مثال لحساب طاقة الاهتزازات الرأسية لبندول زنبركي. فترة تذبذب البندول الربيعي. انتشار الموجة في وسط مرن

البندول الزنبركي هو نقطة مادية ذات كتلة متصلة بزنبرك مرن تمامًا عديم الوزن مع صلابة . هناك حالتان أبسط: أفقية (الشكل 15، أ) والعمودي (الشكل 15، ب) بندول.

أ) البندول الأفقي(الشكل 15، أ). عندما يتحرك الحمل
من وضعية التوازن بالمبلغ يعمل عليه في الاتجاه الأفقي استعادة القوة المرنة
(قانون هوك).

من المفترض أن يكون الدعم الأفقي الذي ينزلق عليه الحمل
أثناء اهتزازاته، يكون سلسًا تمامًا (بدون احتكاك).

ب) البندول العمودي(الشكل 15، ب). يتميز وضع التوازن في هذه الحالة بالشرط:

أين - حجم القوة المرنة المؤثرة على الحمل
عندما يتم تمديد الربيع بشكل ثابت تحت تأثير جاذبية الحمل
.

أ

الشكل 15. بندول الربيع : أ- أفقي و ب- رَأسِيّ

إذا قمت بتمديد الزنبرك وتحرير الحمل، فسوف يبدأ في التأرجح عموديًا. إذا كان النزوح في وقت ما هو
, ثم سيتم الآن كتابة القوة المرنة كـ
.

في كلتا الحالتين، يؤدي البندول الزنبركي تذبذبات توافقية مع فترة

(27)

والتردد الدوري

. (28)

باستخدام مثال البندول الزنبركي، يمكننا أن نستنتج أن التذبذبات التوافقية هي حركة ناجمة عن قوة تزداد بما يتناسب مع الإزاحة . هكذا، إذا كانت قوة الاستعادة تشبه قانون هوك
(حصلت على الاسمقوة شبه مرنة ) ، فيجب أن يقوم النظام بإجراء تذبذبات توافقية.في لحظة تجاوز وضع التوازن، لا تؤثر أي قوة استعادة على الجسم؛ ولكن الجسم، عن طريق القصور الذاتي، يتجاوز وضع التوازن وتغير قوة الاستعادة اتجاهها إلى الاتجاه المعاكس.

بندول الرياضيات

الشكل 16. بندول الرياضيات

بندول الرياضياتهو نظام مثالي على شكل نقطة مادية معلقة على خيط طوله عديم الوزن وغير قابل للتمدد مما يحدث اهتزازات صغيرة تحت تأثير الجاذبية (الشكل 16).

تذبذبات هذا البندول بزوايا انحراف صغيرة
(لا يتجاوز 5°) يمكن اعتباره توافقيًا، والتردد الدوري للبندول الرياضي:

, (29)

والفترة:

. (30)

2.3. طاقة الجسم أثناء التذبذبات التوافقية

سيتم تحويل الطاقة المنقولة إلى النظام التذبذبي أثناء الدفع الأولي بشكل دوري: سوف تتحول الطاقة الكامنة للزنبرك المشوه إلى طاقة حركية للحمل المتحرك والظهر.

دع البندول الزنبركي يقوم بتذبذبات توافقية مع الطور الأولي
، أي.
(الشكل 17).

الشكل 17. قانون الحفاظ على الطاقة الميكانيكية

عندما يتأرجح البندول الربيعي

عند أقصى انحراف للحمل عن موضع التوازن، فإن إجمالي الطاقة الميكانيكية للبندول (طاقة الزنبرك المشوه ذو الصلابة ) مساوي ل
. عند تجاوز موضع التوازن (
) ستصبح الطاقة الكامنة للزنبرك مساوية للصفر، وسيتم تحديد الطاقة الميكانيكية الإجمالية للنظام التذبذبي
.

يوضح الشكل 18 الرسوم البيانية لاعتماد الطاقة الحركية والمحتملة والإجمالية في الحالات التي يتم فيها وصف الاهتزازات التوافقية بالوظائف المثلثية للجيب (الخط المتقطع) أو جيب التمام (الخط الصلب).

الشكل 18. الرسوم البيانية لاعتماد الوقت الحركية

والطاقة الكامنة خلال التذبذبات التوافقية

من الرسوم البيانية (الشكل 18) يترتب على ذلك أن تكرار التغير في الطاقة الحركية والطاقة الكامنة هو ضعف التردد الطبيعي للتذبذبات التوافقية.

10.4. قانون حفظ الطاقة أثناء التذبذبات التوافقية

10.4.1. الحفاظ على الطاقة عند الاهتزازات التوافقية الميكانيكية

حفظ الطاقة أثناء تذبذبات البندول الرياضي

أثناء الاهتزازات التوافقية، يتم الحفاظ على الطاقة الميكانيكية الإجمالية للنظام (تبقى ثابتة).

إجمالي الطاقة الميكانيكية للبندول الرياضي

ه = ث ك + ث ص،

حيث W k هي الطاقة الحركية، W k = = mv 2 /2; W p - الطاقة الكامنة، W p = mgh؛ م هي كتلة الحمل. ز - وحدة تسريع السقوط الحر؛ v - وحدة سرعة التحميل؛ h هو ارتفاع الحمل فوق موضع التوازن (الشكل 10.15).

