Příklad výpočtu energie vertikálních kmitů pružinového kyvadla. Perioda kmitání pružinového kyvadla. Šíření vln v elastickém prostředí

Pružinové kyvadlo je hmotný bod s hmotou připevněnou k absolutně pružné beztížné pružině s tuhostí . Existují dva nejjednodušší případy: horizontální (obr. 15, A) a vertikální (obr. 15, b) kyvadla.

A) Horizontální kyvadlo(obr. 15, a). Když se náklad pohybuje
z rovnovážné polohy podle částky působí na něj ve vodorovném směru obnovení elastické síly
(Hookeův zákon).

Předpokládá se, že vodorovná podpěra, po které náklad klouže
při svých vibracích je naprosto hladký (žádné tření).

b) Vertikální kyvadlo(obr. 15, b). Rovnovážná poloha je v tomto případě charakterizována podmínkou:

Kde - velikost pružné síly působící na zatížení
když je pružina staticky natažená o pod vlivem gravitace zátěže
.

A

Obr. pružinové kyvadlo: A– horizontální a b– vertikální

Pokud pružinu natáhnete a zátěž uvolníte, začne vertikálně kmitat. Pokud je posun v určitém okamžiku
, pak bude pružná síla nyní zapsána jako
.

V obou uvažovaných případech pružinové kyvadlo vykonává harmonické kmity s periodou

(27)

a cyklická frekvence

. (28)

Na příkladu pružinového kyvadla můžeme dojít k závěru, že harmonické kmitání je pohyb způsobený silou, která se zvyšuje úměrně k posuvu . Tím pádem, pokud se obnovující síla podobá Hookeovu zákonu
(dostala jménokvazi-elastická síla ), pak musí systém provádět harmonické kmity. V okamžiku projetí rovnovážné polohy na těleso nepůsobí žádná vratná síla, těleso však setrvačností projde rovnovážnou polohou a vratná síla změní směr opačný.

Matematické kyvadlo

Obr. 16. Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je idealizovaný systém v podobě hmotného bodu zavěšeného na beztížné neroztažitelné niti délky , který pod vlivem gravitace dělá malé kmity (obr. 16).

Kmity takového kyvadla při malých úhlech vychýlení
(nepřesahující 5º) lze považovat za harmonickou a cyklickou frekvenci matematického kyvadla:

, (29)

a období:

. (30)

2.3. Energie těla při harmonických kmitech

Energie předaná oscilačnímu systému během počátečního tlaku se bude periodicky transformovat: potenciální energie deformované pružiny se přemění na kinetickou energii pohybujícího se zatížení a zpět.

Nechte pružinové kyvadlo provádět harmonické kmity s počáteční fází
, tj.
(obr. 17).

Obr. 17 Zákon zachování mechanické energie

když kmitá pružinové kyvadlo

Při maximální odchylce zatížení od rovnovážné polohy se celková mechanická energie kyvadla (energie deformované pružiny o tuhosti ) je rovný
. Při průchodu rovnovážnou polohou (
) potenciální energie pružiny bude rovna nule a celková mechanická energie oscilačního systému bude určena jako
.

Obrázek 18 ukazuje grafy závislostí kinetické, potenciální a celkové energie v případech, kdy jsou harmonické vibrace popsány trigonometrickými funkcemi sinus (přerušovaná čára) nebo kosinus (plná čára).

Obr. Grafy časové závislosti kinetiky

a potenciální energie při harmonických oscilacích

Z grafů (obr. 18) vyplývá, že frekvence změny kinetické a potenciální energie je dvakrát vyšší než vlastní frekvence harmonických kmitů.

10.4. Zákon zachování energie při harmonických kmitech

10.4.1. Úspora energie při mechanické harmonické vibrace

Zachování energie při kmitání matematického kyvadla

Při harmonických vibracích se celková mechanická energie systému zachovává (zůstává konstantní).

Celková mechanická energie matematického kyvadla

E = Wk + Wp,

kde W k je kinetická energie, W k = = mv 2 /2; W p - potenciální energie, W p = mgh; m je hmotnost nákladu; g - modul zrychlení volného pádu; v - modul rychlosti zatížení; h je výška zatížení nad rovnovážnou polohou (obr. 10.15).

