Un pendul cu arc este un punct material cu masă atașat de un arc absolut elastic fără greutate, cu o rigiditate 
. Există două cazuri cele mai simple: orizontal (Fig. 15, A) și verticală (Fig. 15, b) pendulelor.
A)
Pendul orizontal(Fig. 15, a). Când sarcina se mișcă 
din pozitia de echilibru 
prin suma 
acţionează asupra ei în direcţie orizontală restabilirea forței elastice
(Legea lui Hooke).
Se presupune că suportul orizontal de-a lungul căruia alunecă sarcina 
în timpul vibrațiilor sale, este absolut netedă (fără frecare).
b) Pendul vertical(Fig. 15, b). Poziția de echilibru în acest caz este caracterizată de condiția:
Unde 
- mărimea forţei elastice care acţionează asupra sarcinii 
când arcul este întins static de 
sub influența gravitației sarcinii 
.
|
A |
|
Fig. 15. Pendul cu arc: A– orizontală și b– verticală
Dacă întindeți arcul și eliberați sarcina, acesta va începe să oscileze vertical. Dacă deplasarea la un moment dat în timp este 
,
atunci forța elastică se va scrie acum ca 
.
În ambele cazuri luate în considerare, pendulul cu arc efectuează oscilații armonice cu o perioadă
(27)
și frecvența ciclică
.
(28)
Folosind exemplul pendulului cu arc, putem concluziona că oscilațiile armonice sunt mișcări cauzate de o forță care crește proporțional cu deplasarea. 
. Prin urmare, dacă forța de restabilire seamănă cu legea lui Hooke
(ea a primit numeleforță cvasielastică
), atunci sistemul trebuie să efectueze oscilații armonice.În momentul depășirii poziției de echilibru, nicio forță de restabilire nu acționează asupra corpului, însă corpul, prin inerție, trece de poziția de echilibru și forța de restabilire își schimbă direcția în sens opus;
Pendul de matematică
Fig. 16. Pendul de matematică
, care face mici oscilații sub influența gravitației (Fig. 16).
Oscilații ale unui astfel de pendul la unghiuri mici de deviere 
(care nu depășește 5º) poate fi considerată armonică, iar frecvența ciclică a unui pendul matematic:
,
(29)
si perioada:
.
(30)
2.3. Energia corpului în timpul oscilațiilor armonice
Energia transmisă sistemului oscilator în timpul împingerii inițiale va fi transformată periodic: energia potențială a arcului deformat se va transforma în energia cinetică a sarcinii în mișcare și înapoi.
Lăsați pendulul cu arc să efectueze oscilații armonice cu faza inițială 
, adică 
(Fig. 17).
Fig. 17. Legea conservării energiei mecanice
când un pendul arc oscilează
La abaterea maximă a sarcinii de la poziția de echilibru, energia mecanică totală a pendulului (energia unui arc deformat cu o rigiditate). 
) este egal cu 
. La trecerea de poziția de echilibru ( 
) energia potențială a arcului va deveni egală cu zero, iar energia mecanică totală a sistemului oscilator va fi determinată ca 
.
Figura 18 prezintă grafice ale dependențelor energiei cinetice, potențiale și totale în cazurile în care vibrațiile armonice sunt descrise prin funcții trigonometrice sinus (linie întreruptă) sau cosinus (linie continuă).
Fig. 18. Grafice ale dependenței de timp a cineticii
și energia potențială în timpul oscilațiilor armonice
Din grafice (Fig. 18) rezultă că frecvența modificării energiei cinetice și potențiale este de două ori mai mare decât frecvența naturală a oscilațiilor armonice.
10.4. Legea conservării energiei în timpul oscilațiilor armonice
10.4.1. Conservarea energiei la vibratii armonice mecanice
Conservarea energiei în timpul oscilațiilor unui pendul matematic
În timpul vibrațiilor armonice, energia mecanică totală a sistemului este conservată (rămâne constantă).
Energia mecanică totală a unui pendul matematic
E = W k + W p ,
unde W k este energia cinetică, W k = = mv 2 /2; W p - energia potențială, W p = mgh; m este masa sarcinii; g - modul de accelerare în cădere liberă; v - modulul vitezei de sarcină; h este înălțimea sarcinii deasupra poziției de echilibru (Fig. 10.15).
În timpul oscilațiilor armonice, un pendul matematic trece printr-un număr de stări succesive, de aceea este recomandabil să se ia în considerare energia unui pendul matematic în trei poziții (vezi Fig. 10.15):
Orez. 10.15
1) în poziție de echilibru
energia potențială este zero; Energia totală coincide cu energia cinetică maximă:
E = W k max ;
2) în situație de urgență(2) corpul este ridicat deasupra nivelului inițial la o înălțime maximă h max, prin urmare și energia potențială este maximă:
W p max = m g h max ;
energia cinetică este zero; energia totală coincide cu energia potențială maximă:
E = W p max ;
3) în poziție intermediară(3) corpul are o viteză instantanee v și este ridicat deasupra nivelului inițial la o anumită înălțime h, prin urmare energia totală este suma
E = m v 2 2 + m g h ,
unde mv 2 /2 este energia cinetică; mgh - energie potenţială; m este masa sarcinii; g - modul de accelerare în cădere liberă; v - modulul vitezei de sarcină; h este înălțimea sarcinii deasupra poziției de echilibru.
