tělesa shodují s osami souřadnic a jsou hlavními osami setrvačnosti. množství:
se nazývají hlavní momenty setrvačnosti. Tenzor ve tvaru (4) je znázorněn v diagonální podobě. Momenty setrvačnosti umístěné mimo hlavní diagonálu matrice (3) se nazývají odstředivé. Pokud osy souřadného systému směřují podél hlavních os setrvačnosti tělesa, pak jsou odstředivé momenty setrvačnosti rovny nule.
Pokud hlavní osy procházejí těžištěm těla, pak se nazývají centrální hlavní osy a tenzor se nazývá centrální tenzor.
Hlavní osy pro tělo není vždy snadné najít. Někdy ale stačí použít úvahy o symetrii. Takže v kouli vzhledem k libovolnému bodu lze hlavní osy najít takto. Jedna z hlavních os prochází středem koule, další dvě jsou orientovány libovolně v rovině, která je kolmá na první osu.
Složky momentu setrvačnosti pevného tělesa vzhledem k osám kartézského souřadnicového systému jsou definovány jako:
kde jsou souřadnice prvku tělesné hmotnosti (), který má objem .
Moment setrvačnosti pevného tělesa závisí na tvaru tělesa a rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení.
Hodnoty se rovnají:
se nazývají poloměry setrvačnosti tělesa vzhledem k odpovídajícím osám souřadného systému.
Steinerova věta
V některých případech výpočet momentu setrvačnosti značně usnadňuje znalost Steinerovy věty (někdy nazývané Huygensova věta): Moment setrvačnosti tělesa (J) vůči libovolné ose je roven momentu setrvačnosti vůči ose. , který je tažen těžištěm dotyčného tělesa (), plus součin hmotnosti tělesa (m ) a vzdálenosti mezi osami na druhou, pokud jsou osy rovnoběžné:
Příklady řešení problémů
PŘÍKLAD 1
| Cvičení | Určete moment setrvačnosti homogenního válce (J) o poloměru R a výšce H vzhledem k ose Z, která se shoduje s vlastní osou. |
| Řešení | A tak osa otáčení Z směřuje podél osy válce, počátek souřadného systému nechť je uprostřed výšky uvažovaného tělesa (obr. 1). Relativní k ose Z v kartézském souřadnicovém systému se rovná: Protože hustota válce je konstantní, zapíšeme integrál (1.1) jako: kde S je plocha průřezu válce. Nejvhodnější je vypočítat integrál (1.2) ve válcovém souřadnicovém systému, jehož osa směřuje podél osy Z. Pak získáme: Pomocí rovnosti (1.3) transformujeme integrál (1.2) do tvaru: |
Moment setrvačnosti tělesa (soustavy) vůči dané ose Oz (neboli osový moment setrvačnosti) je skalární veličina, která se liší od součtu součinů hmotností všech bodů tělesa (soustavy) druhé mocniny jejich vzdáleností od této osy:
Z definice vyplývá, že moment setrvačnosti tělesa (nebo soustavy) vzhledem k libovolné ose je kladná veličina a nerovná se nule.
V budoucnu se ukáže, že axiální moment setrvačnosti hraje při rotačním pohybu tělesa stejnou roli jako hmota při translačním pohybu, tj. že axiální moment setrvačnosti je mírou setrvačnosti tělesa při rotačním pohybu. pohyb.
Podle vzorce (2) je moment setrvačnosti tělesa roven součtu momentů setrvačnosti všech jeho částí vzhledem ke stejné ose. Pro jeden hmotný bod umístěný ve vzdálenosti h od osy, . Jednotkou měření momentu setrvačnosti v SI bude 1 kg (v systému MKGSS - ).
Pro výpočet osových momentů setrvačnosti lze vzdálenosti bodů od os vyjádřit pomocí souřadnic těchto bodů (např. bude druhá mocnina vzdálenosti od osy Ox atd.).
Potom budou momenty setrvačnosti kolem os určeny podle vzorců:
Při výpočtech se často používá koncept poloměru otáčení. Poloměr setrvačnosti tělesa vzhledem k ose je lineární veličina určená rovností
kde M je tělesná hmotnost. Z definice vyplývá, že poloměr setrvačnosti je geometricky roven vzdálenosti od osy bodu, ve kterém se musí soustředit hmota celého tělesa tak, aby moment setrvačnosti tohoto jednoho bodu byl roven momentu setrvačnosti. celého těla.
Když znáte poloměr setrvačnosti, můžete použít vzorec (4) k nalezení momentu setrvačnosti těla a naopak.
Vzorce (2) a (3) platí jak pro tuhé těleso, tak pro jakýkoli systém hmotných bodů. V případě pevného tělesa jeho rozbitím na elementární části zjistíme, že v limitě se součet v rovnosti (2) změní v integrál. V důsledku toho, vezmeme-li v úvahu, že kde je hustota a V je objem, dostaneme
Integrál zde zasahuje do celého objemu V tělesa a hustota a vzdálenost h závisí na souřadnicích bodů tělesa. Podobně mají formu vzorce (3) pro pevná tělesa
Vzorce (5) a (5) je vhodné použít při výpočtu momentů setrvačnosti homogenních těles pravidelného tvaru. V tomto případě bude hustota konstantní a bude ležet mimo znaménko integrálu.
Najděte momenty setrvačnosti některých homogenních těles.
1. Tenká homogenní tyč délky l a hmotnosti M. Vypočítejme její moment setrvačnosti vzhledem k ose kolmé k tyči a procházející jejím koncem A (obr. 275). Nasměrujme souřadnicovou osu podél AB. Potom pro libovolný elementární segment délky d je hodnota , a hmotnost je , kde je hmotnost jednotky délky tyče. Výsledkem je, že vzorec (5) dává
Nahrazení zde svou hodnotou nakonec najdeme
2. Tenký kulatý homogenní prstenec o poloměru R a hmotnosti M. Najděte jeho moment setrvačnosti vzhledem k ose kolmé k rovině prstence a procházející jeho středem C (obr. 276).
Protože všechny body prstence jsou umístěny v určité vzdálenosti od osy, dává vzorec (2).
Proto pro prsten
Je zřejmé, že stejný výsledek bude získán pro moment setrvačnosti tenkého válcového pláště o hmotnosti M a poloměru R vzhledem k jeho ose.
3. Kruhová homogenní deska nebo válec o poloměru R a hmotnosti M. Vypočítejme moment setrvačnosti kruhové desky vzhledem k ose kolmé k desce a procházející jejím středem (viz obr. 276). K tomu vybereme elementární prstenec s poloměrem a šířkou (obr. 277, a). Plocha tohoto prstence je a hmotnost je kde je hmotnost na jednotku plochy desky. Potom podle vzorce (7) pro vybraný elementární prstenec bude a pro celou desku
