مثالی از محاسبه انرژی ارتعاشات عمودی آونگ فنری. دوره نوسان آونگ فنری. انتشار موج در یک محیط الاستیک

آونگ فنری یک نقطه مادی با جرم است که به فنر بی وزنی کاملاً الاستیک با سفتی متصل است. . دو حالت ساده وجود دارد: افقی (شکل 15، آ) و عمودی (شکل 15، ب) آونگ.

آ) آونگ افقی(شکل 15، الف). وقتی بار حرکت می کند
از موقعیت تعادل با مقدار بر روی آن در جهت افقی عمل می کند بازیابی نیروی الاستیک
(قانون هوک).

فرض بر این است که تکیه گاه افقی که بار در امتداد آن می لغزد
در طول ارتعاشات خود، کاملاً صاف است (بدون اصطکاک).

ب) آونگ عمودی(شکل 15، ب). موقعیت تعادل در این مورد با شرایط زیر مشخص می شود:

جایی که - مقدار نیروی کشسانی که بر بار وارد می شود
هنگامی که فنر به طور ایستا کشیده می شود تحت تأثیر گرانش بار
.

آ

شکل 15. آونگ فنری: آ- افقی و ب– عمودی

اگر فنر را کشیده و بار را رها کنید، شروع به نوسان عمودی می کند. اگر جابجایی در نقطه ای از زمان باشد
, سپس نیروی الاستیک اکنون به صورت نوشته می شود
.

در هر دو مورد در نظر گرفته شده، آونگ فنری نوسانات هارمونیک را با یک نقطه انجام می دهد

(27)

و فرکانس چرخه ای

. (28)

با استفاده از مثال آونگ فنری، می توان نتیجه گرفت که نوسانات هارمونیک حرکتی است که توسط نیرویی که متناسب با جابجایی افزایش می یابد، ایجاد می شود. . بدین ترتیب، اگر نیروی بازگردان شبیه قانون هوک باشد
(او نام را گرفتنیروی شبه الاستیک ، سپس سیستم باید نوسانات هارمونیک را انجام دهد.در لحظه عبور از وضعیت تعادل، هیچ نیروی بازگرداننده ای بر روی بدن وارد نمی شود، اما بدن با اینرسی، از وضعیت تعادل عبور می کند و نیروی بازگردان به سمت مخالف تغییر می کند.

آونگ ریاضی

شکل 16. آونگ ریاضی

آونگ ریاضییک سیستم ایده آل به شکل یک نقطه مادی است که بر روی یک نخ غیر قابل امتداد بی وزن به طول معلق است. ، که تحت تأثیر گرانش نوسانات کوچکی ایجاد می کند (شکل 16).

نوسانات چنین آونگی در زوایای انحراف کوچک
(بیشتر از 5 درجه) را می توان هارمونیک در نظر گرفت و فرکانس چرخه ای یک آونگ ریاضی:

, (29)

و دوره:

. (30)

2.3. انرژی بدن در طول نوسانات هارمونیک

انرژی وارد شده به سیستم نوسانی در طول فشار اولیه به صورت دوره ای تبدیل می شود: انرژی پتانسیل فنر تغییر شکل یافته به انرژی جنبشی بار متحرک و برگشت تبدیل می شود.

اجازه دهید آونگ فنری با فاز اولیه نوسانات هارمونیک انجام دهد
، یعنی
(شکل 17).

شکل 17. قانون بقای انرژی مکانیکی

هنگامی که آونگ فنری نوسان می کند

در حداکثر انحراف بار از موقعیت تعادل، کل انرژی مکانیکی آونگ (انرژی یک فنر تغییر شکل یافته با سفتی ) برابر است با
. هنگام عبور از موقعیت تعادل (
) انرژی پتانسیل فنر برابر با صفر می شود و انرژی مکانیکی کل سیستم نوسانی به صورت زیر تعیین می شود.
.

شکل 18 نمودارهای وابستگی انرژی جنبشی، پتانسیل و کل را در مواردی نشان می دهد که ارتعاشات هارمونیک با توابع مثلثاتی سینوس (خط چین) یا کسینوس (خط جامد) توصیف می شوند.

شکل 18. نمودارهای وابستگی زمانی جنبشی

و انرژی پتانسیل در طول نوسانات هارمونیک

از نمودارها (شکل 18) چنین بر می آید که فرکانس تغییر در انرژی جنبشی و پتانسیل دو برابر فرکانس طبیعی نوسانات هارمونیک است.

10.4. قانون بقای انرژی در طول نوسانات هارمونیک

10.4.1. صرفه جویی در انرژی در ارتعاشات هارمونیک مکانیکی

بقای انرژی در طول نوسانات یک آونگ ریاضی

در طول ارتعاشات هارمونیک، کل انرژی مکانیکی سیستم حفظ می شود (ثابت می ماند).

کل انرژی مکانیکی یک آونگ ریاضی

E = W k + W p ،

که در آن W k انرژی جنبشی است، W k = = mv 2/2; W p - انرژی پتانسیل، W p = mgh; m جرم بار است. g - ماژول شتاب سقوط آزاد؛ v - ماژول سرعت بار. h ارتفاع بار بالاتر از موقعیت تعادل است (شکل 10.15).

در طول نوسانات هارمونیک، یک آونگ ریاضی از چند حالت متوالی عبور می کند، بنابراین توصیه می شود انرژی یک آونگ ریاضی را در سه موقعیت در نظر بگیرید (شکل 10.15 را ببینید):

برنج. 10.15

1) در موقعیت تعادل

انرژی پتانسیل صفر است. انرژی کل با حداکثر انرژی جنبشی منطبق است:

E = W k max ;

2) در موقعیت اضطراری(2) بدن بالاتر از سطح اولیه تا حداکثر ارتفاع h max بالا می رود، بنابراین انرژی پتانسیل نیز حداکثر است:

W p max = m g h max ;

انرژی جنبشی صفر است. انرژی کل با حداکثر انرژی پتانسیل منطبق است:

E = W p max ;

3) در موقعیت متوسط(3) بدن دارای سرعت آنی v است و از سطح اولیه تا ارتفاع معینی h بالا می رود، بنابراین انرژی کل حاصل جمع است.