În timpul oscilațiilor armonice ale unui pendul matematic, energia mecanică totală este conservată:
E = const.
Valorile energiei totale a pendulului matematic în cele trei poziții ale sale sunt reflectate în tabel. 10.1.
| № | Poziţie | W p | Sapt | E = W p + W k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Echilibru | 0 | m v max 2 / 2 | m v max 2 / 2 |
| 2 | Extrem | mgh max | 0 | mgh max |
| 3 | Intermediar (instantaneu) | mgh | mv 2 /2 | mv 2 /2 + mgh |
Valorile energiei mecanice totale prezentate în ultima coloană a tabelului. 10.1, au valori egale pentru orice poziție a pendulului, care este o expresie matematică:
m v max 2 2 = m g h max;
m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h ;
m g h max = m v 2 2 + m g h ,
unde m este masa sarcinii; g - modul de accelerare în cădere liberă; v este modulul vitezei instantanee a sarcinii în poziţia 3; h - înălţimea de ridicare a sarcinii deasupra poziţiei de echilibru în poziţia 3; v max - modulul vitezei maxime a sarcinii în poziţia 1; h max - înălțimea maximă de ridicare a sarcinii deasupra poziției de echilibru în poziția 2.
Unghiul de deviere al firului pendulul matematic din verticală (Fig. 10.15) este determinat de expresie
cos α = l − hl = 1 − hl ,
unde l este lungimea firului; h este înălțimea sarcinii deasupra poziției de echilibru.
Unghiul maxim abaterea α max este determinată de înălțimea maximă de ridicare a sarcinii deasupra poziției de echilibru h max:
cos α max = 1 − h max l .
Exemplul 11. Perioada micilor oscilații ale unui pendul matematic este de 0,9 s. Care este unghiul maxim la care firul se va abate de la verticală dacă, trecând de poziția de echilibru, mingea se mișcă cu o viteză de 1,5 m/s? Nu există frecare în sistem.
Soluție. Figura prezintă două poziții ale unui pendul matematic:
- pozitia de echilibru 1 (caracterizata prin viteza maxima a mingii v max);
- pozitia extrema 2 (caracterizata prin inaltimea maxima de ridicare a mingii h max peste pozitia de echilibru).
Unghiul necesar este determinat de egalitate
cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,
unde l este lungimea firului pendulului.
Găsim înălțimea maximă a bilei pendulului deasupra poziției de echilibru din legea conservării energiei mecanice totale.
Energia totală a pendulului în poziția de echilibru și în poziția extremă este determinată de următoarele formule:
- într-o poziție de echilibru -
E 1 = m v max 2 2,
unde m este masa bilei pendulului; v max - modulul vitezei bilei în poziţia de echilibru (viteza maximă), v max = 1,5 m/s;
- in pozitie extrema -
E 2 = mgh max,
unde g este modulul de accelerație gravitațională; h max este înălțimea maximă a mingii care se ridică deasupra poziției de echilibru.
Legea conservării energiei mecanice totale:
m v max 2 2 = m g h max .
Să exprimăm de aici înălțimea maximă a ridicării mingii deasupra poziției de echilibru:
h max = v max 2 2 g .
Determinăm lungimea firului din formula pentru perioada de oscilație a unui pendul matematic
T = 2 π l g ,
acestea. lungimea firului
l = T 2 g 4 π 2 .
Să substituim h max și l în expresia pentru cosinusul unghiului dorit:
cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2
și efectuați calculul ținând cont de egalitatea aproximativă π 2 = 10:
cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5 .
Rezultă că unghiul maxim de deviere este de 60°.
Strict vorbind, la un unghi de 60° oscilațiile mingii nu sunt mici și este ilegală utilizarea formulei standard pentru perioada de oscilație a unui pendul matematic.
Conservarea energiei în timpul oscilațiilor unui pendul cu arc
Energia mecanică totală a unui pendul cu arc constă din energie cinetică și energie potențială:
E = W k + W p ,
unde W k este energia cinetică, W k = mv 2 /2; W p - energie potenţială, W p = k (Δx ) 2 /2; m este masa sarcinii; v - modulul vitezei de sarcină; k este coeficientul de rigiditate (elasticitate) al arcului; Δx - deformarea (tensionarea sau compresia) arcului (Fig. 10.16).
În Sistemul Internațional de Unități, energia unui sistem oscilator mecanic este măsurată în jouli (1 J).