أثناء التذبذبات التوافقية، يمر البندول الرياضي بعدد من الحالات المتعاقبة، لذلك من المستحسن النظر في طاقة البندول الرياضي في ثلاثة مواضع (انظر الشكل 10.15):

أرز. 10.15

1 في وضع التوازن

الطاقة الكامنة صفر. تتزامن الطاقة الإجمالية مع الطاقة الحركية القصوى:

E = W ك ماكس؛

2 بوصة حالة طارئه(2) يتم رفع الجسم فوق المستوى الأولي إلى أقصى ارتفاع h max، وبالتالي فإن طاقة الوضع هي أيضًا الحد الأقصى:

W p max = m g h max ;

الطاقة الحركية صفر. الطاقة الكلية تتزامن مع الطاقة القصوى المحتملة:

ه = ث ف ماكس ;

3) في موقف وسيط(3) الجسم له سرعة لحظية v ويرتفع فوق المستوى الابتدائي إلى ارتفاع معين h، وبالتالي فإن إجمالي الطاقة هو مجموع

E = م v 2 2 + م ز ح ,

حيث mv 2 /2 هي الطاقة الحركية؛ mgh - الطاقة الكامنة. م هي كتلة الحمل. ز - وحدة تسريع السقوط الحر؛ v - وحدة سرعة التحميل؛ h هو ارتفاع الحمل فوق موضع التوازن.

أثناء التذبذبات التوافقية للبندول الرياضي، يتم الحفاظ على إجمالي الطاقة الميكانيكية:

ه = ثابت.

تنعكس في الجدول قيم الطاقة الكلية للبندول الرياضي في مواضعه الثلاثة. 10.1.

№	موضع	الفسفور الأبيض	أسبوع	ه = ث ع + ث ك
1	حالة توازن	0	م ت ماكس 2/2	م ت ماكس 2/2
2	أقصى	ملغم كحد أقصى	0	ملغم كحد أقصى
3	متوسط ​​(فوري)	mgh	ام 2 /2	م 2/2 + ملغم

قيم الطاقة الميكانيكية الإجمالية المعروضة في العمود الأخير من الجدول. 10.1، لها قيم متساوية لأي موضع من البندول، وهو تعبير رياضي:

م v ماكس 2 2 = م ز ح ماكس;

م v ماكس 2 2 = م v 2 2 + م ز ح ;

m g h max = m v 2 2 + m g h ,

حيث m هي كتلة الحمولة؛ ز - وحدة تسريع السقوط الحر؛ v هي وحدة السرعة اللحظية للحمل في الموضع 3؛ ح - ارتفاع رفع الحمل فوق موضع التوازن في الموضع 3؛ v max - وحدة السرعة القصوى للحمل في الموضع 1؛ h max - أقصى ارتفاع لرفع الحمل فوق موضع التوازن في الموضع 2.

زاوية انحراف الموضوعيتم تحديد البندول الرياضي من الوضع الرأسي (الشكل 10.15) بالتعبير

cos α = l − hl = 1 − hl ,

حيث l هو طول الخيط؛ h هو ارتفاع الحمل فوق موضع التوازن.

الزاوية القصوىيتم تحديد الانحراف α max بواسطة الحد الأقصى لارتفاع رفع الحمل فوق موضع التوازن h max:

cos α max = 1 − h max l .

مثال 11. فترة التذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي هي 0.9 ثانية. ما أقصى زاوية ينحرف بها الخيط عن الوضع الرأسي إذا تحركت الكرة بسرعة 1.5 m/s عند تجاوزها موضع التوازن؟ لا يوجد احتكاك في النظام.

حل . يوضح الشكل موضعين للبندول الرياضي:

• موضع التوازن 1 (يتميز بالسرعة القصوى للكرة v max)؛
• الموضع الأقصى 2 (يتميز بأقصى ارتفاع لرفع الكرة h كحد أقصى فوق موضع التوازن).

يتم تحديد الزاوية المطلوبة بالمساواة

cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,

حيث l هو طول خيط البندول.

نجد أقصى ارتفاع للكرة البندول فوق موضع التوازن من قانون حفظ الطاقة الميكانيكية الكلية.

يتم تحديد الطاقة الإجمالية للبندول في وضع التوازن وفي الموضع الأقصى بواسطة الصيغ التالية:

• في وضع التوازن -

ه 1 = م ت ماكس 2 2,

حيث m هي كتلة كرة البندول؛ v max - وحدة سرعة الكرة في موضع التوازن (السرعة القصوى)، v max = 1.5 م/ث؛

• في موقف متطرف -

E 2 = ملغم كحد أقصى،

حيث g هي وحدة تسارع الجاذبية؛ h max هو الحد الأقصى لارتفاع الكرة التي ترفع فوق موضع التوازن.

قانون حفظ الطاقة الميكانيكية الكلية:

م v ماكس 2 2 = م ز ح ماكس .

دعونا نعبر من هنا عن أقصى ارتفاع لارتفاع الكرة فوق موضع التوازن:

ح ماكس = الخامس ماكس 2 2 ز .

نحدد طول الخيط من صيغة فترة تذبذب البندول الرياضي

تي = 2 π ل ز ,

أولئك. طول الفقرة

ل = T 2 جم 4 π 2 .

دعونا نستبدل h max و l في التعبير عن جيب التمام للزاوية المطلوبة:

كوس α ماكس = 1 − 2 π 2 فولت ماكس 2 جم 2 تي 2

وإجراء الحساب مع مراعاة المساواة التقريبية π 2 = 10:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5 .

ويترتب على ذلك أن أقصى زاوية انحراف هي 60 درجة.

بالمعنى الدقيق للكلمة، عند زاوية 60 درجة، لا تكون اهتزازات الكرة صغيرة ومن غير القانوني استخدام الصيغة القياسية لفترة تذبذب البندول الرياضي.

الحفاظ على الطاقة أثناء تذبذبات البندول الربيعي

إجمالي الطاقة الميكانيكية للبندول الربيعيتتكون من الطاقة الحركية والطاقة الكامنة:

ه = ث ك + ث ص،

حيث W k هي الطاقة الحركية، W k = mv 2 /2؛ W p - الطاقة الكامنة، W p = k (Δx ) 2 /2; م هي كتلة الحمل. v - وحدة سرعة التحميل؛ ك هو معامل صلابة (مرونة) الربيع؛ Δx - تشوه (شد أو ضغط) الزنبرك (الشكل 10.16).

