بيت عجلات "عناصر" إقليدس. عرض تقديمي حول موضوع "إقليدس و"بداياته"

عجلات

"عناصر" إقليدس. عرض تقديمي حول موضوع "إقليدس و"بداياته"

إقليدس

تم تنفيذ المشروع

طالب الصف 7B

فيليبوفا آنا

إقليدس- عالم رياضيات يوناني قديم، مؤلف أول أطروحة نظرية عن الرياضيات وصلت إلينا. معلومات السيرة الذاتية عن إقليدس نادرة للغاية. الشيء الوحيد الذي يمكن اعتباره موثوقًا هو أن نشاطه العلمي حدث في الإسكندرية في القرن الثالث. قبل الميلاد ه.

عناصر إقليدس

العمل الرئيسي لإقليدس يسمى

البدايات. الكتب التي تحمل نفس العنوان

التي تحدد باستمرار

جميع الحقائق الأساسية للهندسة و

الحساب النظري، جمعت

سابقًا أبقراط خيوس , ليونتيسو

فيفديم. لكن البداياتإقليدس

نزحت كل هذه الكتابات من

الحياة اليومية ولأكثر من اثنين

ظلت أساسية لآلاف السنين

كتاب الهندسة المدرسية. خلق الخاص بك

كتاب مدرسي، وقد أدرج إقليدس فيه الكثير

مما خلق منه

أسلافه، بعد معالجة هذا

المواد وجمعها

البداياتتتكون من ثلاثة عشر كتابا. تسبق الكتب الأولى وبعض الكتب الأخرى قائمة من التعريفات. الكتاب الأول يسبقه أيضًا قائمة من المسلمات والبديهيات. عادة، الافتراضاتتحديد الإنشاءات الأساسية (على سبيل المثال، "من المطلوب أنه يمكن رسم خط مستقيم من خلال أي نقطتين")، و البديهيات- قواعد الاستدلال العامة عند التعامل مع الكميات (على سبيل المثال، "إذا كانت كميتان تساويان الثلث، فإنهما متساويان").

تمت في الكتاب الأول دراسة خواص المثلثات ومتوازيات الأضلاع؛ وقد توج هذا الكتاب بنظرية فيثاغورس الشهيرة للمثلثات القائمة. الكتاب الثاني، الذي يعود إلى الفيثاغوريين، مخصص لما يسمى "الجبر الهندسي". يصف الكتابان الثالث والرابع هندسة الدوائر، بالإضافة إلى المضلعات المنقوشة والمحدودة؛ عند العمل على هذه الكتب، كان من الممكن أن يستخدم إقليدس هذه الأعمال أبقراط خيوس

ويقدم الكتاب الخامس النظرية العامة للنسب، مبنية يودوكسوس من كنيدوس، وفي الكتاب السادس مرفق بنظرية الشخصيات المتشابهة. الكتب من السابع إلى التاسع مخصصة لنظرية الأعداد وتعود إلى الفيثاغوريين؛ ربما كان مؤلف الكتاب الثامن أرخيتاس تارانتوم.تدرس هذه الكتب نظريات النسب والتقدم الهندسي، وتقدم طريقة للعثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين، وتبني حتى الأرقام المثالية، تم إثبات لانهاية المجموعة الأعداد الأولية. في كتاب X، وهو الجزء الأكثر ضخامة وتعقيدا بدأ، يتم إنشاء تصنيف اللاعقلانية؛ فمن الممكن أن مؤلفها هو ثياتيتوس أثينا .

يحتوي الكتاب الحادي عشر على أساسيات القياس المجسم. في الكتاب الثاني عشر، باستخدام طريقة الاستنفاد، تم إثبات النظريات حول نسب مساحات الدوائر، وكذلك أحجام الأهرامات والأقماع؛ مؤلف هذا الكتاب هو باعتراف الجميع يودوكسوس من كنيدوس. أخيرًا، تم تخصيص الكتاب الثالث عشر لبناء خمسة متعددات وجوه منتظمة؛ ويعتقد أن بعض الإنشاءات قد تم تطويرها ثياتيتوس أثينا.