În timpul oscilațiilor armonice, pendulul cu arc trece printr-un număr de stări succesive, de aceea este indicat să se ia în considerare energia pendulului cu arc în trei poziții (vezi Fig. 10.16):
1) în poziție de echilibru(1) viteza corpului are o valoare maximă v max, deci și energia cinetică este maximă:
W k max = m v max 2 2 ;
energia potențială a arcului este zero, deoarece arcul nu este deformat; Energia totală coincide cu energia cinetică maximă:
E = W k max ;
2) în situație de urgență(2) arcul are o deformare maximă (Δx max), deci energia potențială are și o valoare maximă:
W p max = k (Δ x max) 2 2 ;
energia cinetică a corpului este zero; energia totală coincide cu energia potențială maximă:
E = W p max ;
3) în poziție intermediară(3) corpul are o viteză instantanee v, arcul are o oarecare deformare în acest moment (Δx), deci energia totală este suma
E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,
unde mv 2 /2 este energia cinetică; k (Δx) 2 /2 - energie potenţială; m este masa sarcinii; v - modulul vitezei de sarcină; k este coeficientul de rigiditate (elasticitate) al arcului; Δx - deformarea (tensionarea sau compresia) arcului.
Când sarcina unui pendul cu arc este deplasată din poziția sa de echilibru, aceasta este acționată de restabilirea forței, a cărui proiecție pe direcția de mișcare a pendulului este determinată de formula
F x = −kx ,
unde x este deplasarea sarcinii pendulului arcului din poziția de echilibru, x = ∆x, ∆x este deformația arcului; k este coeficientul de rigiditate (elasticitate) al arcului pendulului.
În timpul oscilațiilor armonice ale unui pendul cu arc, energia mecanică totală este conservată:
E = const.
Valorile energiei totale a pendulului cu arc în cele trei poziții ale sale sunt reflectate în tabel. 10.2.
| № | Poziţie | W p | Sapt | E = W p + W k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Echilibru | 0 | m v max 2 / 2 | m v max 2 / 2 |
| 2 | Extrem | k (Δx max) 2/2 | 0 | k (Δx max) 2/2 |
| 3 | Intermediar (instantaneu) | k (Ax)2/2 | mv 2 /2 | mv2/2 + k (Ax)2/2 |
Valorile energiei mecanice totale prezentate în ultima coloană a tabelului au valori egale pentru orice poziție a pendulului, care este o expresie matematică legea conservării energiei mecanice totale:
m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ;
m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;
k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,
unde m este masa sarcinii; v este modulul vitezei instantanee a sarcinii în poziţia 3; Δx - deformarea (tensionarea sau compresiunea) arcului în poziţia 3; v max - modulul vitezei maxime a sarcinii în poziţia 1; Δx max - deformarea maximă (tensionare sau compresiune) a arcului în poziția 2.
Exemplul 12. Un pendul cu arc efectuează oscilații armonice. De câte ori este energia sa cinetică mai mare decât energia sa potențială în momentul în care deplasarea corpului din poziția de echilibru este un sfert din amplitudine?
Soluție. Să comparăm două poziții ale pendulului cu arc:
- pozitia extrema 1 (caracterizata prin deplasarea maxima a sarcinii pendulului fata de pozitia de echilibru x max);
- pozitia intermediara 2 (caracterizata prin valori intermediare ale deplasarii fata de pozitia de echilibru x si viteza v →).
Energia totală a pendulului în pozițiile extreme și intermediare este determinată de următoarele formule:
- in pozitie extrema -
E 1 = k (Δ x max) 2 2,
unde k este coeficientul de rigiditate (elasticitate) al arcului; ∆x max - amplitudinea oscilațiilor (deplasarea maximă de la poziția de echilibru), ∆x max = A;
- într-o poziție intermediară -
E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 ,
unde m este masa sarcinii pendulului; ∆x - deplasarea sarcinii din poziția de echilibru, ∆x = A /4.
Legea conservării energiei mecanice totale pentru un pendul cu arc are următoarea formă:
k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .
Să împărțim ambele părți ale egalității scrise la k (∆x) 2 /2:
(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,
unde W k este energia cinetică a pendulului într-o poziție intermediară, W k = mv 2 /2; W p - energia potențială a pendulului într-o poziție intermediară, W p = k (∆x ) 2 /2.
Să exprimăm raportul de energie necesar din ecuația:
W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1
si calculeaza-i valoarea:
W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .
În momentul de timp indicat, raportul dintre energiile cinetice și potențiale ale pendulului este 15.
Definiție
Frecvența de oscilație($\nu$) este unul dintre parametrii care caracterizează oscilațiile Aceasta este reciproca perioadei de oscilație ($T$):
\[\nu =\frac(1)(T)\stanga(1\dreapta).\]
Astfel, frecvența de oscilație este o mărime fizică egală cu numărul de repetări ale oscilațiilor pe unitatea de timp.
\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\stanga(2\dreapta),\]
unde $N$ este numărul de mișcări oscilatorii complete; $\Delta t$ este timpul în care au avut loc aceste oscilații.