في النظام الدولي للوحدات، يتم قياس طاقة النظام التذبذبي الميكانيكي بالجول (1 J).

أثناء التذبذبات التوافقية، يمر البندول الزنبركي بعدد من الحالات المتعاقبة، لذا يُنصح بالنظر إلى طاقة البندول الزنبركي في ثلاثة مواضع (انظر الشكل 10.16):

1 في وضع التوازن(1) سرعة الجسم لها قيمة قصوى v max، وبالتالي فإن الطاقة الحركية هي أيضًا الحد الأقصى:

W k max = m v max 2 2 ;

الطاقة الكامنة للزنبرك هي صفر، لأن الزنبرك غير مشوه؛ تتزامن الطاقة الإجمالية مع الطاقة الحركية القصوى:

E = W ك ماكس؛

2 بوصة حالة طارئه(2) يتمتع الزنبرك بأقصى قدر من التشوه (Δx max)، وبالتالي فإن الطاقة الكامنة لها أيضًا قيمة قصوى:

W p max = k (Δ x max) 2 2 ;

الطاقة الحركية للجسم صفر. الطاقة الكلية تتزامن مع الطاقة القصوى المحتملة:

ه = ث ف ماكس ;

3) في موقف وسيط(3) الجسم لديه سرعة لحظية v، والزنبرك لديه بعض التشوه في هذه اللحظة (Δx)، وبالتالي فإن إجمالي الطاقة هو المجموع

E = م v 2 2 + ك (Δ x) 2 2 ,

حيث mv 2 /2 هي الطاقة الحركية؛ ك (Δx) 2 /2 - الطاقة الكامنة؛ م هي كتلة الحمل. v - وحدة سرعة التحميل؛ ك هو معامل صلابة (مرونة) الربيع؛ Δx - تشوه (شد أو ضغط) الزنبرك.

عندما يزيح حمل البندول الزنبركي عن موضع اتزانه، فإنه يتأثر بما يلي: استعادة القوة، والتي يتم تحديد إسقاطها على اتجاه حركة البندول بواسطة الصيغة

و س = -ك س ,

حيث x هو إزاحة حمل البندول الزنبركي من موضع التوازن، x = ∆x، ∆x هو تشوه الزنبرك؛ k هو معامل الصلابة (المرونة) لزنبرك البندول.

أثناء التذبذبات التوافقية للبندول الزنبركي، يتم الحفاظ على إجمالي الطاقة الميكانيكية:

ه = ثابت.

تنعكس في الجدول قيم الطاقة الكلية للبندول الزنبركي في مواضعه الثلاثة. 10.2.

№	موضع	الفسفور الأبيض	أسبوع	ه = ث ع + ث ك
1	حالة توازن	0	م ت ماكس 2/2	م ت ماكس 2/2
2	أقصى	ك (Δx ماكس) 2 /2	0	ك (Δx ماكس) 2 /2
3	متوسط ​​(فوري)	ك (Δx ) 2 /2	ام 2 /2	م 2 /2 + ك (Δx ) 2 /2

إن قيم الطاقة الميكانيكية الكلية الواردة في العمود الأخير من الجدول لها قيم متساوية لأي موضع من البندول وهو تعبير رياضي قانون حفظ الطاقة الميكانيكية الكلية:

م v ماكس 2 2 = ك (Δ x ماكس) 2 2 ;

م v ماكس 2 2 = م v 2 2 + ك (Δ x) 2 2 ;

ك (Δ x ماكس) 2 2 = م v 2 2 + ك (Δ x) 2 2 ,

حيث m هي كتلة الحمولة؛ v هي وحدة السرعة اللحظية للحمل في الموضع 3؛ Δx - تشوه (شد أو ضغط) الزنبرك في الموضع 3؛ v max - وحدة السرعة القصوى للحمل في الموضع 1؛ Δx max - أقصى تشوه (شد أو ضغط) للزنبرك في الموضع 2.

مثال 12. يؤدي البندول الزنبركي اهتزازات توافقية. بكم مرة تكون طاقته الحركية أكبر من طاقته الكامنة في اللحظة التي تكون فيها إزاحة الجسم من موضع التوازن ربع السعة؟

حل . دعونا نقارن بين موضعين للبندول الربيعي:

• الموضع الأقصى 1 (يتميز بأقصى إزاحة لحمل البندول من موضع التوازن x max)؛
• الموضع المتوسط ​​2 (يتميز بقيم الإزاحة المتوسطة من موضع التوازن x والسرعة v →).

يتم تحديد الطاقة الإجمالية للبندول في المواضع القصوى والمتوسطة من خلال الصيغ التالية:

• في موقف متطرف -

ه 1 = ك (Δ x ماكس) 2 2,

حيث k هو معامل الصلابة (المرونة) للزنبرك؛ ∆x max - سعة التذبذبات (أقصى إزاحة من موضع التوازن)، ∆x max = A؛

• في وضع متوسط ​​-

ه 2 = ك (Δ x) 2 2 + م v 2 2,

حيث m هي كتلة حمل البندول؛ ∆x - إزاحة الحمل من موضع التوازن، ∆x = A /4.

قانون حفظ الطاقة الميكانيكية الكلية للبندول الزنبركي له الشكل التالي:

ك (Δ x ماكس) 2 2 = ك (Δ x) 2 2 + م v 2 2 .

دعونا نقسم طرفي المساواة المكتوبة على k (∆x) 2 /2:

(Δ x ماكس Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

حيث W k هي الطاقة الحركية للبندول في موضع متوسط، W k = mv 2 /2؛ W p - الطاقة الكامنة للبندول في وضع متوسط، W p = k (∆x) 2 /2.