Při harmonických kmitech prochází matematické kyvadlo řadou po sobě jdoucích stavů, proto je vhodné uvažovat energii matematického kyvadla ve třech polohách (viz obr. 10.15): Obr.

Rýže. 10.15

1) v rovnovážná poloha

potenciální energie je nulová; Celková energie se shoduje s maximální kinetickou energií:

E = Wkmax;

2) v Nouzová situace(2) těleso je zvednuto nad počáteční úroveň do maximální výšky h max, proto je potenciální energie také maximální:

Wpmax = mghmax;

kinetická energie je nulová; celková energie se shoduje s maximální potenciální energií:

E = Wpmax;

3) v mezipoloha(3) těleso má okamžitou rychlost v a je zvednuto nad počáteční hladinu do určité výšky h, proto je celková energie součtem

E = mv 2 2 + m g h,

kde mv 2 /2 je kinetická energie; mgh - potenciální energie; m je hmotnost nákladu; g - modul zrychlení volného pádu; v - modul rychlosti zatížení; h je výška zatížení nad rovnovážnou polohou.

Při harmonických oscilacích matematického kyvadla se zachovává celková mechanická energie:

E = konst.

Hodnoty celkové energie matematického kyvadla v jeho třech polohách se odráží v tabulce. 10.1.

№	Pozice	Wp	Wk	E = Wp + Wk
1	Rovnováha	0	mv max 2/2	mv max 2/2
2	Extrémní	mgh max	0	mgh max
3	Středně pokročilý (okamžitý)	mgh	mv 2 /2	mv 2 /2 + mgh

Hodnoty celkové mechanické energie uvedené v posledním sloupci tabulky. 10.1, mají stejné hodnoty pro jakoukoli polohu kyvadla, což je matematický výraz:

m v max 2 2 = m g h max;

mv max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h max = m v 2 2 + m g h ,

kde m je hmotnost nákladu; g - modul zrychlení volného pádu; v je modul okamžité rychlosti zátěže v poloze 3; h - výška zdvihu břemene nad rovnovážnou polohu v poloze 3; v max - modul maximální rychlosti zátěže v poloze 1; h max - maximální výška zvedání břemene nad rovnovážnou polohu v poloze 2.

Úhel vychýlení závitu matematické kyvadlo od svislice (obr. 10.15) je určeno výrazem

cos α = l − hl = 1 − hl ,

kde l je délka vlákna; h je výška zatížení nad rovnovážnou polohou.

Maximální úhel odchylka α max je určena maximální výškou zdvihu břemene nad rovnovážnou polohu h max:

cos α max = 1 − h max l .

Příklad 11. Perioda malých kmitů matematického kyvadla je 0,9s. Jaký je maximální úhel, pod kterým se závit odchýlí od svislice, pokud se kulička při průchodu rovnovážnou polohou pohybuje rychlostí 1,5 m/s? V systému není žádné tření.

Řešení . Obrázek ukazuje dvě polohy matematického kyvadla:

• rovnovážná poloha 1 (charakterizovaná maximální rychlostí kuličky v max);
• krajní poloha 2 (charakterizovaná maximální výškou zdvihu míče h max nad rovnovážnou polohou).

Požadovaný úhel je určen rovností

cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,

kde l je délka závitu kyvadla.

Maximální výšku koule kyvadla nad rovnovážnou polohou zjistíme ze zákona zachování celkové mechanické energie.

Celková energie kyvadla v rovnovážné poloze a v krajní poloze je určena těmito vzorci:

• v rovnováze -

E 1 = m v max 2 2,

kde m je hmotnost koule kyvadla; v max - modul rychlosti koule v rovnovážné poloze (maximální rychlost), v max = 1,5 m/s;

• v extrémní poloze -

E2 = mgh max,

kde g je modul gravitačního zrychlení; h max je maximální výška zvednutí míče nad rovnovážnou polohou.

Zákon zachování celkové mechanické energie:

m v max 2 2 = m g h max .

Vyjádřeme odtud maximální výšku stoupání míče nad rovnovážnou polohu:

h max = v max 2 2 g .

Délku závitu určíme ze vzorce pro dobu kmitu matematického kyvadla

T = 2 π l g ,

těch. délka závitu

l = T2g4π2.