E = m v 2 2 + m g h ,

که در آن mv 2/2 انرژی جنبشی است. mgh - انرژی پتانسیل؛ m جرم بار است. g - ماژول شتاب سقوط آزاد؛ v - ماژول سرعت بار. h ارتفاع بار بالاتر از موقعیت تعادل است.

در طول نوسانات هارمونیک یک آونگ ریاضی، کل انرژی مکانیکی حفظ می شود:

E = const.

مقادیر انرژی کل آونگ ریاضی در سه موقعیت آن در جدول منعکس شده است. 10.1.

№	موقعیت	W ص	هفته	E = W p + W k
1	تعادل	0	m v حداکثر 2/2	m v حداکثر 2/2
2	مفرط	mgh حداکثر	0	mgh حداکثر
3	متوسط ​​(فوری)	mgh	mv 2/2	mv 2/2 + mgh

مقادیر انرژی مکانیکی کل ارائه شده در ستون آخر جدول. 10.1، مقادیر مساوی برای هر موقعیت آونگ داشته باشد که یک عبارت ریاضی است:

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h ;

m g h max = m v 2 2 + m g h ,

جایی که m جرم بار است. g - ماژول شتاب سقوط آزاد؛ v ماژول سرعت لحظه ای بار در موقعیت 3 است. h - ارتفاع بلند کردن بار بالای موقعیت تعادل در موقعیت 3. v max - ماژول حداکثر سرعت بار در موقعیت 1. h max - حداکثر ارتفاع بلند کردن بار بالای موقعیت تعادل در موقعیت 2.

زاویه انحراف نخآونگ ریاضی از عمودی (شکل 10.15) توسط عبارت تعیین می شود

cos α = l - hl = 1 - hl،

که در آن l طول نخ است. h ارتفاع بار بالاتر از موقعیت تعادل است.

حداکثر زاویهانحراف α max با حداکثر ارتفاع بلند کردن بار بالای موقعیت تعادل h max تعیین می شود:

cos α max = 1 - h max l .

مثال 11. دوره نوسانات کوچک یک آونگ ریاضی 0.9 ثانیه است. اگر توپ با عبور از موقعیت تعادلی با سرعت 1.5 متر بر ثانیه حرکت کند، حداکثر زاویه ای که نخ از حالت عمودی منحرف می شود چقدر است؟ هیچ اصطکاک در سیستم وجود ندارد.

راه حل . شکل دو موقعیت یک آونگ ریاضی را نشان می دهد:

• موقعیت تعادل 1 (مشخصه با حداکثر سرعت توپ v max)؛
• موقعیت افراطی 2 (که با حداکثر ارتفاع بلند کردن توپ h max بالاتر از موقعیت تعادل مشخص می شود).

زاویه مورد نیاز با تساوی تعیین می شود

cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,

که در آن l طول نخ آونگ است.

ما حداکثر ارتفاع توپ آونگ را بالاتر از موقعیت تعادل از قانون بقای انرژی مکانیکی کل پیدا می کنیم.

انرژی کل آونگ در حالت تعادل و در موقعیت شدید با فرمول های زیر تعیین می شود:

• در موقعیت تعادل -

E 1 = m v max 2 2,

جایی که m جرم توپ آونگ است. v max - ماژول سرعت توپ در موقعیت تعادل (حداکثر سرعت)، v max = 1.5 متر بر ثانیه؛

• در موقعیت شدید -

E 2 = حداکثر میلی‌گرم در ساعت،

که در آن g ماژول شتاب گرانشی است. h max حداکثر ارتفاع توپی است که بالاتر از موقعیت تعادل بلند می شود.

قانون پایستگی کل انرژی مکانیکی:

m v max 2 2 = m g h max.

اجازه دهید از اینجا حداکثر ارتفاع بالا رفتن توپ از موقعیت تعادل را بیان کنیم:

h max = v max 2 2 g .

طول نخ را از فرمول دوره نوسان یک آونگ ریاضی تعیین می کنیم.

T = 2 π لیتر گرم،

آن ها طول نخ

l = T 2 g 4 π 2 .

بیایید h max و l را در عبارت کسینوس زاویه مورد نظر جایگزین کنیم:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

و محاسبه را با در نظر گرفتن برابری تقریبی π 2 = 10 انجام دهید:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5 .

بنابراین حداکثر زاویه انحراف 60 درجه است.

به بیان دقیق، در زاویه 60 درجه، نوسانات توپ کم نیست و استفاده از فرمول استاندارد برای دوره نوسان یک آونگ ریاضی غیرقانونی است.

بقای انرژی در هنگام نوسانات آونگ فنری

کل انرژی مکانیکی یک آونگ فنراز انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل تشکیل شده است:

E = W k + W p ،

که در آن W k انرژی جنبشی است، W k = mv 2/2; W p - انرژی پتانسیل، W p = k (Δx) 2 /2; m جرم بار است. v - ماژول سرعت بار. k ضریب سفتی (الاستیسیته) فنر است. Δx - تغییر شکل (کشش یا فشرده سازی) فنر (شکل 10.16).

در سیستم بین المللی واحدها، انرژی یک سیستم نوسانی مکانیکی با ژول (1 J) اندازه گیری می شود.