دعونا نعبر عن نسبة الطاقة المطلوبة من المعادلة:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

وحساب قيمتها:

W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .

في اللحظة الزمنية المحددة، تكون نسبة الطاقات الحركية والطاقة الكامنة للبندول 15.

تعريف

تردد التذبذب($\nu$) هي إحدى المعلمات التي تميز التذبذبات، وهذا هو معكوس فترة التذبذب ($T$):

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1\right).\]

وبالتالي فإن تردد التذبذب هو كمية فيزيائية تساوي عدد تكرارات التذبذبات في وحدة الزمن.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\left(2\right),\]

حيث $N$ هو عدد الحركات التذبذبية الكاملة؛ $\Delta t$ هو الوقت الذي حدثت فيه هذه التذبذبات.

يرتبط تردد التذبذب الدوري ($(\omega )_0$) بالتردد $\nu $ بالصيغة:

\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\left(3\right).\]

وحدة التردد في النظام الدولي للوحدات (SI) هي الهرتز أو الثانية المتبادلة:

\[\left[\nu \right]=с^(-1)=هرتز.\]

بندول الربيع

تعريف

بندول الربيعيسمى النظام الذي يتكون من زنبرك مرن يرتبط به الحمل.

لنفترض أن كتلة الحمل هي $m$ ومعامل مرونة الزنبرك هو $k$. عادة لا تؤخذ كتلة الزنبرك في مثل هذا البندول بعين الاعتبار. إذا أخذنا بعين الاعتبار الحركات الأفقية للحمل (الشكل 1)، فإنه يتحرك تحت تأثير القوة المرنة إذا تم إخراج النظام من التوازن وتركه لأجهزته الخاصة. في هذه الحالة، غالبًا ما يُعتقد أنه يمكن تجاهل قوى الاحتكاك.

معادلات اهتزازات البندول الربيعي

البندول الزنبركي الذي يتأرجح بحرية هو مثال على المذبذب التوافقي. دعه يهتز على طول المحور X إذا كانت الاهتزازات صغيرة، فقانون هوك متحقق، فنكتب معادلة حركة الحمل على النحو التالي:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\right),\]

حيث $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ هو التردد الدوري لتذبذبات البندول الزنبركي. حل المعادلة (4) هو دالة جيب التمام أو جيب التمام بالشكل:

حيث $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ هو التردد الدوري لتذبذبات البندول الزنبركي، $A$ هو سعة التذبذبات؛ $((\omega )_0t+\varphi)$ - مرحلة التذبذب؛ $\varphi $ و $(\varphi )_1$ هي المراحل الأولية للتذبذبات.

تردد اهتزاز البندول الربيعي

من الصيغة (3) و $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$، يترتب على ذلك أن تردد تذبذب البندول الزنبركي يساوي:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\right).\]

الصيغة (6) صالحة إذا:

• يعتبر الربيع في البندول عديم الوزن.
• الحمل المتصل بالزنبرك عبارة عن جسم صلب تمامًا ؛
• لا توجد اهتزازات الالتوائية.

يوضح التعبير (6) أن تردد تذبذب البندول الزنبركي يزداد مع انخفاض كتلة الحمل وزيادة معامل مرونة الزنبرك. لا يعتمد تردد اهتزاز البندول الزنبركي على السعة. إذا لم تكن التذبذبات صغيرة، فإن القوة المرنة للزنبرك لا تخضع لقانون هوك، عندها يظهر اعتماد تردد التذبذب على السعة.

أمثلة على المشاكل مع الحلول

مثال 1

يمارس.فترة تذبذب البندول الزنبركي هي $T=5\cdot (10)^(-3)s$. ما هو تردد التذبذب في هذه الحالة؟ ما هو التردد الدوري لاهتزاز هذه الكتلة؟

حل.تردد التذبذب هو مقلوب فترة التذبذب، لذلك لحل المشكلة يكفي استخدام الصيغة:

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1.1\right).\]

دعونا نحسب التردد المطلوب:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \left(هرتز\يمين).\]

يرتبط التردد الدوري بالتردد $\nu $ على النحو التالي:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]

دعونا نحسب التردد الدوري:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\approx 1256\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

إجابة.$1)\ \nu = 200$ هرتز. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$

مثال 2

يمارس.تزداد كتلة الحمل المعلق على زنبرك مرن (الشكل 2) بمقدار $\Delta m$، بينما ينخفض ​​التردد بمقدار $n$ مرات. ما هي كتلة الحمولة الأولى؟

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\right).\]

بالنسبة للتحميل الأول سيكون التردد مساوياً لـ:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\right).\]

بالنسبة للتحميل الثاني:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2.2\right).\]

وفقًا لشروط المشكلة $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$، نجد العلاقة $\frac((\nu )_1)((\nu )_2): \frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\دلتا م)( م))=n\ \يسار(2.3\يمين).$

دعونا نحصل من المعادلة (2.3) على كتلة الحمل المطلوبة. للقيام بذلك، دعونا نقوم بتربيع طرفي التعبير (2.3) ونعبر عن $m$:

إجابة.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$

يسمى النظام الفيزيائي (الجسم) الذي تنشأ فيه التذبذبات وتوجد عند الانحراف عن موضع التوازن نظام تذبذبي.

دعونا نفكر في أبسط الأنظمة التذبذبية الميكانيكية: الزنبرك والبندول الرياضي.

بندول الربيع

• بندول الربيعهو نظام تذبذبي يتكون من نقطة مادية كتلتها m وزنبرك.

يميز أفقيالبندول الربيعي (الشكل 1، أ) و رَأسِيّ(الشكل 1، ب).

مكس-majat-02.swfب الشكل. 1.