ولد عالم الرياضيات اليوناني القديم البارز إقليدس في ميغارا، وهي بلدة يونانية صغيرة. لا نعرف سوى القليل عن حياته، حتى أن تاريخ ميلاد هذا الرجل ووفاته غير معروف. وتشير عادة إلى القرن الرابع قبل الميلاد فقط، عندما ولد، وإلى القرن الثالث قبل الميلاد، ذروة نشاطه في الإسكندرية، عاصمة مصر في عهد الأسرة البطلمية اليونانية المقدونية. وفي العالم القديم، لم يكن للبطالمة مثيل في رعايتهم للعلماء والكتاب والمخترعين والشعراء. ومن المعروف أنه كان تلميذا لأفلاطون.

في أحد الأيام، سأل الملك بطليموس إقليدس عما إذا كانت هناك طريقة أخرى لفهم الهندسة أقل صعوبة من تلك التي حددها العالم في كتابه "العناصر". أجاب إقليدس: " أيها الملك، في الهندسة ليس هناك طرق ملكية ».

لفترة طويلة، اعتقد العلماء أنه لا توجد شخصية تاريخية محددة، وأن مجموعة من علماء الرياضيات يختبئون تحت اسم إقليدس. ومع ذلك، تم العثور على دليل على وجودها في مخطوطة من القرن الثاني عشر تم العثور عليها. انتهى الأمر بإقليدس في الإسكندرية كمدرس في Museion، أي. حرفيا "دار الموسيقى"، وفي الواقع - النموذج الأولي للجامعات الأوروبية المستقبلية. في هذه المدينة الرائعة، أنشأ إقليدس عمله "العناصر" (أو "العناصر" في شكل لاتيني). تحتوي الكتب الخمسة عشر للعناصر على أهم إنجازات الرياضيات القديمة تقريبًا. لأكثر من ألفي عام، ظل عمل إقليدس هو العمل الرئيسي في الرياضيات الابتدائية. لكن إنجاز إقليدس لا يكمن فقط في حقيقة أنه اكتشف القوانين والنظريات، ولكن أيضًا في حقيقة أن عالم الرياضيات العظيم أدخل إلى النظام مادة نظرية متباينة وواسعة النطاق ورتبها في مثل هذا التسلسل بحيث تتبع كل نظرية من النظرية السابقة. لقد أعطى أول نظام من البديهيات - أقوال مقبولة بدون دليل. حقيقة أن الرياضيات تسمى أكثر العلوم دقة هي ميزة كبيرة لإقليدس.
الآن دعونا نتحدث عن ماهية اكتشافات إقليدس بالضبط.

تم عرض أساسيات الجبر الهندسي (علم حساب القطع والمساحات) في الكتاب الأول"بدأ". يتم النظر في القطاعات وتحديد العمليات الحسابية عليها. على سبيل المثال، تمت إضافة جزأين بوضع أحدهما بجانب الآخر، وطرحهما عن طريق إزالة الجزء الأكبر من الجزء الأصغر الذي يساوي الجزء الأصغر. حساب التفاضل والتكامل، المحدد في الجبر الهندسي، كان "المستوى". تتألف المرحلة الأولى من شرائح، والثانية - المناطق، والثالثة - المجلدات. الأدوات التي سمح لها بتنفيذ الإنشاءات في الجبر الهندسي كانت البوصلة والمسطرة.
في الكتاب الثانييتم دراسة الخصائص الأساسية للمثلثات والمستطيلات ومتوازيات الأضلاع ومقارنة مساحاتها. وينتهي الكتاب بنظرية فيثاغورس.
في الكتاب الثالثيتم النظر في خصائص الدائرة وظلالها وأوتارها (تمت دراسة هذه المشكلات بواسطة أبقراط خيوس في النصف الثاني من القرن الخامس قبل الميلاد).

في عام 1739 تمت ترجمة كتاب "البدايات" إلى اللغة الروسية. وهنا الصفحة الأولى من الكتاب الأول.