در طول نوسانات هارمونیک، آونگ فنر از چندین حالت متوالی عبور می کند، بنابراین توصیه می شود انرژی آونگ فنر را در سه موقعیت در نظر بگیرید (شکل 10.16 را ببینید):

1) در موقعیت تعادل(1) سرعت بدن دارای حداکثر مقدار v max است، بنابراین انرژی جنبشی نیز حداکثر است:

W k max = m v max 2 2 ;

انرژی پتانسیل فنر صفر است، زیرا فنر تغییر شکل نمی دهد. انرژی کل با حداکثر انرژی جنبشی منطبق است:

E = W k max ;

2) در موقعیت اضطراری(2) فنر دارای حداکثر تغییر شکل (Δx max) است، بنابراین انرژی پتانسیل نیز دارای حداکثر مقدار است:

W p max = k (Δ x max) 2 2 ;

انرژی جنبشی بدن صفر است. انرژی کل با حداکثر انرژی پتانسیل منطبق است:

E = W p max ;

3) در موقعیت متوسط(3) بدن دارای سرعت آنی v است، فنر در این لحظه تغییر شکل دارد (Δx)، بنابراین انرژی کل حاصل جمع است.

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2،

که در آن mv 2/2 انرژی جنبشی است. k (Δx) 2 /2 - انرژی پتانسیل؛ m جرم بار است. v - ماژول سرعت بار. k ضریب سفتی (الاستیسیته) فنر است. Δx - تغییر شکل (کشش یا فشرده سازی) فنر.

هنگامی که بار آونگ فنری از وضعیت تعادل خود جابجا می شود، بر روی آن عمل می شود بازیابی نیرو، که برآمدگی آن بر روی جهت حرکت آونگ با فرمول تعیین می شود

F x = −kx،

که در آن x جابجایی بار آونگ فنر از موقعیت تعادل است، x = ∆x، ∆x تغییر شکل فنر است. k ضریب سفتی (الاستیسیته) فنر آونگ است.

در طول نوسانات هارمونیک آونگ فنر، کل انرژی مکانیکی حفظ می شود:

E = const.

مقادیر انرژی کل آونگ فنر در سه موقعیت آن در جدول منعکس شده است. 10.2.

№	موقعیت	W ص	هفته	E = W p + W k
1	تعادل	0	m v حداکثر 2/2	m v حداکثر 2/2
2	مفرط	k (Δx max) 2 /2	0	k (Δx max) 2 /2
3	متوسط ​​(فوری)	k (Δx ) 2 /2	mv 2/2	mv 2/2 + k (Δx ) 2/2

مقادیر انرژی مکانیکی کل ارائه شده در ستون آخر جدول دارای مقادیر مساوی برای هر موقعیت آونگ است که یک عبارت ریاضی است. قانون بقای انرژی مکانیکی کل:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2،

که در آن m جرم بار است. v ماژول سرعت لحظه ای بار در موقعیت 3 است. Δx - تغییر شکل (کشش یا فشرده سازی) فنر در موقعیت 3. v max - ماژول حداکثر سرعت بار در موقعیت 1. Δx max - حداکثر تغییر شکل (کشش یا فشرده سازی) فنر در موقعیت 2.

مثال 12. آونگ فنری نوسانات هارمونیک را انجام می دهد. انرژی جنبشی آن در لحظه ای که جابجایی جسم از حالت تعادل یک چهارم دامنه است چند برابر بیشتر از انرژی پتانسیل است؟

راه حل . بیایید دو موقعیت آونگ فنری را با هم مقایسه کنیم:

• موقعیت شدید 1 (که با حداکثر جابجایی بار آونگ از موقعیت تعادل x max مشخص می شود).
• موقعیت متوسط ​​2 (که با مقادیر میانی جابجایی از موقعیت تعادل x و سرعت v → مشخص می شود).

انرژی کل آونگ در موقعیت های انتهایی و میانی با فرمول های زیر تعیین می شود:

• در موقعیت شدید -

E 1 = k (Δ x حداکثر) 2 2،

که در آن k ضریب سفتی (الاستیسیته) فنر است. ∆x max - دامنه نوسانات (حداکثر جابجایی از موقعیت تعادل)، ∆x max = A.

• در موقعیت متوسط ​​-

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2،

که در آن m جرم بار آونگ است. ∆x - جابجایی بار از موقعیت تعادل، ∆x = A /4.

قانون بقای انرژی مکانیکی کل برای آونگ فنر به شکل زیر است:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

اجازه دهید هر دو طرف تساوی نوشته شده را بر k (∆x) 2 /2 تقسیم کنیم:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

که در آن W k انرژی جنبشی آونگ در یک موقعیت میانی است، W k = mv 2/2. W p - انرژی پتانسیل آونگ در موقعیت میانی، W p = k (∆x ) 2 /2.

اجازه دهید نسبت انرژی مورد نیاز را از معادله بیان کنیم:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 - 1

و مقدار آن را محاسبه کنید:

W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15.

در لحظه مشخص شده، نسبت انرژی جنبشی و پتانسیل آونگ 15 است.

تعریف

فرکانس نوسان($\nu$) یکی از پارامترهایی است که نوسانات را مشخص می کند.

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1\راست).\]

بنابراین، فرکانس نوسان یک کمیت فیزیکی برابر با تعداد تکرار نوسانات در واحد زمان است.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\left(2\راست)،\]

که در آن $N$ تعداد حرکات کامل نوسانی است. $\Delta t$ زمانی است که در طی آن این نوسانات رخ داده است.

فرکانس نوسان چرخه ای ($(\omega )_0$) با فرکانس $\nu $ با فرمول مرتبط است:

\[\nu =\frac((\omega)_0)(2\pi )\left(3\راست).\]

واحد فرکانس در سیستم بین المللی واحدها (SI) هرتز یا ثانیه متقابل است:

\[\چپ[\nu \راست]=с^(-1)=Hz.\]

آونگ فنری

تعریف

آونگ فنریسیستمی نامیده می شود که از یک فنر الاستیک تشکیل شده است که باری به آن متصل است.