يمكن العثور على فترة تذبذب البندول الزنبركي باستخدام الصيغة

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(m)(k)),\)

أين ك- معامل صلابة ربيع البندول. على النحو التالي من الصيغة التي تم الحصول عليها، فإن فترة تذبذب البندول الربيعي لا تعتمد على سعة التذبذبات (في حدود جدوى قانون هوك).

• تسمى خاصية استقلال فترة تذبذب البندول عن السعة التي اكتشفها غاليليو تزامن(من الكلمات اليونانية ίσος - يساوي و χρόνος - الوقت).

بندول الرياضيات

خذ بعين الاعتبار بندولًا بسيطًا - كرة معلقة على خيط طويل قوي. يسمى هذا البندول بدني.

إذا كانت أبعاد الكرة أصغر بكثير من طول الخيط فيمكن إهمال هذه الأبعاد ويمكن اعتبار الكرة نقطة مادية. يمكن أيضًا إهمال امتداد الخيط لأنه صغير جدًا. إذا كانت كتلة الخيط أقل بعدة مرات من كتلة الكرة، فيمكن أيضا إهمال كتلة الخيط. في هذه الحالة نحصل على نموذج للبندول، وهو ما يسمى البندول الرياضي.

• البندول الرياضيتسمى نقطة مادية ذات كتلة m، معلقة على خيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد بطول l في مجال الجاذبية (أو القوى الأخرى) (الشكل 2).

مكس-majat-03.swfأرز. 2.

أثبت جاليليو جاليلي تجريبيًا أن فترة تذبذب البندول الرياضي في مجال الجاذبية لا تعتمد على كتلته وسعة التذبذبات (زاوية الانحراف الأولي). كما أثبت أيضًا أن فترة التذبذب تتناسب طرديًا مع \(\sqrt(l)\).

يتم تحديد فترة التذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي في مجال جاذبية الأرض من خلال صيغة هويجنز:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(l)(g)).\)

عند زوايا انحراف البندول الرياضي α< 20° погрешность расчета периода по формуле Гюйгенса не превышает 1%.

في الحالة العامة، عندما يكون البندول في مجالات موحدة لعدة قوى، لتحديد فترة التذبذب يجب إدخال " تسارع فعال» ز*، سيتم تحديد وصف العمل الناتج لهذه الحقول وفترة تذبذب البندول بواسطة الصيغة

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(l)(g*)).\)

* اشتقاق الصيغ

* بندول الربيع

للبضائع مالبندول الربيعي الأفقي يخضع لقوة الجاذبية ( م⋅ز) ، قوة رد الفعل الأرضية ( ن) والقوة المرنة للزنبرك ( فينب) (الشكل 3، أول قوتين في الشكل 3). أغير محدد). دعونا نكتب قانون نيوتن الثاني للحالة الموضحة في الشكل. 3، ب

\(m\cdot \vec(a) = \vec(F)_(ynp) + m\cdot \vec(g)+\vec(N),\)

0X\ أو \(m\cdot a_(x) +k\cdot x=0.\)

mex-majat-05.swfأ (مادة من موقع science.up-life.ru)

أرز. 3.

دعونا نكتب هذه المعادلة بشكل مشابه لمعادلة حركة المذبذب التوافقي

\(a_(x) + \frac(k)(m) \cdot x = 0.\)

مقارنة التعبير الناتج مع معادلة الاهتزازات التوافقية

\(a_(x) (t) + \omega^(2) \cdot x(t) = 0,\)

أوجد التردد الدوري لاهتزازات البندول الزنبركي

\(\أوميغا = \sqrt(\frac(ك)(م)).\)

عندها ستكون فترة تذبذب البندول الربيعي مساوية لـ:

\(T=\frac(2\pi )(\omega ) = 2\pi \cdot \sqrt(\frac(m)(k)).\)

* البندول الرياضي

للبضائع مالبندول الرياضي الذي تعمله الجاذبية ( م⋅ز) والقوة المرنة للخيط ( فينب) (قوة التوتر) (الشكل 4). المحور 0 Xدعنا نوجهه على طول الظل إلى مسار الحركة الصعودية. دعونا نكتب قانون نيوتن الثاني للحالة الموضحة في الشكل. 4، ب

\(m\cdot \vec(a) = \vec(F)_(ynp) + m\cdot \vec(g),\)

اهتزازات مجانيةتتم تحت تأثير القوى الداخلية للنظام بعد أن يتم إخراج النظام من موضع توازنه.

بغرضتحدث الاهتزازات الحرة وفقًا للقانون التوافقي، فمن الضروري أن تكون القوة التي تميل إلى إعادة الجسم إلى موضع التوازن متناسبة مع إزاحة الجسم من موضع التوازن ويتم توجيهها في الاتجاه المعاكس للإزاحة (انظر الفقرة 2.1) ):

تسمى القوى ذات الطبيعة الفيزيائية الأخرى التي تحقق هذا الشرط شبه مرنة .

وبالتالي، حمولة من بعض الكتلة م، متصلة بزنبرك التقوية ك، الطرف الثاني منها ثابت بشكل ثابت (الشكل 2.2.1)، يشكل نظامًا قادرًا على أداء تذبذبات توافقية حرة في غياب الاحتكاك. الحمل على الزنبرك يسمى التوافقي الخطي مذبذب.

تم العثور على التردد الدائري ω 0 للتذبذبات الحرة للحمل على الزنبرك من قانون نيوتن الثاني:

عندما يقع نظام الحمل الزنبركي أفقيًا، يتم تعويض قوة الجاذبية المطبقة على الحمل بواسطة قوة رد الفعل الداعمة. إذا تم تعليق الحمل على الربيع، فسيتم توجيه قوة الجاذبية على طول خط حركة الحمل. في وضع التوازن، يتم تمديد الزنبرك بمقدار س 0 متساوي

لذلك، يمكن كتابة قانون نيوتن الثاني للحمل على الزنبرك على النحو التالي

تسمى المعادلة (*). معادلة الاهتزازات الحرة . وتجدر الإشارة إلى الخصائص الفيزيائية للنظام التذبذبي حدد فقط التردد الطبيعي للتذبذبات ω 0 أو الفترة ت . معلمات عملية التذبذب مثل السعة سيتم تحديد m والمرحلة الأولية φ 0 بالطريقة التي تم بها إخراج النظام من التوازن في اللحظة الأولى من الزمن.