Frecvența de oscilație ciclică ($(\omega )_0$) este legată de frecvența $\nu $ prin formula:
\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\left(3\right).\]
Unitatea de frecvență în Sistemul Internațional de Unități (SI) este hertz sau secunda reciprocă:
\[\left[\nu \right]=с^(-1)=Hz.\]
Pendul de primăvară
Definiție
Pendul de primăvară numit sistem care constă dintr-un arc elastic de care este atașată o sarcină.
Să presupunem că masa sarcinii este $m$ iar coeficientul de elasticitate al arcului este $k$. Masa arcului într-un astfel de pendul nu este de obicei luată în considerare. Dacă luăm în considerare mișcările orizontale ale sarcinii (Fig. 1), atunci aceasta se mișcă sub influența forței elastice dacă sistemul este scos din echilibru și lăsat la dispoziție. În acest caz, se crede adesea că forțele de frecare pot fi ignorate.
Ecuațiile oscilațiilor unui pendul cu arc
Un pendul cu arc care oscilează liber este un exemplu de oscilator armonic. Lăsați-l să oscileze de-a lungul axei X Dacă oscilațiile sunt mici, legea lui Hooke este îndeplinită, atunci scriem ecuația de mișcare a sarcinii:
\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\right),\]
unde $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ este frecvența ciclică a oscilațiilor pendulului cu arc. Soluția ecuației (4) este o funcție sinus sau cosinus de forma:
unde $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ este frecvența ciclică a oscilațiilor pendulului cu arc, $A$ este amplitudinea oscilațiilor; $((\omega )_0t+\varphi)$ - faza de oscilație; $\varphi $ și $(\varphi )_1$ sunt fazele inițiale ale oscilațiilor.
Frecvența de oscilație a pendulului cu arc
Din formula (3) și $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, rezultă că frecvența de oscilație a pendulului cu arc este egală cu:
\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\right).\]
Formula (6) este valabilă dacă:
- arcul din pendul este considerat lipsit de greutate;
- sarcina atașată arcului este un corp absolut rigid;
- nu există vibrații de torsiune.
Expresia (6) arată că frecvența de oscilație a pendulului arcului crește odată cu scăderea masei sarcinii și cu creșterea coeficientului de elasticitate al arcului. Frecvența de oscilație a pendulului cu arc nu depinde de amplitudine. Dacă oscilațiile nu sunt mici, forța elastică a arcului nu respectă legea lui Hooke, atunci apare o dependență a frecvenței de oscilație de amplitudine.
Exemple de probleme cu soluții
Exemplul 1
Exercițiu. Perioada de oscilație a unui pendul cu arc este $T=5\cdot (10)^(-3)s$. Care este frecvența de oscilație în acest caz? Care este frecvența ciclică de vibrație a acestei mase?
Soluţie. Frecvența de oscilație este reciproca perioadei de oscilație, prin urmare, pentru a rezolva problema este suficient să folosiți formula:
\[\nu =\frac(1)(T)\left(1.1\right).\]
Să calculăm frecvența necesară:
\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \left(Hz\right).\]
Frecvența ciclică este legată de frecvența $\nu $ ca:
\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]
Să calculăm frecvența ciclică:
\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\aproximativ 1256\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]
Răspuns.$1)\ \nu =200$ Hz. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$
Exemplul 2
Exercițiu. Masa sarcinii care atârnă de un arc elastic (Fig. 2) este mărită cu $\Delta m$, în timp ce frecvența scade de $n$ ori. Care este masa primei sarcini?
\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\right).\]
Pentru prima sarcină frecvența va fi egală cu:
\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\right).\]
Pentru a doua sarcină:
\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2.2\right).\]
Conform condițiilor problemei $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$, găsim relația $\frac((\nu )_1)((\nu )_2): \frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\Delta m)( m))=n\ \left(2.3\right).$
Să obținem din ecuația (2.3) masa necesară a sarcinii. Pentru a face acest lucru, să pătram ambele laturi ale expresiei (2.3) și să exprimăm $m$:
Răspuns.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$
Se numește un sistem fizic (corp) în care apar și există oscilații atunci când devierea de la poziția de echilibru sistem oscilator.
Să luăm în considerare cele mai simple sisteme oscilatorii mecanice: arc și pendulele matematice.
Pendul de primăvară
- Pendul de primăvară este un sistem oscilator format dintr-un punct material de masa m si un arc.
Distinge orizontală pendul arc (Fig. 1, a) și vertical(Fig. 1, b).
Perioada de oscilație a unui pendul cu arc poate fi găsită folosind formula
\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(m)(k)),\)
Unde k- coeficientul de rigiditate al arcului pendulului. Din formula obținută, perioada de oscilație a unui pendul cu arc nu depinde de amplitudinea oscilațiilor (în limitele fezabilității legii lui Hooke).