فرض کنید جرم بار $m$ و ضریب الاستیسیته فنر $k$ باشد. جرم فنر در چنین آونگی معمولاً در نظر گرفته نمی شود. اگر حرکات افقی بار را در نظر بگیریم (شکل 1)، اگر سیستم از حالت تعادل خارج شود و به حال خود رها شود، تحت تأثیر نیروی کشسان حرکت می کند. در این مورد، اغلب اعتقاد بر این است که نیروهای اصطکاک را می توان نادیده گرفت.

معادلات نوسانات آونگ فنر

آونگ فنری که آزادانه نوسان می کند نمونه ای از نوسان ساز هارمونیک است. اجازه دهید او در امتداد محور X نوسان کند، قانون هوک برآورده می شود، معادله حرکت بار را به صورت زیر می نویسیم:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\راست)،\]

که در آن $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ فرکانس چرخه ای نوسانات آونگ فنر است. جواب معادله (4) تابع سینوس یا کسینوس به شکل زیر است:

جایی که $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ فرکانس چرخه ای نوسانات آونگ فنر است، $A$ دامنه نوسانات است. $((\omega)_0t+\varphi)$ - فاز نوسان. $\varphi $ و $(\varphi )_1$ مراحل اولیه نوسانات هستند.

فرکانس نوسان آونگ فنری

از فرمول (3) و $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$، نتیجه می شود که فرکانس نوسان آونگ فنر برابر است با:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\راست).\]

فرمول (6) در صورتی معتبر است که:

• فنر در آونگ بی وزن در نظر گرفته می شود.
• بار متصل به فنر یک بدنه کاملاً سفت و سخت است.
• هیچ ارتعاش پیچشی وجود ندارد.

بیان (6) نشان می دهد که فرکانس نوسان آونگ فنر با کاهش جرم بار و افزایش ضریب کشسانی فنر افزایش می یابد. فرکانس نوسان آونگ فنر به دامنه بستگی ندارد. اگر نوسانات کوچک نباشند، نیروی الاستیک فنر از قانون هوک پیروی نمی کند، سپس یک وابستگی فرکانس نوسان به دامنه ظاهر می شود.

نمونه هایی از مشکلات با راه حل ها

مثال 1

ورزش.دوره نوسان یک آونگ فنری $T=5\cdot (10)^(-3)s$ است. فرکانس نوسان در این حالت چقدر است؟ فرکانس چرخه ای ارتعاش این جرم چقدر است؟

راه حل.فرکانس نوسان متقابل دوره نوسان است، بنابراین برای حل مشکل کافی است از فرمول استفاده کنید:

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1.1\راست).\]

بیایید فرکانس مورد نیاز را محاسبه کنیم:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \چپ(هرتز\راست).\]

فرکانس چرخه ای به فرکانس $\nu $ مربوط می شود:

\[(\omega)_0=2\pi \nu \ \چپ(1.2\راست).\]

بیایید فرکانس چرخه ای را محاسبه کنیم:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\حدود 1256\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

پاسخ.$1)\ \nu =200 دلار هرتز. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$

مثال 2

ورزش.جرم بار آویزان شده روی فنر الاستیک (شکل 2) با $\Delta m$ افزایش می یابد، در حالی که فرکانس $n $ برابر کاهش می یابد. جرم اولین بار چقدر است؟

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \چپ(2.1\راست).\]

برای بار اول فرکانس برابر خواهد بود با:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \چپ(2.2\راست).\]

برای بار دوم:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \چپ(2.2\راست).\]

با توجه به شرایط مسئله $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$، رابطه $\frac((\nu )_1)((\nu )_2 را پیدا می کنیم: \frac((\nu)_1)((\nu)_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\Delta m)(m))=n\ \left(2.3\right).$

اجازه دهید از رابطه (2.3) جرم مورد نیاز بار را بدست آوریم. برای انجام این کار، اجازه دهید دو طرف عبارت (2.3) را مربع کنیم و $m$ را بیان کنیم:

پاسخ.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$

سیستم فیزیکی (جسمی) که در آن نوسانات به هنگام انحراف از وضعیت تعادل ایجاد می شود و وجود دارد، نامیده می شود. سیستم نوسانی.

بیایید ساده ترین سیستم های نوسانی مکانیکی را در نظر بگیریم: فنر و آونگ های ریاضی.

آونگ فنری

• آونگ فنرییک سیستم نوسانی است که از یک نقطه مادی به جرم m و یک فنر تشکیل شده است.

تمیز دادن افقیآونگ فنری (شکل 1، الف) و عمودی(شکل 1، ب).

Mex-majat-02.swf b شکل. 1.

دوره نوسان آونگ فنری را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(m)(k))،\)

جایی که ک- ضریب صلبیت فنر آونگ. همانطور که از فرمول به دست آمده نشان می دهد، دوره نوسان آونگ فنر به دامنه نوسانات (در محدوده امکان سنجی قانون هوک) بستگی ندارد.

• خاصیت استقلال دوره نوسان یک آونگ از دامنه کشف شده توسط گالیله نامیده می شود. هم زمان بودن(از کلمات یونانی ίσος - برابر و χρόνος - زمان).

آونگ ریاضی

یک آونگ ساده را در نظر بگیرید - توپی که روی یک نخ قوی بلند آویزان است. چنین آونگی نامیده می شود فیزیکی.