Dosadíme h max a l do výrazu pro kosinus požadovaného úhlu:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

a proveďte výpočet s přihlédnutím k přibližné rovnosti π 2 = 10:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

Z toho vyplývá, že maximální úhel vychýlení je 60°.

Přísně vzato, pod úhlem 60° nejsou kmity koule malé a je nezákonné používat standardní vzorec pro dobu kmitu matematického kyvadla.

Zachování energie při kmitání pružinového kyvadla

Celková mechanická energie pružinového kyvadla se skládá z kinetické energie a potenciální energie:

E = Wk + Wp,

kde Wk je kinetická energie, Wk = mv2/2; Wp - potenciální energie, Wp = k (Δx) 2 /2; m je hmotnost nákladu; v - modul rychlosti zatížení; k je koeficient tuhosti (elasticity) pružiny; Δx - deformace (tah nebo stlačení) pružiny (obr. 10.16).

V mezinárodní soustavě jednotek se energie mechanického oscilačního systému měří v joulech (1 J).

Při harmonických kmitech prochází kyvadlo pružiny řadou po sobě jdoucích stavů, proto je vhodné uvažovat energii kyvadla pružiny ve třech polohách (viz obr. 10.16): Obr.

1) v rovnovážná poloha(1) rychlost tělesa má maximální hodnotu v max, proto je také maximální kinetická energie:

Wkmax = mvmax22;

potenciální energie pružiny je nulová, protože pružina není deformována; Celková energie se shoduje s maximální kinetickou energií:

E = Wkmax;

2) v Nouzová situace(2) pružina má maximální deformaci (Δx max), takže potenciální energie má také maximální hodnotu:

Wpmax = k (A x max)22;

kinetická energie tělesa je nulová; celková energie se shoduje s maximální potenciální energií:

E = Wpmax;

3) v mezipoloha(3) těleso má okamžitou rychlost v, pružina má v tuto chvíli určitou deformaci (Δx), takže celková energie je součet

E = mv 2 2 + k (Δ x) 2 2,

kde mv 2 /2 je kinetická energie; k (Δx) 2 /2 - potenciální energie; m je hmotnost nákladu; v - modul rychlosti zatížení; k je koeficient tuhosti (elasticity) pružiny; Δx - deformace (tah nebo stlačení) pružiny.

Když se zatížení kyvadla pružiny přemístí z jeho rovnovážné polohy, působí na něj obnovující sílu, jehož průmět na směr pohybu kyvadla je určen vzorcem

F x = −kx ,

kde x je posunutí zatížení kyvadla pružiny z rovnovážné polohy, x = ∆x, ∆x je deformace pružiny; k je koeficient tuhosti (elasticity) pružiny kyvadla.

Během harmonických kmitů pružinového kyvadla se zachovává celková mechanická energie:

E = konst.

Hodnoty celkové energie pružinového kyvadla v jeho třech polohách se promítají do tabulky. 10.2.

№	Pozice	Wp	Wk	E = Wp + Wk
1	Rovnováha	0	mv max 2/2	mv max 2/2
2	Extrémní	k (Ax max) 2 /2	0	k (Ax max) 2 /2
3	Středně pokročilý (okamžitý)	k (Ax) 2/2	mv 2 /2	mv2/2 + k (Ax)2/2

Hodnoty celkové mechanické energie uvedené v posledním sloupci tabulky mají stejné hodnoty pro jakoukoli polohu kyvadla, což je matematický výraz zákon zachování celkové mechanické energie:

mvmax22 = k (A x max)22;

mvmax22 = mv22 + k (A x)22;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

kde m je hmotnost nákladu; v je modul okamžité rychlosti zátěže v poloze 3; Δx - deformace (tah nebo stlačení) pružiny v poloze 3; v max - modul maximální rychlosti zátěže v poloze 1; Δx max - maximální deformace (tah nebo stlačení) pružiny v poloze 2.

Příklad 12. Pružinové kyvadlo vykonává harmonické kmity. Kolikrát je jeho kinetická energie větší než potenciální energie v okamžiku, kdy je vychýlení tělesa z rovnovážné polohy čtvrtinou amplitudy?

Řešení . Porovnejme dvě polohy pružinového kyvadla:

• krajní poloha 1 (charakterizovaná maximálním posunutím zatížení kyvadla z rovnovážné polohy x max);
• mezipoloha 2 (charakterizovaná středními hodnotami posunutí z rovnovážné polohy x a rychlosti v →).