- Proprietatea de independență a perioadei de oscilație a unui pendul față de amplitudine, descoperită de Galileo, se numește izocronicitatea(din cuvintele grecești ίσος - egal și χρόνος - timp).
Pendul de matematică
Luați în considerare un pendul simplu - o minge suspendată pe un fir lung și puternic. Un astfel de pendul se numește fizic.
Dacă dimensiunile mingii sunt mult mai mici decât lungimea firului, atunci aceste dimensiuni pot fi neglijate și mingea poate fi considerată ca punct material. Întinderea firului poate fi de asemenea neglijată, deoarece este foarte mică. Dacă masa firului este de multe ori mai mică decât masa mingii, atunci masa firului poate fi de asemenea neglijată. În acest caz, obținem un model de pendul, care se numește pendul matematic.
- Pendul matematic se numește punct material de masă m, suspendat pe un fir inextensibil imponderabil de lungime l în câmpul gravitațional (sau alte forțe) (Fig. 2).
Galileo Galilei a stabilit experimental că perioada de oscilație a unui pendul matematic într-un câmp gravitațional nu depinde de masa și amplitudinea oscilațiilor acestuia (unghiul de deviere inițială). El a mai stabilit că perioada de oscilație este direct proporțională cu \(\sqrt(l)\).
Perioada de mici oscilații ale unui pendul matematic în câmpul gravitațional al Pământului este determinată de formula lui Huygens:
\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(l)(g)).\)
La unghiurile de deviere ale pendulului matematic α< 20° погрешность расчета периода по формуле Гюйгенса не превышает 1%.
În cazul general, când pendulul este în câmpuri uniforme de mai multe forțe, atunci pentru a determina perioada de oscilație ar trebui să introduceți „ accelerare eficientă» g*, care caracterizează acțiunea rezultată a acestor câmpuri și perioada de oscilație a pendulului va fi determinată de formula
\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(l)(g*)).\)
*Derivarea formulelor
*Pendul de primăvară
Pentru marfă m Pendulul orizontal cu arc este supus forței gravitaționale ( m⋅g), forța de reacție a solului ( N) și forța elastică a arcului ( Fynp) (Fig. 3, primele două forțe din Fig. A nu este specificat). Să notăm a doua lege a lui Newton pentru cazul prezentat în Fig. 3, b
\(m\cdot \vec(a) = \vec(F)_(ynp) + m\cdot \vec(g)+\vec(N),\)
0X\ sau \(m\cdot a_(x) +k\cdot x=0.\)
Orez. 3.
Să scriem această ecuație într-o formă similară cu ecuația de mișcare a unui oscilator armonic
\(a_(x) + \frac(k)(m) \cdot x = 0.\)
Comparând expresia rezultată cu ecuația vibrațiilor armonice
\(a_(x) (t) + \omega^(2) \cdot x(t) = 0,\)
aflați frecvența ciclică a oscilațiilor pendulului cu arc
\(\omega = \sqrt(\frac(k)(m)).\)
Atunci perioada de oscilație a pendulului arc va fi egală cu:
\(T=\frac(2\pi )(\omega ) = 2\pi \cdot \sqrt(\frac(m)(k)).\)
*Pendul matematic
Pentru marfă m pendul matematic actionat de gravitatie ( m⋅g) și forța elastică a firului ( Fynp) (forța de tensionare) (Fig. 4). Axa 0 X Să-l direcționăm de-a lungul tangentei la traiectoria mișcării în sus. Să notăm a doua lege a lui Newton pentru cazul prezentat în Fig. 4, b
\(m\cdot \vec(a) = \vec(F)_(ynp) + m\cdot \vec(g),\)
Vibrații libere sunt efectuate sub influența forțelor interne ale sistemului după ce sistemul a fost scos din poziția sa de echilibru.
Pentru a vibrațiile libere apar conform legii armonice, este necesar ca forța care tinde să readucă corpul în poziția de echilibru să fie proporțională cu deplasarea corpului din poziția de echilibru și să fie îndreptată în direcția opusă deplasării (vezi §2.1). ):
Sunt numite forțe de orice altă natură fizică care satisfac această condiție cvasielastică .
Astfel, o încărcătură de o anumită masă m, atașat la arcul de rigidizare k, al cărui capăt este fixat fix (Fig. 2.2.1), constituie un sistem capabil să efectueze oscilații armonice libere în absența frecării. O sarcină pe un arc se numește armonică liniară oscilator.
Frecvența circulară ω 0 a oscilațiilor libere ale unei sarcini pe un arc se găsește din a doua lege a lui Newton:
Când sistemul de sarcină cu arc este situat orizontal, forța gravitațională aplicată sarcinii este compensată de forța de reacție a suportului. Dacă sarcina este suspendată pe un arc, atunci forța gravitației este direcționată de-a lungul liniei de mișcare a sarcinii. În poziția de echilibru, arcul este întins cu o cantitate X 0 egal
Prin urmare, a doua lege a lui Newton pentru o sarcină pe un arc poate fi scrisă ca
Se numește ecuația (*) ecuația vibrațiilor libere . Trebuie remarcat faptul că proprietățile fizice ale sistemului oscilator determinaţi numai frecvenţa naturală a oscilaţiilor ω 0 sau perioada T . Parametrii procesului de oscilație, cum ar fi amplitudinea X m și faza inițială φ 0 sunt determinate de modul în care sistemul a fost scos din echilibru în momentul inițial de timp.