اگر ابعاد توپ بسیار کوچکتر از طول نخ باشد، می توان از این ابعاد صرف نظر کرد و توپ را به عنوان یک نقطه مادی در نظر گرفت. کشش نخ را نیز می توان نادیده گرفت، زیرا بسیار کوچک است. اگر جرم نخ چند برابر جرم توپ کمتر باشد، جرم نخ را نیز می توان نادیده گرفت. در این حالت مدلی از یک آونگ بدست می آوریم که به آن آونگ ریاضی می گویند.

• آونگ ریاضینقطه مادی با جرم m نامیده می شود که بر روی یک رشته غیر قابل امتداد بی وزن به طول l در میدان گرانش (یا نیروهای دیگر) معلق است (شکل 2).

Mex-majat-03.swfبرنج. 2.

گالیله گالیله به طور تجربی ثابت کرد که دوره نوسان یک آونگ ریاضی در میدان گرانش به جرم و دامنه نوسانات آن (زاویه انحراف اولیه) بستگی ندارد. او همچنین ثابت کرد که دوره نوسان مستقیماً با \(\sqrt(l)\) متناسب است.

دوره نوسانات کوچک یک آونگ ریاضی در میدان گرانش زمین با فرمول هویگنس تعیین می شود:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(l)(g)).\)

در زوایای انحراف آونگ ریاضی α< 20° погрешность расчета периода по формуле Гюйгенса не превышает 1%.

در حالت کلی، هنگامی که آونگ در میدان های یکنواخت چندین نیرو قرار دارد، برای تعیین دوره نوسان باید وارد شود: شتاب کارآمد» g*، مشخص کردن عملکرد حاصل از این میدان ها و دوره نوسان آونگ با فرمول تعیین می شود

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(l)(g*)).\)

*اشتقاق فرمول ها

*آونگ فنری

برای بار مترآونگ فنری افقی در معرض نیروی گرانش است ( m⋅gنیروی واکنش زمین ( ن) و نیروی کشسان فنر ( Fynp) (شکل 3، دو نیروی اول در شکل. آمشخص نشده است). اجازه دهید قانون دوم نیوتن را برای مورد نشان داده شده در شکل بنویسیم. 3، ب

\(m\cdot \vec(a) = \vec(F)_(ynp) + m\cdot \vec(g)+\vec(N),\)

0ایکس\ یا \(m\cdot a_(x) +k\cdot x=0.\)

mex-majat-05.swf a (مواد از سایت science.up-life.ru)

برنج. 3.

اجازه دهید این معادله را به شکلی شبیه معادله حرکت یک نوسانگر هارمونیک بنویسیم.

\(a_(x) + \frac(k)(m) \cdot x = 0.\)

مقایسه بیان حاصل با معادله ارتعاشات هارمونیک

\(a_(x) (t) + \omega^(2) \cdot x(t) = 0،\)

فرکانس چرخه ای نوسانات آونگ فنر را پیدا کنید

\(\omega = \sqrt(\frac(k)(m)).\)

سپس دوره نوسان آونگ فنر برابر خواهد بود با:

\(T=\frac(2\pi )(\omega) = 2\pi \cdot \sqrt(\frac(m)(k)).\)

*آونگ ریاضی

برای بار مترآونگ ریاضی که توسط گرانش عمل می کند ( m⋅g) و نیروی کشسانی نخ ( Fynp) (نیروی کشش) (شکل 4). محور 0 ایکسبیایید آن را در امتداد مماس به مسیر حرکت رو به بالا هدایت کنیم. اجازه دهید قانون دوم نیوتن را برای مورد نشان داده شده در شکل بنویسیم. 4، ب

\(m\cdot \vec(a) = \vec(F)_(ynp) + m\cdot \vec(g)،\)

ارتعاشات رایگانتحت تأثیر نیروهای داخلی سیستم پس از خارج شدن سیستم از وضعیت تعادل خود انجام می شوند.

به منظور. واسه اینکه. برای اینکهارتعاشات آزاد طبق قانون هارمونیک رخ می دهد، لازم است نیرویی که بدن را به حالت تعادل برمی گرداند، متناسب با جابجایی جسم از وضعیت تعادل باشد و در جهت مخالف جابجایی هدایت شود (نگاه کنید به بند 2.1). ):

نیروهای هر ماهیت فیزیکی دیگری که این شرایط را برآورده می کنند نامیده می شوند شبه الاستیک .

بنابراین، یک بار از مقداری جرم متر، به فنر سفت کننده متصل شده است ک، که انتهای دوم آن به طور ثابت ثابت است (شکل 2.2.1)، سیستمی را تشکیل می دهد که قادر به انجام نوسانات هارمونیک آزاد در غیاب اصطکاک است. بار روی فنر نامیده می شود هارمونیک خطی نوسان ساز.

فرکانس دایره ای ω 0 نوسانات آزاد بار روی فنر از قانون دوم نیوتن بدست می آید:

هنگامی که سیستم بار فنری به صورت افقی قرار می گیرد، نیروی گرانش اعمال شده به بار توسط نیروی واکنش پشتیبانی جبران می شود. اگر بار روی فنر معلق باشد، نیروی گرانش در امتداد خط حرکت بار هدایت می شود. در حالت تعادل، فنر به اندازه ای کشیده می شود ایکس 0 برابر

بنابراین، قانون دوم نیوتن برای بار روی فنر را می توان به صورت زیر نوشت

معادله (*) نامیده می شود معادله ارتعاشات آزاد . لازم به ذکر است که خواص فیزیکی سیستم نوسانی فقط فرکانس طبیعی نوسانات ω 0 یا دوره را تعیین کنید تی . پارامترهای فرآیند نوسان مانند دامنه ایکس m و فاز اولیه φ 0 با روشی تعیین می شود که در آن سیستم در لحظه اولیه زمان از حالت تعادل خارج شد.