Celková energie kyvadla v krajní a mezilehlé poloze se určuje podle následujících vzorců:

• v extrémní poloze -

E 1 = k (Δ x max) 2 2,

kde k je koeficient tuhosti (elasticity) pružiny; ∆x max - amplituda kmitů (maximální výchylka z rovnovážné polohy), ∆x max = A;

• ve střední poloze -

E2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

kde m je hmotnost zatížení kyvadla; ∆x - posunutí zátěže z rovnovážné polohy, ∆x = A /4.

Zákon zachování celkové mechanické energie pro pružinové kyvadlo má následující podobu:

k (A x max) 2 2 = k (A x) 2 2 + m v 2 2 .

Vydělme obě strany zapsané rovnosti k (∆x) 2 /2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

kde W k je kinetická energie kyvadla v mezilehlé poloze, W k = mv 2 /2; W p - potenciální energie kyvadla v mezipoloze, W p = k (∆x ) 2 /2.

Vyjádřeme požadovaný energetický poměr z rovnice:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

a vypočítat jeho hodnotu:

W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .

V uvedeném okamžiku je poměr kinetické a potenciální energie kyvadla 15.

Definice

Frekvence kmitání($\nu$) je jeden z parametrů, které charakterizují oscilace Toto je převrácená hodnota periody oscilace ($T$):

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1\right).\]

Frekvence kmitů je tedy fyzikální veličina rovna počtu opakování kmitů za jednotku času.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\left(2\right),\]

kde $N$ je počet úplných oscilačních pohybů; $\Delta t$ je doba, během které k těmto oscilacím došlo.

Frekvence cyklických oscilací ($(\omega )_0$) souvisí s frekvencí $\nu $ podle vzorce:

\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\left(3\right).\]

Jednotkou frekvence v Mezinárodní soustavě jednotek (SI) je hertz nebo reciproční sekunda:

\[\left[\nu \right]=с^(-1)=Hz.\]

Pružinové kyvadlo

Definice

Pružinové kyvadlo nazývaný systém, který se skládá z elastické pružiny, ke které je připojena zátěž.

Předpokládejme, že hmotnost zatížení je $m$ a koeficient pružnosti pružiny $k$. Hmotnost pružiny v takovém kyvadle se obvykle nebere v úvahu. Uvažujeme-li vodorovné pohyby břemene (obr. 1), pak se pohybuje pod vlivem pružné síly, pokud je systém vyveden z rovnováhy a ponechán svému osudu. V tomto případě se často věří, že třecí síly lze ignorovat.

Rovnice kmitů pružinového kyvadla

Pružinové kyvadlo, které volně kmitá, je příkladem harmonického oscilátoru. Necháme ho kmitat podél osy X Pokud jsou oscilace malé, je Hookův zákon splněn, pak pohybovou rovnici zatížení zapíšeme jako:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\right),\]

kde $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ je cyklická frekvence kmitů pružinového kyvadla. Řešením rovnice (4) je sinusová nebo kosinusová funkce tvaru:

kde $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ je cyklická frekvence kmitů pružinového kyvadla, $A$ je amplituda kmitů; $((\omega )_0t+\varphi)$ - fáze kmitání; $\varphi $ a $(\varphi )_1$ jsou počáteční fáze oscilací.

Frekvence kmitání pružinového kyvadla

Ze vzorce (3) a $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$ vyplývá, že frekvence kmitání pružinového kyvadla je rovna:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\right).\]

Vzorec (6) je platný, pokud:

• pružina v kyvadle je považována za beztížnou;
• zatížení připojené k pružině je absolutně tuhé tělo;
• nedochází k žádným torzním vibracím.

Výraz (6) ukazuje, že frekvence kmitů kyvadla pružiny roste s klesající hmotností zátěže a rostoucím koeficientem pružnosti pružiny. Frekvence kmitání pružinového kyvadla nezávisí na amplitudě. Pokud oscilace nejsou malé, pružná síla pružiny se neřídí Hookeovým zákonem, objeví se závislost frekvence oscilací na amplitudě.

Příklady problémů s řešením

Příklad 1

Cvičení. Perioda kmitu pružinového kyvadla je $T=5\cdot (10)^(-3)s$. Jaká je v tomto případě frekvence kmitání? Jaká je cyklická frekvence vibrací této hmoty?