على سبيل المثال، إذا تم إزاحة الحمل من موضع التوازن بمسافة Δ لثم في وقت ما ر= 0 صدر دون السرعة الأولية، ثم سم = Δ ل, φ 0 = 0.

إذا تم إعطاء الحمل، الذي كان في وضع التوازن، سرعة أولية ± υ 0 بمساعدة دفعة حادة، إذن

وبالتالي السعة سيتم تحديد التذبذبات الحرة م ومرحلتها الأولية φ 0 الشروط الأولية .

هناك أنواع عديدة من الأنظمة التذبذبية الميكانيكية التي تستخدم قوى التشوه المرنة. في التين. يوضح الشكل 2.2.2 التماثل الزاوي للمذبذب التوافقي الخطي. قرص موضوع أفقيا معلق على خيط مرن مثبت في مركز كتلته. عندما يدور القرص بزاوية θ، يحدث عزم القوة مالتحكم في التشوه الالتوائي المرن:

أين أنا = أنا C هي لحظة القصور الذاتي للقرص بالنسبة للمحور الذي يمر عبر مركز الكتلة، ε هو التسارع الزاوي.

قياسا على الحمل على الربيع، يمكنك الحصول على:

اهتزازات مجانية. بندول الرياضيات

البندول الرياضييسمى جسمًا صغيرًا معلقًا على خيط رفيع غير قابل للتمدد، وكتلته لا تذكر مقارنة بكتلة الجسم. في وضع التوازن، عندما يتدلى البندول راسيا، تتم موازنة قوة الجاذبية مع قوة شد الخيط. عندما ينحرف البندول عن موضع التوازن بزاوية معينة φ، يظهر مكون مماسي للجاذبية F τ = - ملغالخطيئة φ (الشكل 2.3.1). تعني علامة الطرح في هذه الصيغة أن المكون العرضي موجه في الاتجاه المعاكس لانحراف البندول.

إذا نشير بـ سالإزاحة الخطية للبندول من موضع التوازن على طول قوس دائرة نصف القطر ل، فإن إزاحتها الزاوية ستكون مساوية لـ φ = س / ل. قانون نيوتن الثاني، المكتوب لإسقاطات التسارع ومتجهات القوة على اتجاه المماس، يعطي:

توضح هذه العلاقة أن البندول الرياضي معقد غير خطيةالنظام، لأن القوة التي تميل إلى إعادة البندول إلى موضع التوازن لا تتناسب مع الإزاحة س، أ

فقط في حالة تقلبات صغيرةعندما تقريبايمكن استبدال البندول الرياضي بمذبذب توافقي، أي نظام قادر على أداء التذبذبات التوافقية. ومن الناحية العملية، يكون هذا التقريب صالحًا لزوايا تتراوح بين 15 و20 درجة؛ وفي هذه الحالة تختلف القيمة بما لا يزيد عن 2%. إن اهتزازات البندول ذات السعات الكبيرة ليست توافقية.

بالنسبة للتذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي، يتم كتابة قانون نيوتن الثاني على النحو التالي

تعبر هذه الصيغة التردد الطبيعي للتذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي .

لذلك،

أي جسم مثبت على محور دوران أفقي قادر على إحداث اهتزازات حرة في مجال الجاذبية، وبالتالي فهو أيضًا بندول. عادة ما يسمى هذا البندول بدني (الشكل 2.3.2). وهو يختلف عن الرياضيات فقط في توزيع الكتل. في وضع التوازن المستقر، مركز الكتلة جيقع البندول الفيزيائي أسفل محور الدوران O على المسار الرأسي الذي يمر عبر المحور. عندما ينحرف البندول بزاوية φ، تنشأ لحظة جاذبية، مما يؤدي إلى إعادة البندول إلى موضع التوازن:

وقانون نيوتن الثاني للبندول الفيزيائي يأخذ الشكل (انظر الفقرة 1.23)

هنا 0 - التردد الطبيعي للتذبذبات الصغيرة للبندول الفيزيائي .

لذلك،

ومن ثم، يمكن كتابة المعادلة التي تعبر عن قانون نيوتن الثاني للبندول الفيزيائي على الصورة

أخيرًا، بالنسبة للتردد الدائري ω 0 للتذبذبات الحرة للبندول المادي، يتم الحصول على التعبير التالي:

تحولات الطاقة أثناء الاهتزازات الميكانيكية الحرة

أثناء الاهتزازات الميكانيكية الحرة، تتغير الطاقات الحركية والطاقات الكامنة بشكل دوري. عند أقصى انحراف لجسم عن موضع توازنه، تختفي سرعته، وبالتالي تختفي طاقته الحركية. في هذا الوضع، تصل الطاقة الكامنة للجسم المتأرجح إلى قيمتها القصوى. بالنسبة للحمل على الزنبرك، الطاقة الكامنة هي طاقة التشوه المرن للزنبرك. بالنسبة للبندول الرياضي، هذه هي الطاقة الموجودة في مجال الجاذبية الأرضية.

عندما يمر جسم في وضع الاتزان أثناء حركته، تكون سرعته القصوى. يتجاوز الجسم موضع التوازن وفقًا لقانون القصور الذاتي. في هذه اللحظة لديها الحد الأقصى من الطاقة الحركية والحد الأدنى من الطاقة الكامنة. تحدث الزيادة في الطاقة الحركية بسبب انخفاض الطاقة الكامنة. مع مزيد من الحركة، تبدأ الطاقة الكامنة في الزيادة بسبب انخفاض الطاقة الحركية، وما إلى ذلك.