برای مثال، اگر بار با فاصله Δ از موقعیت تعادل جابجا شود لو سپس در یک نقطه از زمان تی= 0 بدون سرعت اولیه منتشر شد، سپس ایکس m = Δ ل، φ 0 = 0.

اگر به باری که در موقعیت تعادل قرار داشت با کمک یک فشار تند سرعت اولیه ± υ 0 داده شود،

بنابراین، دامنه ایکس m نوسانات آزاد و فاز اولیه آن φ 0 تعیین می شود شرایط اولیه .

انواع مختلفی از سیستم های نوسانی مکانیکی وجود دارد که از نیروهای تغییر شکل الاستیک استفاده می کنند. در شکل شکل 2.2.2 آنالوگ زاویه ای یک نوسان ساز هارمونیک خطی را نشان می دهد. یک دیسک که به صورت افقی قرار دارد، روی یک نخ الاستیک متصل به مرکز جرم آن آویزان است. هنگامی که دیسک از طریق زاویه θ می چرخد، یک لحظه نیرو رخ می دهد مکنترل تغییر شکل پیچشی الاستیک:

جایی که من = من C لحظه اینرسی دیسک نسبت به محور است که از مرکز جرم می گذرد، ε شتاب زاویه ای است.

با قیاس با بار روی فنر، می توانید دریافت کنید:

ارتعاشات رایگان آونگ ریاضی

آونگ ریاضیجسم کوچکی نامیده می شود که بر روی یک نخ نازک غیر قابل امتداد معلق است که جرم آن در مقایسه با جرم بدن ناچیز است. در حالت تعادل، هنگامی که آونگ شاقول را آویزان می کند، نیروی گرانش با نیروی کشش نخ متعادل می شود. هنگامی که آونگ با یک زاویه خاص φ از موقعیت تعادل منحرف می شود، یک جزء مماسی از گرانش ظاهر می شود. اف τ = - میلی گرم sin φ (شکل 2.3.1). علامت منفی در این فرمول به این معنی است که جزء مماسی در جهت مخالف انحراف آونگ هدایت می شود.

اگر با علامت گذاری کنیم ایکسجابجایی خطی آونگ از موقعیت تعادل در امتداد کمانی دایره ای با شعاع ل، سپس جابجایی زاویه ای آن برابر با φ = خواهد بود ایکس / ل. قانون دوم نیوتن که برای پیش بینی بردارهای شتاب و نیرو بر روی جهت مماس نوشته شده است، به دست می دهد:

این رابطه نشان می دهد که یک آونگ ریاضی پیچیده است غیر خطیسیستم، از آنجایی که نیرویی که تمایل دارد آونگ را به موقعیت تعادل بازگرداند، متناسب با جابجایی نیست. ایکس، آ

فقط در صورت نوسانات کوچک، زمانی که تقریبامی تواند با یک آونگ ریاضی جایگزین شود، یک نوسان ساز هارمونیک است، یعنی سیستمی که قادر به انجام نوسانات هارمونیک است. در عمل، این تقریب برای زوایای 15-20 درجه معتبر است. در این مورد، مقدار با بیش از 2٪ متفاوت است. نوسانات یک آونگ در دامنه های بزرگ هارمونیک نیستند.

برای نوسانات کوچک یک آونگ ریاضی، قانون دوم نیوتن به صورت نوشته شده است

این فرمول بیان می کند فرکانس طبیعی نوسانات کوچک یک آونگ ریاضی .

از این رو،

هر جسمی که روی یک محور چرخش افقی نصب شده باشد، قادر به نوسانات آزاد در میدان گرانشی است و بنابراین، آونگ نیز می باشد. معمولاً چنین آونگی نامیده می شود فیزیکی (شکل 2.3.2). فقط در توزیع جرم ها با ریاضی تفاوت دارد. در موقعیت تعادل پایدار، مرکز جرم سیآونگ فیزیکی در زیر محور چرخش O بر روی عمودی که از محور عبور می کند قرار دارد. هنگامی که آونگ با زاویه φ منحرف می شود، یک لحظه گرانش ایجاد می شود که تمایل دارد آونگ را به موقعیت تعادل بازگرداند:

و قانون دوم نیوتن برای آونگ فیزیکی شکل می گیرد (به بند 1.23 مراجعه کنید).

اینجا ω 0 - فرکانس طبیعی نوسانات کوچک یک آونگ فیزیکی .

از این رو،

بنابراین، معادله بیان کننده قانون دوم نیوتن برای آونگ فیزیکی را می توان به شکل نوشتاری نوشت

در نهایت، برای فرکانس دایره ای ω 0 نوسانات آزاد یک آونگ فیزیکی، عبارت زیر به دست می آید:

تبدیل انرژی در طی ارتعاشات مکانیکی آزاد

در طول ارتعاشات مکانیکی آزاد، انرژی های جنبشی و پتانسیل به طور دوره ای تغییر می کنند. با حداکثر انحراف یک جسم از موقعیت تعادلی خود، سرعت آن و در نتیجه انرژی جنبشی آن از بین می رود. در این موقعیت انرژی پتانسیل جسم نوسانی به حداکثر مقدار خود می رسد. برای بار روی فنر، انرژی پتانسیل انرژی تغییر شکل الاستیک فنر است. برای یک آونگ ریاضی، این انرژی در میدان گرانشی زمین است.

وقتی جسمی در حال حرکت از حالت تعادل عبور می کند، سرعت آن حداکثر است. طبق قانون اینرسی، بدن از وضعیت تعادل خارج می شود. در این لحظه دارای حداکثر انرژی جنبشی و حداقل انرژی پتانسیل است. افزایش انرژی جنبشی به دلیل کاهش انرژی پتانسیل رخ می دهد. با حرکت بیشتر، انرژی پتانسیل به دلیل کاهش انرژی جنبشی و غیره شروع به افزایش می کند.