Řešení. Frekvence oscilací je převrácená hodnota periody oscilací, proto k vyřešení problému stačí použít vzorec:

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1.1\right).\]

Vypočítejme požadovanou frekvenci:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \left(Hz\right).\]

Cyklická frekvence souvisí s frekvencí $\nu $ jako:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]

Vypočítejme cyklickou frekvenci:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\cca 1256\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

Odpovědět.$1)\nu =200 $ Hz. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$

Příklad 2

Cvičení. Hmotnost břemene visícího na pružné pružině (obr. 2) se zvýší o $\Delta m$, zatímco frekvence se sníží $n$ krát. Jaká je hmotnost prvního nákladu?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\right).\]

Pro první zatížení bude frekvence rovna:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\right).\]

Pro druhé zatížení:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2,2\vpravo).\]

Podle podmínek úlohy $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$ najdeme vztah $\frac((\nu )_1)((\nu )_2): \frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\Delta m)( m))=n\ \left(2,3\vpravo).$

Z rovnice (2.3) získáme požadovanou hmotnost břemene. Chcete-li to provést, umocněme obě strany výrazu (2.3) a vyjádřeme $m$:

Odpovědět.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$

Nazývá se fyzikální systém (tělo), ve kterém vznikají a existují oscilace při vychýlení z rovnovážné polohy oscilační systém.

Uvažujme o nejjednodušších mechanických oscilačních systémech: pružinová a matematická kyvadla.

Pružinové kyvadlo

• Pružinové kyvadlo je oscilační systém skládající se z hmotného bodu o hmotnosti m a pružiny.

Rozlišovat horizontální pružinové kyvadlo (obr. 1, a) a vertikální(obr. 1, b).

Mex-majat-02.swf b Obr. 1.

Dobu kmitání pružinového kyvadla lze zjistit pomocí vzorce

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(m)(k)),\)

Kde k- součinitel tuhosti pružiny kyvadla. Jak vyplývá ze získaného vzorce, doba kmitání pružinového kyvadla nezávisí na amplitudě kmitů (v mezích proveditelnosti Hookova zákona).

• Vlastnost nezávislosti periody kmitání kyvadla na amplitudě, objevená Galileem, je tzv. izochronicita(z řeckých slov ίσος - rovný a χρόνος - čas).

Matematické kyvadlo

Zvažte jednoduché kyvadlo - kouli zavěšenou na dlouhé silné niti. Takové kyvadlo se nazývá fyzický.

Pokud jsou rozměry kuličky mnohem menší než délka závitu, pak lze tyto rozměry zanedbat a kuličku považovat za hmotný bod. Natažení nitě lze také zanedbat, protože je velmi malé. Je-li hmotnost nitě mnohonásobně menší než hmotnost kuličky, lze hmotnost nitě také zanedbat. V tomto případě dostaneme model kyvadla, kterému se říká matematické kyvadlo.

• Matematické kyvadlo se nazývá hmotný bod o hmotnosti m, zavěšený na beztížné neroztažitelné niti délky l v poli gravitace (nebo jiných sil) (obr. 2).

Mex-majat-03.swf Rýže. 2.

Galileo Galilei experimentálně zjistil, že doba kmitání matematického kyvadla v gravitačním poli nezávisí na jeho hmotnosti a amplitudě kmitů (úhlu počáteční výchylky). Také zjistil, že doba oscilace je přímo úměrná \(\sqrt(l)\).

Periodu malých kmitů matematického kyvadla v gravitačním poli Země určuje Huygensův vzorec:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(l)(g)).\)

Při úhlech vychýlení matematického kyvadla α< 20° погрешность расчета периода по формуле Гюйгенса не превышает 1%.

V obecném případě, kdy je kyvadlo v rovnoměrných polích několika sil, pak pro určení periody oscilace je třeba zadat „ efektivní zrychlení» G*, charakterizující výsledné působení těchto polí a periodu kmitání kyvadla určíme vzorcem

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(l)(g*)).\)

*Odvození vzorců

*Pérové ​​kyvadlo

Pro náklad m horizontální pružinové kyvadlo je vystaveno gravitační síle ( m⋅g), pozemní reakční síla ( N) a elastická síla pružiny ( Fynp) (Obr. 3, první dvě síly na Obr. A nespecifikováno). Zapišme si druhý Newtonův zákon pro případ znázorněný na obr. 3, b

\(m\cdot \vec(a) = \vec(F)_(ynp) + m\cdot \vec(g)+\vec(N),\)

0X\ nebo \(m\cdot a_(x) +k\cdot x=0.\)

mex-majat-05.swf a (materiál z webu science.up-life.ru)

Rýže. 3.