في الكتاب الرابع- المضلعات المنتظمة. في الكتاب الخامستم تقديم النظرية العامة للعلاقات الكمية التي أنشأها Eudoxus of Cnidus؛ يمكن اعتباره نموذجًا أوليًا لنظرية الأعداد الحقيقية، التي تم تطويرها فقط في النصف الثاني من القرن التاسع عشر. النظرية العامة للعلاقات هي أساس عقيدة التشابه (الكتاب السادس) وطريقة الاستنفاد (الكتاب السابع)، والتي يعود تاريخها أيضًا إلى أودوكسوس. في الكتب السابع إلى التاسعيتم عرض بدايات نظرية الأعداد، بالاعتماد على خوارزمية إيجاد القاسم المشترك الأكبر أو الخوارزمية الإقليدية. تتضمن هذه الكتب نظرية قابلية القسمة، بما في ذلك النظريات حول تفرد تحليل العدد الصحيح إلى عوامل أولية وعلى اللانهاية لعدد الأعداد الأولية؛ كما أنه يشرح عقيدة نسبة الأعداد الصحيحة المشابهة لنظرية الأعداد العقلانية (الإيجابية). في الكتاب العاشرتم تقديم تصنيف لللاعقلانية التربيعية والتربيعية وتم إثبات بعض القواعد الخاصة بتحويلها. تُستخدم نتائج الكتاب العاشر في الكتاب الثالث عشر للعثور على أطوال حواف متعددات الوجوه المنتظمة. جزء كبير الكتب العاشر والثالث عشر(ربما السابع) ينتمي إلى ثياتيتوس (أوائل القرن الرابع قبل الميلاد). في الكتاب الحادي عشرتم توضيح أساسيات القياس المجسم.
في الكتاب الثاني عشرباستخدام طريقة الاستنفاد، يتم تحديد نسبة مساحات الدائرتين ونسبة أحجام الهرم والمنشور والمخروط والأسطوانة. تم إثبات هذه النظريات لأول مرة بواسطة Eudoxus.
وأخيرا، في الكتاب الثالث عشرتم تحديد النسبة بين حجم الكرتين، وتم بناء خمس متعددات وجوه منتظمة، وثبت عدم وجود أجسام منتظمة أخرى.
أضاف علماء الرياضيات اليونانيون اللاحقون إلى عناصر إقليدس الكتب الرابع عشر والخامس عشروالتي لا تنتمي إلى إقليدس. وغالبًا ما يتم نشرها الآن مع النص الرئيسي لـ "المبادئ". يتم النظر في القطاعات وتحديد العمليات الحسابية عليها.

جزء من أقدم بردية تحتوي على مخططات من كتاب عناصر الهندسة لإقليدس

تم بناء القلعة (قلعة العصور الوسطى). الثاني عشر قرن

مسجد المرسي ابو العباس الإسكندرية .

الغردقة. قصر 1000 وليلة واحدة. الإسكندرية

خليج الإسكندرية

شريحة 1

يوكليد (ج. 365 - 300 قبل الميلاد)

معرض لعلماء الرياضيات العظماء

من إعداد مدرس الرياضيات في المؤسسة التعليمية البلدية بالمدرسة الثانوية رقم 36 في كالينينغراد كوفالتشوك لاريسا ليونيدوفنا

الشريحة 2

لا يُعرف شيء تقريبًا عن حياة هذا العالم. لم يصل إلينا سوى عدد قليل من الأساطير عنه. لم يتمكن بروكلس (القرن الخامس الميلادي)، أول معلق على العناصر، من تحديد أين ومتى ولد ومات إقليدس. وبحسب بروكلس، فإن “هذا الرجل المتعلم” عاش في عهد بطليموس الأول. وقد تم حفظ بعض بيانات السيرة الذاتية على صفحات مخطوطة عربية من القرن الثاني عشر: “إقليدس بن نوكراتس، المعروف باسم “جيومترا”، وهو عالم قديم، يوناني الأصل، سوري الأصل، أصله صوري».