Dacă, de exemplu, sarcina a fost deplasată de la poziția de echilibru cu o distanță Δ lși apoi la un moment dat t= 0 eliberat fără viteza inițială, atunci X m = Δ l, φ 0 = 0.
Dacă încărcăturii, care era în poziția de echilibru, i s-a dat o viteză inițială ± υ 0 cu ajutorul unei împingeri puternice, atunci,
Astfel, amplitudinea X se determină m oscilaţii libere şi faza sa iniţială φ 0 condiții inițiale .
Există multe tipuri de sisteme oscilatorii mecanice care utilizează forțe elastice de deformare. În fig. Figura 2.2.2 prezintă analogul unghiular al unui oscilator armonic liniar. Un disc situat orizontal atârnă de un fir elastic atașat de centrul său de masă. Când discul este rotit printr-un unghi θ, apare un moment de forță M controlul deformarii elastice de torsiune:
Unde eu = eu C este momentul de inerție al discului față de axă, care trece prin centrul de masă, ε este accelerația unghiulară.
Prin analogie cu o sarcină pe un arc, puteți obține:
Vibrații libere. Pendul de matematică
Pendul matematic numit corp mic suspendat pe un fir subțire inextensibil, a cărui masă este neglijabilă în comparație cu masa corpului. În poziția de echilibru, când pendulul atârnă la plumb, forța gravitației este echilibrată de forța de întindere a firului. Când pendulul se abate de la poziția de echilibru cu un anumit unghi φ, apare o componentă tangențială a gravitației F τ = - mg sin φ (Fig. 2.3.1). Semnul minus din această formulă înseamnă că componenta tangenţială este îndreptată în direcţia opusă deformarii pendulului.
Dacă notăm prin X deplasarea liniară a pendulului din poziţia de echilibru de-a lungul unui arc de cerc de rază l, atunci deplasarea sa unghiulară va fi egală cu φ = X / l. A doua lege a lui Newton, scrisă pentru proiecțiile vectorilor de accelerație și forță pe direcția tangentei, dă:
 |
Această relație arată că un pendul matematic este un complex neliniară sistem, deoarece forța care tinde să readucă pendulul în poziția de echilibru nu este proporțională cu deplasarea X, A
Doar în caz mici fluctuații, când aproximativ poate fi înlocuit cu un pendul matematic este un oscilator armonic, adică un sistem capabil să efectueze oscilații armonice. În practică, această aproximare este valabilă pentru unghiuri de ordinul 15-20°; în acest caz, valoarea diferă de cel mult 2%. Oscilațiile unui pendul la amplitudini mari nu sunt armonice.
Pentru oscilațiile mici ale unui pendul matematic, a doua lege a lui Newton se scrie ca
Această formulă exprimă frecvența naturală a micilor oscilații ale unui pendul matematic .
Prin urmare,
|
Orice corp montat pe o axă orizontală de rotație este capabil de oscilații libere într-un câmp gravitațional și, prin urmare, este și un pendul. Un astfel de pendul este de obicei numit fizic (Fig. 2.3.2). Se deosebește de cel matematic doar prin distribuția maselor. Într-o poziție stabilă de echilibru, centrul de masă C pendulul fizic este situat sub axa de rotatie O pe verticala care trece prin axa. Când pendulul este deviat cu un unghi φ, apare un moment de gravitație, care tinde să readucă pendulul în poziția de echilibru:
iar a doua lege a lui Newton pentru un pendul fizic ia forma (vezi §1.23)
Aici ω 0 - frecvența naturală a micilor oscilații ale unui pendul fizic .
Prin urmare,
Prin urmare, ecuația care exprimă a doua lege a lui Newton pentru un pendul fizic poate fi scrisă sub forma
În final, pentru frecvența circulară ω 0 a oscilațiilor libere ale unui pendul fizic se obține următoarea expresie:
|
Conversii de energie în timpul vibrațiilor mecanice libere
În timpul vibrațiilor mecanice libere, energiile cinetice și potențiale se schimbă periodic. La abaterea maximă a unui corp de la poziția sa de echilibru, viteza lui și, prin urmare, energia sa cinetică, dispar. În această poziție, energia potențială a corpului oscilant atinge valoarea maximă. Pentru o sarcină pe un arc, energia potențială este energia de deformare elastică a arcului. Pentru un pendul matematic, aceasta este energia din câmpul gravitațional al Pământului.