بنابراین، در طول نوسانات هارمونیک، تبدیل دوره ای انرژی جنبشی به انرژی پتانسیل و بالعکس رخ می دهد.

اگر اصطکاک در سیستم نوسانی وجود نداشته باشد، کل انرژی مکانیکی در طول نوسانات آزاد بدون تغییر باقی می ماند.

برای بار فنر(نگاه کنید به §2.2):

در شرایط واقعی، هر سیستم نوسانی تحت تأثیر نیروهای اصطکاک (مقاومت) است. در این حالت بخشی از انرژی مکانیکی به انرژی درونی حرکت حرارتی اتم ها و مولکول ها تبدیل می شود و ارتعاشات تبدیل می شود. محو شدن (شکل 2.4.2).

سرعت فروپاشی ارتعاشات به بزرگی نیروهای اصطکاک بستگی دارد. بازه زمانی τ که در طی آن دامنه نوسانات کاهش می یابد ه≈ 2.7 بار، تماس گرفته شد زمان پوسیدگی .

فرکانس نوسانات آزاد به سرعت فروپاشی نوسانات بستگی دارد. با افزایش نیروهای اصطکاک، فرکانس طبیعی کاهش می یابد. با این حال، تغییر در فرکانس طبیعی تنها با نیروهای اصطکاک به اندازه کافی بزرگ، زمانی که ارتعاشات طبیعی به سرعت از بین می روند، قابل توجه می شود.

یک ویژگی مهم یک سیستم نوسانی که نوسانات میرا آزاد را انجام می دهد این است فاکتور کیفیت س. این پارامتر به عنوان یک عدد تعریف می شود نکل نوسانات انجام شده توسط سیستم در طول زمان میرایی τ، ضرب در π:

بنابراین، ضریب کیفیت، از دست دادن نسبی انرژی در سیستم نوسانی را به دلیل وجود اصطکاک در یک بازه زمانی برابر با یک دوره نوسان مشخص می کند.

ارتعاشات اجباری رزونانس. خود نوسانات

نوساناتی که تحت تأثیر یک نیروی تناوبی خارجی رخ می دهد نامیده می شود مجبور شد.

یک نیروی خارجی کار مثبت انجام می دهد و جریان انرژی را به سیستم نوسانی می دهد. با وجود اعمال نیروهای اصطکاک، اجازه نمی دهد ارتعاشات از بین بروند.

یک نیروی خارجی دوره ای می تواند در طول زمان بر اساس قوانین مختلف تغییر کند. موردی جالب توجه است که یک نیروی خارجی، که بر اساس یک قانون هارمونیک با فرکانس ω متغیر است، بر روی یک سیستم نوسانی که قادر به انجام نوسانات خود در فرکانس معین ω 0 است، عمل می کند.

اگر نوسانات آزاد در فرکانس ω 0 رخ دهد که توسط پارامترهای سیستم تعیین می شود، نوسانات اجباری ثابت همیشه در فرکانس ω نیروی خارجی.

پس از اینکه نیروی خارجی شروع به اعمال بر روی سیستم نوسانی کرد، مدتی Δ تیبرای ایجاد نوسانات اجباری زمان استقرار به ترتیب بزرگی برابر با زمان میرایی τ نوسانات آزاد در سیستم نوسانی است.

در لحظه اولیه، هر دو فرآیند در سیستم نوسانی برانگیخته می شوند - نوسانات اجباری در فرکانس ω و نوسانات آزاد در فرکانس طبیعی ω 0. اما ارتعاشات آزاد به دلیل وجود اجتناب ناپذیر نیروهای اصطکاک میرا می شوند. بنابراین پس از مدتی فقط نوسانات ثابت در فرکانس ω نیروی محرکه خارجی در سیستم نوسانی باقی می ماند.

اجازه دهید، به عنوان مثال، نوسانات اجباری یک جسم روی فنر را در نظر بگیریم (شکل 2.5.1). یک نیروی خارجی به انتهای آزاد فنر وارد می شود. انتهای آزاد (سمت چپ در شکل 2.5.1) فنر را وادار می کند تا طبق قانون حرکت کند.

اگر انتهای چپ فنر با فاصله جابجا شود y، و سمت راست - به فاصله ایکساز موقعیت اصلی خود، زمانی که فنر تغییر شکل نداده است، سپس ازدیاد طول فنر Δ لبرابر است با:

در این معادله، نیروی وارد بر جسم به صورت دو جمله نمایش داده می شود. اولین عبارت در سمت راست، نیروی کشسانی است که بدن را به حالت تعادل برمی گرداند. ایکس= 0). اصطلاح دوم اثر دوره ای خارجی بر بدن است. این اصطلاح نامیده می شود نیروی اجباری.

اگر رابطه بین شتاب جسم و مختصات آن را در نظر بگیریم، می‌توان به معادله‌ای که قانون دوم نیوتن را برای جسم روی فنر در حضور تأثیر تناوبی خارجی بیان می‌کند، شکل ریاضی دقیقی داد. در فرم نوشته خواهد شد

معادله (**) عمل نیروهای اصطکاک را در نظر نمی گیرد. بر خلاف معادلات ارتعاشات آزاد(*) (نگاه کنید به §2.2) معادله نوسان اجباری(**) شامل دو فرکانس است - فرکانس ω 0 نوسانات آزاد و فرکانس ω نیروی محرکه.

طبق قانون، نوسانات اجباری حالت پایدار یک بار روی فنر در فرکانس تأثیر خارجی رخ می دهد.

ایکس(تی) = ایکس mcos(ω تی + θ).