الشريحة 3

تقول إحدى الأساطير أن الملك بطليموس قرر أن يدرس الهندسة. ولكن اتضح أن هذا ليس بالأمر السهل. ثم دعا إقليدس وطلب منه أن يدله على طريق سهل إلى الرياضيات. أجابه العالم: "لا يوجد طريق ملكي للهندسة". هكذا جاء إلينا هذا التعبير الشعبي في شكل أسطورة.

الشريحة 4

الملك بطليموس الأول، من أجل تمجيد دولته، اجتذب العلماء والشعراء إلى البلاد، وأنشأ لهم معبدًا للموسيقى - موسيون. كانت هناك غرف للدراسة، وحدائق نباتية وحيوانية، ومكتب فلكي، وبرج فلكي، وغرف للعمل الفردي، والأهم من ذلك، مكتبة رائعة. وكان من بين العلماء المدعوين إقليدس الذي أسس مدرسة رياضية في الإسكندرية عاصمة مصر، وكتب أعماله الأساسية لطلابها.

الشريحة 5

في الإسكندرية أسس إقليدس مدرسة رياضية وكتب عملاً عظيماً في الهندسة، متحدًا تحت العنوان العام "العناصر" - العمل الرئيسي في حياته. ويعتقد أنها كتبت حوالي عام 325 قبل الميلاد. لقد فعل أسلاف إقليدس - طاليس وفيثاغورس وأرسطو وآخرون - الكثير لتطوير الهندسة. ولكن كل هذه كانت شظايا منفصلة، وليس مخططا منطقيا واحدا.

الشريحة 6

انجذب كل من معاصري إقليدس وأتباعه إلى الطبيعة المنهجية والمنطقية للمعلومات المقدمة. يتألف كتاب "المبادئ" من ثلاثة عشر كتاباً، مبنية وفق مخطط منطقي واحد. يبدأ كل كتاب من الكتب الثلاثة عشر بتعريف المفاهيم (النقطة، الخط، المستوى، الشكل، إلخ) المستخدمة فيه، ومن ثم، بناءً على عدد قليل من الأحكام الأساسية (5 بديهيات و5 مسلمات)، يتم قبولها بدون دليل، تم بناء النظام بأكمله الهندسة.

الشريحة 7

في ذلك الوقت، لم يكن تطور العلم يعني وجود أساليب الرياضيات العملية. غطت الكتب من الأول إلى الرابع الهندسة، ويعود محتواها إلى أعمال مدرسة فيثاغورس. في الكتاب الخامس، تم تطوير عقيدة النسب، التي كانت مجاورة لـ Eudoxus of Cnidus. تحتوي الكتب من السابع إلى التاسع على عقيدة الأعداد التي تمثل تطور المصادر الأولية لفيثاغورس. تحتوي الكتب من X إلى XII على تعريفات للمناطق في المستوى والفضاء (القياس المجسم)، ونظرية اللاعقلانية (خاصة في الكتاب العاشر)؛ يحتوي الكتاب الثالث عشر على دراسات عن الأجسام العادية، تعود إلى ثياتيتوس.

الشريحة 8

رافائيل سانتي، إقليدس، التفاصيل 1508-11، لوحة جدارية "مدرسة أثينا"، ستانز ديلا سيجناتورا، الفاتيكان، روما، إيطاليا

الشريحة 9

"مبادئ" إقليدس هي عرض للهندسة التي لا تزال معروفة حتى اليوم تحت اسم الهندسة الإقليدية. فهو يصف الخصائص المترية للفضاء، والتي يطلق عليها العلم الحديث الفضاء الإقليدي. الفضاء الإقليدي هو ساحة الظواهر الفيزيائية للفيزياء الكلاسيكية، والتي وضع أسسها جاليليو ونيوتن. هذا الفضاء فارغ، لا حدود له، متناحٍ، له ثلاثة أبعاد. أعطى إقليدس اليقين الرياضي للفكرة الذرية المتمثلة في الفضاء الفارغ الذي تتحرك فيه الذرات. أبسط كائن هندسي لإقليدس هو النقطة، والتي يعرفها بأنها شيء لا يحتوي على أجزاء. وبعبارة أخرى، النقطة هي ذرة غير قابلة للتجزئة من الفضاء.