وهكذا، أثناء التذبذبات التوافقية، يحدث تحول دوري للطاقة الحركية إلى طاقة محتملة والعكس صحيح.

إذا لم يكن هناك احتكاك في النظام التذبذبي، فإن إجمالي الطاقة الميكانيكية أثناء التذبذبات الحرة تظل دون تغيير.

لتحميل الربيع(انظر §2.2):

في الظروف الحقيقية يكون أي نظام تذبذبي تحت تأثير قوى الاحتكاك (المقاومة). وفي هذه الحالة يتحول جزء من الطاقة الميكانيكية إلى طاقة داخلية للحركة الحرارية للذرات والجزيئات، وتصبح الاهتزازات بهوت (الشكل 2.4.2).

يعتمد معدل اضمحلال الاهتزازات على حجم قوى الاحتكاك. الفاصل الزمني τ الذي يتناقص خلاله سعة التذبذبات ه≈ 2.7 مرة، تم استدعاؤه وقت التلاشي .

يعتمد تردد التذبذبات الحرة على معدل اضمحلال التذبذبات. ومع زيادة قوى الاحتكاك، يقل التردد الطبيعي. ومع ذلك، فإن التغيير في التردد الطبيعي يصبح ملحوظًا فقط مع وجود قوى احتكاك كبيرة بما فيه الكفاية، عندما تتحلل الاهتزازات الطبيعية بسرعة.

من الخصائص المهمة للنظام التذبذبي الذي يقوم بتذبذبات حرة مخمدة هي عامل الجودة س. يتم تعريف هذه المعلمة كرقم نإجمالي التذبذبات التي يقوم بها النظام خلال فترة التخميد τ، مضروبة في π:

وهكذا فإن عامل الجودة يميز الفقد النسبي للطاقة في النظام التذبذبي بسبب وجود الاحتكاك خلال فترة زمنية تساوي فترة تذبذب واحدة.

الاهتزازات القسرية. صدى. التذبذبات الذاتية

تسمى التذبذبات التي تحدث تحت تأثير قوة دورية خارجية قسري.

تقوم القوة الخارجية بعمل إيجابي وتوفر تدفق الطاقة إلى النظام التذبذبي. لا يسمح للاهتزازات بالموت، على الرغم من عمل قوى الاحتكاك.

يمكن أن تتغير القوة الخارجية الدورية بمرور الوقت وفقًا لقوانين مختلفة. من الأمور ذات الأهمية الخاصة الحالة عندما تعمل قوة خارجية، تختلف وفقًا لقانون توافقي بتردد ω، على نظام تذبذب قادر على أداء تذبذباته الخاصة عند تردد معين ω 0.

إذا حدثت تذبذبات حرة عند تردد ω 0، والذي يتم تحديده بواسطة معلمات النظام، فإن التذبذبات القسرية الثابتة تحدث دائمًا عند التردد ω القوة الخارجية.

بعد أن تبدأ القوة الخارجية في التأثير على النظام التذبذبي، لبعض الوقت Δ رلإنشاء التذبذبات القسرية. زمن التأسيس، من حيث الحجم، يساوي زمن التخميد τ للتذبذبات الحرة في النظام التذبذبي.

في اللحظة الأولية، يتم إثارة كلا العمليتين في النظام التذبذبي - التذبذبات القسرية عند التردد ω والتذبذبات الحرة عند التردد الطبيعي ω 0. لكن الاهتزازات الحرة تخمد بسبب الوجود الحتمي لقوى الاحتكاك. لذلك، بعد مرور بعض الوقت، تبقى فقط التذبذبات الثابتة عند تردد القوة الدافعة الخارجية في النظام التذبذبي.

دعونا نفكر، على سبيل المثال، في الاهتزازات القسرية لجسم على زنبرك (الشكل 2.5.1). يتم تطبيق قوة خارجية على النهاية الحرة للزنبرك. إنه يجبر الطرف الحر (يسارًا في الشكل 2.5.1) للزنبرك على التحرك وفقًا للقانون

إذا تم إزاحة الطرف الأيسر من الزنبرك بمسافة ذوالصحيح - إلى المسافة سمن موضعها الأصلي، عندما كان الزنبرك غير مشوه، ثم استطالة الزنبرك Δ ليساوي:

في هذه المعادلة، يتم تمثيل القوة المؤثرة على الجسم بحدين. الحد الأول على الجانب الأيمن هو القوة المرنة التي تميل إلى إعادة الجسم إلى وضع التوازن ( س= 0). المصطلح الثاني هو التأثير الدوري الخارجي على الجسم. ويسمى هذا المصطلح القوة القسرية.

إن المعادلة التي تعبر عن قانون نيوتن الثاني لجسم موجود على زنبرك في وجود تأثير دوري خارجي يمكن أن تعطى شكلاً رياضياً صارماً إذا أخذنا في الاعتبار العلاقة بين تسارع الجسم وإحداثياته: إذن سيتم كتابتها في النموذج

المعادلة (**) لا تأخذ في الاعتبار عمل قوى الاحتكاك. على عكس معادلات الاهتزاز الحرة(*) (انظر §2.2) معادلة التذبذب القسري(**) يحتوي على ترددين - التردد ω 0 للتذبذبات الحرة والتردد ω للقوة الدافعة.

تحدث التذبذبات القسرية للحمل على الزنبرك في حالة الثبات عند تردد التأثير الخارجي وفقًا للقانون

س(ر) = سمكوس(ω ر + θ).

سعة التذبذبات القسرية ستعتمد m والمرحلة الأولية θ على نسبة الترددات ω 0 و ω وعلى السعة ذم القوة الخارجية .