Când un corp în mișcare trece prin poziția de echilibru, viteza lui este maximă. Corpul depășește poziția de echilibru conform legii inerției. În acest moment are energie cinetică maximă și energie potențială minimă. O creștere a energiei cinetice are loc datorită scăderii energiei potențiale. Odată cu mișcarea ulterioară, energia potențială începe să crească din cauza scăderii energiei cinetice etc.
Astfel, în timpul oscilațiilor armonice, are loc o transformare periodică a energiei cinetice în energie potențială și invers.
Dacă nu există frecare în sistemul oscilator, atunci energia mecanică totală în timpul oscilațiilor libere rămâne neschimbată.
Pentru sarcina cu arc(vezi §2.2):
În condiții reale, orice sistem oscilator se află sub influența forțelor de frecare (rezistență). În acest caz, o parte din energia mecanică este convertită în energie internă a mișcării termice a atomilor și moleculelor, iar vibrațiile devin decolorare (Fig. 2.4.2).
Rata cu care vibrațiile se diminuează depinde de mărimea forțelor de frecare. Intervalul de timp τ în care amplitudinea oscilațiilor scade în e≈ 2,7 ori, apelat timpul de dezintegrare .
Frecvența oscilațiilor libere depinde de viteza cu care oscilațiile se diminuează. Pe măsură ce forțele de frecare cresc, frecvența naturală scade. Cu toate acestea, modificarea frecvenței naturale devine vizibilă numai cu forțe de frecare suficient de mari, când vibrațiile naturale se degradează rapid.
O caracteristică importantă a unui sistem oscilator care efectuează oscilații amortizate libere este factor de calitate Q. Acest parametru este definit ca un număr N oscilații totale efectuate de sistem în timpul de amortizare τ, înmulțite cu π:
Astfel, factorul de calitate caracterizează pierderea relativă de energie în sistemul oscilator datorită prezenței frecării pe un interval de timp egal cu o perioadă de oscilație.
Vibrații forțate. Rezonanţă. Autooscilații
Se numesc oscilații care apar sub influența unei forțe periodice externe forţat.
O forță externă efectuează un lucru pozitiv și oferă un flux de energie către sistemul oscilator. Nu permite ca vibrațiile să se stingă, în ciuda acțiunii forțelor de frecare.
O forță externă periodică se poate schimba în timp, conform diferitelor legi. De interes deosebit este cazul când o forță externă, variind după o lege armonică cu o frecvență ω, acționează asupra unui sistem oscilator capabil să efectueze propriile oscilații la o anumită frecvență ω 0.
Dacă oscilațiile libere apar la o frecvență ω 0, care este determinată de parametrii sistemului, atunci oscilațiile forțate constante apar întotdeauna la frecvența ω forță externă.
După ce forța externă începe să acționeze asupra sistemului oscilator, un timp Δ t pentru a stabili oscilaţii forţate. Timpul de stabilire este, în ordinea mărimii, egal cu timpul de amortizare τ al oscilațiilor libere în sistemul oscilator.
La momentul inițial, ambele procese sunt excitate în sistemul oscilator - oscilații forțate la frecvența ω și oscilații libere la frecvența naturală ω 0. Dar vibrațiile libere sunt amortizate datorită prezenței inevitabile a forțelor de frecare. Prin urmare, după un timp, în sistemul oscilator rămân doar oscilațiile staționare la frecvența ω a forței motrice externe.
Să considerăm, ca exemplu, oscilațiile forțate ale unui corp pe un arc (Fig. 2.5.1). La capătul liber al arcului se aplică o forță externă. Forțează capătul liber (stânga în Fig. 2.5.1) al arcului să se miște conform legii
Dacă capătul stâng al arcului este deplasat cu o distanță y, iar cea dreaptă - la distanță X din poziția lor inițială, când arcul era nedeformat, apoi alungirea arcului Δ l este egal cu:
În această ecuație, forța care acționează asupra unui corp este reprezentată ca doi termeni. Primul termen din partea dreaptă este forța elastică care tinde să readucă corpul în poziția de echilibru ( X= 0). Al doilea termen este efectul periodic extern asupra organismului. Acest termen se numește forță coercitivă.
Ecuația care exprimă a doua lege a lui Newton pentru un corp pe un arc în prezența unei influențe periodice externe poate primi o formă matematică strictă dacă luăm în considerare relația dintre accelerația corpului și coordonatele sale: Atunci va fi scris în formular
Ecuația (**) nu ține cont de acțiunea forțelor de frecare. Spre deosebire de ecuații ale vibrațiilor libere(*) (vezi §2.2) ecuația de oscilație forțată(**) conține două frecvențe - frecvența ω 0 a oscilațiilor libere și frecvența ω a forței motrice.
Oscilațiile forțate în regim de echilibru ale unei sarcini pe un arc apar la frecvența influenței externe conform legii
|
Amplitudinea oscilațiilor forțate X m și faza inițială θ depind de raportul frecvențelor ω 0 și ω și de amplitudine y m forţă externă.