الشريحة 10

تتميز لا نهاية الفضاء بثلاث مسلمات: "يمكن رسم خط مستقيم من أي نقطة إلى أي نقطة". "يمكن تمديد الخط المستقيم المحدد بشكل مستمر على طول خط مستقيم." "يمكن وصف الدائرة من أي مركز وبأي حل."

الشريحة 11

عقيدة المتوازيات والمسلمة الخامسة الشهيرة (”إذا كان الخط المستقيم الذي يقع على خطين مستقيمين يشكل زاويتين داخليتين وعلى أحد جانبيه أقل من زاويتين قائمتين، ثم ممتد إلى ما لا نهاية فإن هذين الخطين المستقيمين سيلتقيان على الجانب الذي تكون فيه الزوايا أقل من زاويتين قائمتين") تحدد خصائص الفضاء الإقليدي وهندسته، التي تختلف عن الأشكال الهندسية غير الإقليدية.

الشريحة 12

يُقال عادةً عن العناصر أنها، بعد الكتاب المقدس، هي النصب التذكاري المكتوب الأكثر شهرة في العصور القديمة. الكتاب له تاريخه الخاص والرائع للغاية. لمدة ألفي عام كان كتابًا مرجعيًا لأطفال المدارس وتم استخدامه كدورة أولية في الهندسة. كانت العناصر شائعة للغاية، وتم عمل نسخ عديدة منها بواسطة الكتبة المجتهدين في مدن وبلدان مختلفة. في وقت لاحق، تم نقل "المبادئ" من ورق البردي إلى الرق، ثم إلى الورق، وعلى مدى أربعة قرون، تم نشر "المبادئ" 2500 مرة: في المتوسط، تم نشر 6-7 طبعات سنويا. حتى القرن العشرين، كان الكتاب يعتبر الكتاب المدرسي الرئيسي في الهندسة ليس فقط للمدارس، ولكن أيضا للجامعات.

الشريحة 13

تمت دراسة "مبادئ" إقليدس بدقة من قبل العرب ومن ثم من قبل العلماء الأوروبيين. وقد تمت ترجمتها إلى لغات العالم الرئيسية. تمت طباعة النسخ الأصلية الأولى في عام 1533 في بازل، ومن الغريب أن الترجمة الأولى إلى اللغة الإنجليزية، والتي يعود تاريخها إلى عام 1570، قام بها هنري بيلينجواي، ويمتلك التاجر اللندني إقليدس أعمالًا رياضية محفوظة جزئيًا، وقد تم إعادة بنائها جزئيًا خوارزمية للحصول على القاسم المشترك الأكبر عددين طبيعيين تم اختيارهما بشكل عشوائي وخوارزمية تسمى "عد إراتوستينس" للعثور على الأعداد الأولية من رقم معين.

الشريحة 14

وضع إقليدس أسس البصريات الهندسية، والتي حددها في أعماله "البصريات" و"كاتوبتريكس". المفهوم الأساسي للبصريات الهندسية هو شعاع الضوء المستقيم. جادل إقليدس بأن شعاع الضوء يأتي من العين (نظرية الأشعة البصرية)، وهو أمر غير مهم بالنسبة للإنشاءات الهندسية. إنه يعرف قانون الانعكاس وتأثير التركيز للمرآة الكروية المقعرة، على الرغم من أنه لا يزال غير قادر على تحديد الموضع الدقيق للتركيز. على أي حال، في تاريخ الفيزياء، تم أخذ اسم إقليدس كمؤسس للبصريات الهندسية مكانها المناسب.