دامنه نوسانات اجباری ایکس m و فاز اولیه θ به نسبت فرکانس‌های ω 0 و ω و به دامنه بستگی دارد. y m نیروی خارجی

در فرکانس های بسیار پایین، زمانی که ω<< ω 0 , движение тела массой متر، به انتهای سمت راست فنر متصل شده است، حرکت انتهای چپ فنر را تکرار می کند. که در آن ایکس(تی) = y(تی، و فنر عملا تغییر شکل نداده است. نیروی خارجی وارد شده به انتهای سمت چپ فنر کاری انجام نمی دهد، زیرا مدول این نیرو در ω<< ω 0 стремится к нулю.

اگر فرکانس ω نیروی خارجی به فرکانس طبیعی ω 0 نزدیک شود، افزایش شدید دامنه نوسانات اجباری رخ می دهد. این پدیده نامیده می شود رزونانس . وابستگی دامنه ایکس m نوسانات اجباری از فرکانس ω نیروی محرکه نامیده می شود مشخصه طنین اندازیا منحنی رزونانس(شکل 2.5.2).

در تشدید دامنه ایکس m نوسانات بار می تواند چندین برابر بیشتر از دامنه باشد y m ارتعاشات انتهای آزاد (چپ) فنر ناشی از تأثیر خارجی است. در غیاب اصطکاک، دامنه نوسانات اجباری در طول تشدید باید بدون محدودیت افزایش یابد. در شرایط واقعی، دامنه نوسانات اجباری حالت پایدار با این شرط تعیین می شود: کار یک نیروی خارجی در طول دوره نوسان باید برابر با از دست دادن انرژی مکانیکی در همان زمان به دلیل اصطکاک باشد. هر چه اصطکاک کمتر باشد (یعنی ضریب کیفیت بالاتر باشد سسیستم نوسانی)، دامنه نوسانات اجباری در رزونانس بیشتر است.

در سیستم های نوسانی با ضریب کیفیت نه چندان بالا (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

پدیده تشدید می تواند باعث تخریب پل ها، ساختمان ها و سایر سازه ها شود اگر فرکانس های طبیعی نوسانات آنها با فرکانس نیرویی که به طور دوره ای عمل می کند، که مثلاً به دلیل چرخش یک موتور نامتعادل ایجاد می شود، منطبق باشد.

ارتعاشات اجباری هستند میرا نشدنوسانات تلفات انرژی اجتناب ناپذیر ناشی از اصطکاک با تامین انرژی از یک منبع خارجی نیروی عمل کننده دوره ای جبران می شود. سیستم هایی وجود دارند که در آنها نوسانات بدون میرا نه به دلیل تأثیرات خارجی دوره ای، بلکه در نتیجه توانایی چنین سیستم هایی برای تنظیم تأمین انرژی از یک منبع ثابت ایجاد می شود. چنین سیستم هایی نامیده می شوند خود نوسانی، و فرآیند نوسانات بدون میرا در چنین سیستم هایی است خود نوسانات . در یک سیستم خود نوسانی، سه عنصر مشخصه قابل تشخیص است - یک سیستم نوسانی، یک منبع انرژی و یک دستگاه بازخورد بین سیستم نوسانی و منبع. هر سیستم مکانیکی که بتواند نوسانات میرایی خود را انجام دهد (مثلاً آونگ ساعت دیواری) می تواند به عنوان یک سیستم نوسانی استفاده شود.

منبع انرژی می تواند انرژی تغییر شکل یک فنر یا انرژی پتانسیل یک بار در یک میدان گرانشی باشد. دستگاه بازخورد مکانیزمی است که توسط آن یک سیستم خود نوسانی جریان انرژی از یک منبع را تنظیم می کند. در شکل 2.5.3 نموداری از تعامل عناصر مختلف یک سیستم خود نوسانی را نشان می دهد.

نمونه ای از سیستم های مکانیکی خود نوسان ساز مکانیزم ساعت با لنگرپیشرفت (شکل 2.5.4). چرخ در حال اجرا با دندانه های مورب به سختی به یک درام دندانه دار متصل شده است که از طریق آن یک زنجیر با وزنه پرتاب می شود. در انتهای بالایی آونگ ثابت است لنگر(لنگر) با دو صفحه از مواد جامد، خم شده در یک قوس دایره ای با مرکز بر روی محور آونگ. در ساعت‌های دستی، وزن با یک فنر جایگزین می‌شود و آونگ با یک متعادل کننده جایگزین می‌شود - یک چرخ دستی که به یک فنر مارپیچی متصل است. متعادل کننده ارتعاشات پیچشی حول محور خود انجام می دهد. سیستم نوسانی در ساعت یک آونگ یا متعادل کننده است.

منبع انرژی یک وزنه برآمده یا فنر زخمی است. وسیله ای که برای ارائه بازخورد استفاده می شود یک لنگر است که به چرخ دونده اجازه می دهد یک دندان را در یک نیم چرخه بچرخاند. بازخورد توسط تعامل لنگر با چرخ در حال اجرا ارائه می شود. با هر نوسان آونگ، یک دندانه از چرخ مسافرتی، چنگال لنگر را در جهت حرکت آونگ فشار می دهد و بخش خاصی از انرژی را به آن منتقل می کند که تلفات انرژی ناشی از اصطکاک را جبران می کند. بنابراین، انرژی پتانسیل وزنه (یا فنر پیچ خورده) به تدریج، در بخش های جداگانه، به آونگ منتقل می شود.

سیستم‌های خود نوسان مکانیکی در زندگی اطراف ما و در فناوری گسترده هستند. خود نوسانی در موتورهای بخار، موتورهای احتراق داخلی، زنگ‌های الکتریکی، سیم‌های آلات موسیقی آرشه‌دار، ستون‌های هوا در لوله‌های سازهای بادی، تارهای صوتی هنگام صحبت یا آواز خواندن و غیره رخ می‌دهد.

شکل 2.5.4. مکانیزم ساعت با آونگ.