La frecvențe foarte joase, când ω<< ω 0 , движение тела массой m, atașat la capătul drept al arcului, repetă mișcarea capătului stâng al arcului. în care X(t) = y(t), iar arcul rămâne practic nedeformat. O forță exterioară aplicată la capătul din stânga al arcului nu lucrează, deoarece modulul acestei forțe la ω<< ω 0 стремится к нулю.
Dacă frecvența ω a forței externe se apropie de frecvența naturală ω 0, are loc o creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate. Acest fenomen se numește rezonanţă . Dependența de amplitudine X m oscilaţii forţate de la frecvenţa ω a forţei motrice se numeşte caracteristică rezonantă sau curba de rezonanță(Fig. 2.5.2).
La rezonanţă amplitudinea X m oscilațiile sarcinii pot fi de multe ori mai mari decât amplitudinea y m vibrații ale capătului liber (stânga) al arcului cauzate de influența externă. În absența frecării, amplitudinea oscilațiilor forțate în timpul rezonanței ar trebui să crească fără limită. În condiții reale, amplitudinea oscilațiilor forțate în regim de echilibru este determinată de condiția: lucrul unei forțe externe în perioada de oscilație trebuie să fie egal cu pierderea de energie mecanică în același timp din cauza frecării. Cu cât frecarea este mai mică (adică cu atât factorul de calitate este mai mare Q sistem oscilator), cu atât amplitudinea oscilațiilor forțate la rezonanță este mai mare.
În sisteme oscilatoare cu factor de calitate nu foarte ridicat (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.
Fenomenul de rezonanță poate provoca distrugerea podurilor, clădirilor și altor structuri dacă frecvențele naturale ale oscilațiilor acestora coincid cu frecvența unei forțe care acționează periodic, care apare, de exemplu, din cauza rotației unui motor dezechilibrat.
Vibrațiile forțate sunt neamortizat fluctuatii. Pierderile de energie inevitabile datorate frecării sunt compensate prin furnizarea de energie dintr-o sursă externă de forță care acționează periodic. Există sisteme în care oscilațiile neamortizate apar nu datorită influențelor externe periodice, ci ca urmare a capacității unor astfel de sisteme de a regla furnizarea de energie dintr-o sursă constantă. Astfel de sisteme sunt numite auto-oscilante, iar procesul de oscilații neamortizate în astfel de sisteme este autooscilații . Într-un sistem auto-oscilant, se pot distinge trei elemente caracteristice - un sistem oscilator, o sursă de energie și un dispozitiv de feedback între sistemul oscilator și sursă. Orice sistem mecanic capabil să efectueze propriile oscilații amortizate (de exemplu, pendulul unui ceas de perete) poate fi folosit ca sistem oscilator.
Sursa de energie poate fi energia de deformare a unui arc sau energia potențială a unei sarcini într-un câmp gravitațional. Un dispozitiv de feedback este un mecanism prin care un sistem auto-oscilant reglează fluxul de energie dintr-o sursă. În fig. 2.5.3 prezintă o diagramă a interacțiunii diferitelor elemente ale unui sistem auto-oscilant.
Un exemplu de sistem mecanic auto-oscilant este un mecanism de ceas cu ancoră progres (Fig. 2.5.4). Roata de rulare cu dinți oblici este atașată rigid de un tambur dințat, prin care este aruncat un lanț cu o greutate. La capătul superior al pendulului este fixat ancoră(ancoră) cu două plăci de material solid, îndoite într-un arc de cerc cu centrul pe axa pendulului. La ceasurile de mână, greutatea este înlocuită cu un arc, iar pendulul este înlocuit cu un balansier - o roată de mână conectată la un arc spiral. Echilibratorul efectuează vibrații de torsiune în jurul axei sale. Sistemul oscilator dintr-un ceas este un pendul sau un echilibrator.
Sursa de energie este o greutate ridicată sau un arc înfăşurat. Dispozitivul folosit pentru a furniza feedback este o ancoră, care permite roții de rulare să rotească un dinte într-o jumătate de ciclu. Feedback-ul este oferit de interacțiunea ancorei cu roata de rulare. La fiecare oscilație a pendulului, un dinte al roții de deplasare împinge furca de ancorare în direcția de mișcare a pendulului, transferând acestuia o anumită porțiune de energie, care compensează pierderile de energie datorate frecării. Astfel, energia potențială a greutății (sau a arcului răsucit) este treptat, în porțiuni separate, transferată pendulului.
Sistemele mecanice auto-oscilante sunt răspândite în viața din jurul nostru și în tehnologie. Autooscilațiile apar la mașinile cu abur, motoarele cu ardere internă, clopotele electrice, șirurile instrumentelor muzicale arcuite, coloanele de aer în conductele instrumentelor de suflat, corzile vocale când se vorbește sau se cântă etc.
 |
| Figura 2.5.4. Mecanism de ceas cu pendul. |