الشريحة 15

نجد أيضًا في إقليدس وصفًا للوتر الأحادي - وهو جهاز ذو سلسلة واحدة لتحديد درجة حدة الوتر وأجزائه. يُعتقد أن فيثاغورس اخترع الوتر الأحادي، ووصفه إقليدس فقط ("تقسيم الشريعة"، القرن الثالث قبل الميلاد). تناول إقليدس، بشغفه المميز، النظام العددي للعلاقات الفاصلة. كان اختراع monochord مهمًا لتطوير الموسيقى. تدريجيا، بدلا من سلسلة واحدة، بدأ استخدام اثنين أو ثلاثة. كانت هذه بداية إنشاء أدوات لوحة المفاتيح، أولاً القيثارة، ثم البيانو، وكان السبب الجذري لظهور هذه الآلات الموسيقية هو الرياضيات.

الشريحة 16

وبطبيعة الحال، لم يتم اكتشاف جميع ملامح الفضاء الإقليدي على الفور، ولكن نتيجة قرون من العمل في الفكر العلمي، ولكن نقطة البداية لهذا العمل كانت "العناصر" لإقليدس. أصبحت معرفة أساسيات الهندسة الإقليدية الآن عنصرًا ضروريًا للتعليم العام في جميع أنحاء العالم.

الشريحة 17

http://biographera.net/biography.php?id=50 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Euclid.html

إقليدس أو إقليدس عالم رياضيات يوناني قديم. اكتسب شهرة عالمية بفضل مقالته عن أساسيات الرياضيات "المبادئ". معلومات السيرة الذاتية عن إقليدس نادرة للغاية. لا يُعرف أي شيء تقريبًا عن حياة إقليدس. تم حفظ بعض بيانات السيرة الذاتية على صفحات مخطوطة عربية من القرن الثاني عشر: "إقليدس بن نوكراتيس، المعروف باسم جيوميترا، عالم قديم، يوناني الأصل، سوري الإقامة، أصله من صور". ولد في أثينا ودرس في الأكاديمية. في بداية القرن الثالث قبل الميلاد. انتقل إلى الإسكندرية وهناك أسس مدرسة للرياضيات وكتب لطلابها مؤلفاته الأساسية، متحداً تحت عنوان عام "المبادئ". وقد كتب حوالي عام 325 قبل الميلاد. إقليدس

في علم الحساب، حقق إقليدس ثلاثة اكتشافات مهمة. أولاً، صاغ (بدون برهان) نظرية القسمة على الباقي. ثانيًا، توصل إلى "الخوارزمية الإقليدية" - وهي طريقة سريعة للعثور على القاسم المشترك الأكبر للأرقام أو المقياس المشترك للقطاعات (إذا كانت متناسبة). وأخيرًا، كان إقليدس أول من درس خصائص الأعداد الأولية، وأثبت أن مجموعتها لا نهائية.

مخطوطة الفاتيكان، المجلد 1، 38ظ 39ص. إقليدس أنا أؤيد. 47 (نظرية فيثاغورس). من بين أعمال إقليدس التي وصلت إلينا أشهرها "العناصر" المكونة من 15 كتابًا. الكتب الأربعة الأولى من كتاب العناصر مخصصة للهندسة على المستوى، وتدرس الخصائص الأساسية للأشكال والدوائر المستقيمة. الكتاب الأول يسبقه تعريفات للمفاهيم المستخدمة لاحقًا. إنها بديهية بطبيعتها، حيث يتم تعريفها من حيث الواقع المادي: "النقطة هي شيء ليس له أجزاء". "الخط طول بلا عرض." "الخط المستقيم هو الذي يقع بشكل متساوٍ بالنسبة إلى النقاط الواقعة عليه." "السطح هو ما له طول وعرض فقط" ونحو ذلك.