عند الترددات المنخفضة جدًا، عندما ω<< ω 0 , движение тела массой م، متصلة بالطرف الأيمن من الزنبرك، تكرر حركة الطرف الأيسر من الزنبرك. حيث س(ر) = ذ(ر) ، ويظل الربيع غير مشوه عمليا. القوة الخارجية المطبقة على الطرف الأيسر من الزنبرك لا تبذل أي شغل، لأن معامل هذه القوة عند ω<< ω 0 стремится к нулю.

إذا كان تردد القوة الخارجية يقترب من التردد الطبيعي ω 0، تحدث زيادة حادة في سعة التذبذبات القسرية. وتسمى هذه الظاهرة صدى . الاعتماد على السعة ستسمى التذبذبات القسرية من التردد ω للقوة الدافعة خاصية الرنينأو منحنى الرنين(الشكل 2.5.2).

عند الرنين، السعة سيمكن أن تكون تذبذبات الحمل أكبر بعدة مرات من السعة ذم اهتزازات الطرف الحر (الأيسر) للزنبرك الناتج عن التأثير الخارجي. في غياب الاحتكاك، يجب أن يزيد سعة الاهتزازات القسرية أثناء الرنين بلا حدود. في الظروف الحقيقية، يتم تحديد سعة الاهتزازات القسرية في الحالة المستقرة من خلال الشرط: يجب أن يكون عمل قوة خارجية خلال فترة التذبذب مساويًا لفقد الطاقة الميكانيكية خلال نفس الوقت بسبب الاحتكاك. كلما قل الاحتكاك (أي كلما زاد عامل الجودة سالنظام التذبذبي)، كلما زاد سعة التذبذبات القسرية عند الرنين.

في الأنظمة التذبذبية ذات عامل الجودة غير العالي جدًا (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

يمكن أن تتسبب ظاهرة الرنين في تدمير الجسور والمباني وغيرها من الهياكل إذا تزامنت الترددات الطبيعية لتذبذباتها مع تردد القوة المؤثرة بشكل دوري، والتي تنشأ، على سبيل المثال، بسبب دوران محرك غير متوازن.

الاهتزازات القسرية هي غير مخمدالتقلبات. يتم تعويض فقدان الطاقة الحتمي بسبب الاحتكاك عن طريق إمداد الطاقة من مصدر خارجي لقوة العمل بشكل دوري. هناك أنظمة تنشأ فيها تذبذبات غير مخمدة ليس بسبب التأثيرات الخارجية الدورية، ولكن نتيجة لقدرة هذه الأنظمة على تنظيم إمدادات الطاقة من مصدر ثابت. تسمى هذه الأنظمة تتأرجح ذاتيًا، وعملية التذبذبات غير المخمدة في مثل هذه الأنظمة هي التذبذبات الذاتية . في نظام التذبذب الذاتي، يمكن تمييز ثلاثة عناصر مميزة - نظام تذبذب، ومصدر طاقة، وجهاز تغذية مرتدة بين النظام التذبذبي والمصدر. يمكن استخدام أي نظام ميكانيكي قادر على أداء تذبذباته المخففة (على سبيل المثال، بندول ساعة الحائط) كنظام تذبذبي.

يمكن أن يكون مصدر الطاقة هو طاقة التشوه للزنبرك أو الطاقة الكامنة للحمل في مجال الجاذبية. جهاز التغذية الراجعة هو آلية يقوم من خلالها نظام التأرجح الذاتي بتنظيم تدفق الطاقة من المصدر. في التين. 2.5.3 يوضح رسمًا تخطيطيًا لتفاعل العناصر المختلفة لنظام التأرجح الذاتي.

مثال على نظام ميكانيكي ذاتي التأرجح هو آلية الساعة ذات مِرسَاةالتقدم (الشكل 2.5.4). يتم ربط عجلة التشغيل ذات الأسنان المائلة بشكل صارم بأسطوانة مسننة يتم من خلالها إلقاء سلسلة ذات وزن. تعلق على الطرف العلوي من البندول مِرسَاة(مرساة) عبارة عن لوحين من مادة صلبة، مثنيتين على شكل قوس دائري يكون مركزه على محور البندول. في ساعات اليد، يتم استبدال الوزن بزنبرك، ويتم استبدال البندول بموازن - عجلة يدوية متصلة بزنبرك حلزوني. يقوم الموازن بإجراء اهتزازات الالتوائية حول محوره. النظام التذبذبي في الساعة هو البندول أو الموازن.

مصدر الطاقة هو وزن مرتفع أو زنبرك جرح. الجهاز المستخدم لتقديم التغذية الراجعة هو مرساة، مما يسمح للعجلة الجارية بتدوير سن واحد في نصف دورة واحدة. يتم توفير ردود الفعل من خلال تفاعل المرساة مع عجلة التشغيل. مع كل تذبذب للبندول، يقوم أحد أسنان العجلة الجارية بدفع شوكة المرساة في اتجاه حركة البندول، وتنقل إليه جزءًا معينًا من الطاقة، والذي يعوض فقدان الطاقة بسبب الاحتكاك. وبالتالي، فإن الطاقة الكامنة للوزن (أو الزنبرك الملتوي) تنتقل تدريجيًا، في أجزاء منفصلة، ​​إلى البندول.

تنتشر أنظمة التذبذب الذاتي الميكانيكية على نطاق واسع في الحياة من حولنا وفي التكنولوجيا. وتحدث الذبذبات الذاتية في المحركات البخارية، ومحركات الاحتراق الداخلي، والأجراس الكهربائية، وأوتار الآلات الموسيقية المنحنية، وأعمدة الهواء في أنابيب آلات النفخ، والأحبال الصوتية عند التحدث أو الغناء وغيرها.

الشكل 2.5.4. آلية الساعة مع البندول.