ويضع الكتاب الثاني أسس ما يسمى بالجبر الهندسي، والذي يعود تاريخه إلى مدرسة فيثاغورس. يتم تمثيل كافة الكميات فيه هندسيا، ويتم تنفيذ العمليات على الأرقام هندسيا. يتم استبدال الأرقام بقطاعات الخط. يخصص الكتاب الثالث بالكامل لهندسة الدائرة، ويدرس الكتاب الرابع المضلعات المنتظمة المدرجة في الدائرة، وكذلك المحددة حولها. إن نظرية النسب، التي تم تطويرها في الكتاب الخامس، تنطبق بشكل جيد على الكميات المتناسبة والكميات غير القابلة للقياس. أدرج إقليدس في مفهوم "الحجم" الأطوال والمساحات والأحجام والأوزان والزوايا والفواصل الزمنية وما إلى ذلك. ورفض استخدام الأدلة الهندسية، ولكنه تجنب أيضًا اللجوء إلى الحساب، ولم يعين قيمًا عددية للكميات.

في الكتاب السادس، يتم تطبيق نظرية النسب الواردة في الكتاب الخامس على الأشكال المستقيمة، وعلى الهندسة على المستوى، وعلى وجه الخصوص، على الأشكال المتشابهة، و"الأشكال المستقيمة المتشابهة هي تلك التي لها زوايا متساوية في الترتيب، وجوانبها بزوايا متساوية". متناسب." تشكل الكتب السابع والثامن والتاسع أطروحة حول نظرية الأعداد. يتم تطبيق نظرية النسب على الأرقام الموجودة فيها. يحدد الكتاب السابع مساواة نسب الأعداد الصحيحة، أو من وجهة نظر حديثة، يبني نظرية الأعداد العقلانية. من بين خصائص الأعداد العديدة التي درسها إقليدس (التكافؤ، وقابلية القسمة، وما إلى ذلك)، نستشهد، على سبيل المثال، بالافتراض رقم 20 من الكتاب التاسع، الذي ينص على وجود مجموعة لا حصر لها من "الأوائل"، أي "الأوائل". الأعداد الأولية: "هناك أعداد أولية أكثر من أي عدد أولي معروض." لا يزال من الممكن العثور على دليله على التناقض في كتب الجبر المدرسية.

الكتاب العاشر صعب القراءة؛ ويحتوي على تصنيف للكميات التربيعية غير النسبية، والتي يتم تمثيلها هناك بخطوط هندسية ومستطيلات. وإليكم كيفية صياغة الجملة 1 في الكتاب العاشر من عناصر إقليدس: “إذا أعطيت كميتين غير متساويتين ومن الجزء الأكبر طرح جزء أكبر من النصف، ومن الباقي مرة أخرى جزء أكبر من النصف، ويتكرر هذا باستمرار، ثم في يوم من الأيام تبقى كمية أقل من أصغر الكميات المعطاة." في اللغة الحديثة: إذا كان a وb عددين حقيقيين موجبين وa > b، فهناك دائمًا عدد طبيعي m مثل mb > a. أثبت إقليدس صحة التحولات الهندسية. ب، إذن يوجد دائمًا عدد طبيعي m بحيث يكون mb > a. لقد أثبت إقليدس صحة التحولات الهندسية.">

الكتاب الحادي عشر مخصص للقياس المجسم. في الكتاب الثاني عشر، والذي يعود أيضًا على الأرجح إلى Eudoxus، تمت مقارنة مساحات الأشكال المنحنية مع مساحات المضلعات باستخدام طريقة الاستنفاد. موضوع الكتاب الثالث عشر هو بناء متعددات الوجوه المنتظمة. إن بناء المواد الصلبة الأفلاطونية، التي يبدو أن "المبادئ" قد اكتملت بها، أعطى سببًا لتصنيف إقليدس على أنه من أتباع فلسفة أفلاطون.

عادة ما يسمى العمل الثاني لإقليدس بعد العناصر بالبيانات، وهي مقدمة للتحليل الهندسي. ويمتلك إقليدس أيضًا "الظواهر" المخصصة لعلم الفلك الكروي الأولي، و"البصريات" و"كاتوبتريكس"، وهي أطروحة صغيرة "أقسام القانون" (تحتوي على عشر مسائل على فترات موسيقية)، ومجموعة مسائل حول تقسيم مساحات الأشكال " "في الأقسام" (جاءنا في الترجمة العربية). العرض في كل هذه الأعمال، كما هو الحال في المبادئ، يخضع لمنطق صارم، والنظريات مستمدة من فرضيات فيزيائية ومسلمات رياضية مصاغة بدقة. لقد فُقدت العديد من أعمال إقليدس، ولا نعرف عن وجودها في الماضي إلا من خلال المراجع الموجودة في أعمال مؤلفين آخرين.

1 شريحة

2 شريحة

حياة وعمل إقليدس إقليدس (330-277 قبل الميلاد) هو عالم رياضيات من المدرسة الإسكندرانية في اليونان القديمة، مؤلف أول أطروحة عن الرياضيات وصلت إلينا.

3 شريحة

4 شريحة

خمس مسلمات لإقليدس من أي نقطة إلى أي نقطة أخرى يمكن رسم خط مستقيم واحد فقط. يمكن أن يستمر الخط المستقيم المحدود بشكل مستمر في خط مستقيم. من أي مركز ومع أي حل من الممكن وصف دائرة. جميع الزوايا القائمة متساوية بعضها مع بعض، إذا كان خط مستقيم يقع على خطين مستقيمين يشكل زوايا داخلية على أحد جانبيه أقل من زاويتين قائمتين، فإن امتدادات هذين الخطين المستقيمين تلتقي بلا نهاية على الجانب الذي تقع فيه الزوايا. أقل من اثنين

5 شريحة

المسلمة الخامسة: إذا كان الخط المستقيم الواقع على خطين مستقيمين يشكل زوايا داخلية من جهة واحدة أقل من زاويتين قائمتين، فإن امتدادات هذين الخطين المستقيمين تلتقي بلا نهاية على الجانب الذي تكون فيه الزوايا أقل من زاويتين قائمتين.

6 شريحة

وقد تمت صياغة مسلمة التوازي V بواسطة: بروكلس (411 - 485 ق.م.) إقليدس (325 - 265 ق.م) أرخميدس (287 - 212 ق.م) بطليموس (85 - 165 ق.م) واليس (1663) ليجيندر (1794، 1823)، وحتى الشاعر الشهير عمر الخيام لكن تبين أن "الأب الروحي" للهندسة غير الإقليدية هو راهب إيطالي قام بتدريس الرياضيات والقواعد جيرولامو ساشيري، المشهور بأطروحته المحتضرة (1766): "إقليدية، خالية من كل البقع" .

7 شريحة

9 بديهيات إقليدس يساوي نفس الشيء يساوي بعضها البعض إذا جمع المتساويون إلى متساوين فإن الأعداد الصحيحة ستكون متساوية أيضًا إذا طرح المتساويون من المتساويين فإن الباقي سيكون متساويًا وإذا أضيف المتساويون إلى غير المتساويين فإن الأعداد الصحيحة لن تكون متساوية

8 شريحة

9 بديهيات لإقليدس (تابع) زوجي الشيء نفسه يساوي كل منهما الآخر، نصفا الشيء نفسه متساويان، المكملان للواحد والآخر متساويان، الكل أكبر من الجزء، لا يوجد خطان مستقيمان تحتوي على مساحة

الشريحة 9

الاستنتاج في علم الحساب، حقق إقليدس ثلاثة اكتشافات مهمة. أولاً، صاغ (بدون برهان) نظرية القسمة على الباقي. ثانيًا، توصل إلى "الخوارزمية الإقليدية" - وهي طريقة سريعة للعثور على القاسم المشترك الأكبر للأرقام أو المقياس المشترك للقطاعات (إذا كانت متناسبة). وأخيرًا، كان إقليدس أول من درس خصائص الأعداد الأولية، وأثبت أن مجموعتها لا نهائية. ولكن هل صحيح أنه يمكن تحليل أي عدد صحيح إلى حاصل ضرب الأعداد الأولية بطريقة فريدة؟ لم يتمكن إقليدس من إثبات ذلك، على الرغم من أنه كان لديه كل الوسائل اللازمة لذلك.