Zapišme tuto rovnici ve tvaru podobném pohybové rovnici harmonického oscilátoru

\(a_(x) + \frac(k)(m) \cdot x = 0.\)

Porovnání výsledného výrazu s rovnicí harmonických kmitů

\(a_(x) (t) + \omega^(2) \cdot x(t) = 0,\)

najděte cyklickou frekvenci kmitů pružinového kyvadla

\(\omega = \sqrt(\frac(k)(m)).\)

Pak bude perioda kmitání pružinového kyvadla rovna:

\(T=\frac(2\pi )(\omega ) = 2\pi \cdot \sqrt(\frac(m)(k)).\)

*Matematické kyvadlo

Pro náklad m matematické kyvadlo působící gravitací ( m⋅g) a elastická síla nitě ( Fynp) (tahová síla) (obr. 4). Osa 0 X Nasměrujme jej po tečně k trajektorii pohybu vzhůru. Zapišme si druhý Newtonův zákon pro případ znázorněný na obr. 4, b

\(m\cdot \vec(a) = \vec(F)_(ynp) + m\cdot \vec(g),\)

Volné vibrace se provádějí pod vlivem vnitřních sil systému poté, co byl systém vyjmut z rovnovážné polohy.

V následujících situacích dochází k volným vibracím podle harmonického zákona, je nutné, aby síla, která má tendenci vrátit těleso do rovnovážné polohy, byla úměrná vychýlení tělesa z rovnovážné polohy a směřovala ve směru opačném k posunutí (viz §2.1 ):

Síly jakékoli jiné fyzické povahy, které splňují tuto podmínku, se nazývají kvazi-elastické .

Tedy zátěž nějaké hmoty m, připevněný k výztužné pružině k 2.2.1, jejichž druhý konec je pevně upevněn (obr. 2.2.1), tvoří systém schopný provádět volné harmonické kmity bez tření. Zatížení pružiny se nazývá lineární harmonické oscilátor.

Kruhová frekvence ω 0 volných kmitů zatížení pružiny se zjistí z druhého Newtonova zákona:

Když je systém pružinového zatížení umístěn vodorovně, gravitační síla působící na zatížení je kompenzována reakční silou podpory. Pokud je břemeno zavěšeno na pružině, pak gravitační síla směřuje podél linie pohybu břemene. V rovnovážné poloze je pružina natažena o určitou hodnotu X 0 rovno

Proto lze druhý Newtonův zákon pro zatížení pružiny zapsat jako

Zavolá se rovnice (*). rovnice volných vibrací . Je třeba poznamenat, že fyzikální vlastnosti oscilačního systému určit pouze vlastní frekvenci kmitů ω 0 nebo periodu T . Parametry oscilačního procesu jako je amplituda X m a počáteční fáze φ 0 jsou určeny způsobem, kterým byl systém uveden z rovnováhy v počátečním časovém okamžiku.

Pokud by se např. zátěž posunula z rovnovážné polohy o vzdálenost Δ l a pak v určitém okamžiku t= 0 uvolněno bez počáteční rychlosti, pak X m = A l, φ 0 = 0.

Pokud by zátěži, která byla v rovnovážné poloze, byla dána počáteční rychlost ± υ 0 pomocí prudkého tlaku, pak

Tedy amplituda X je určeno m volných kmitů a jeho počáteční fáze φ 0 počáteční podmínky .

Existuje mnoho typů mechanických oscilačních systémů, které využívají elastické deformační síly. Na Obr. Obrázek 2.2.2 ukazuje úhlovou analogii lineárního harmonického oscilátoru. Vodorovně umístěný disk visí na elastické niti připevněné k jeho těžišti. Když se disk pootočí o úhel θ, vznikne moment síly M kontrola elastické torzní deformace:

Kde já = já C je moment setrvačnosti disku vzhledem k ose, procházející těžištěm, ε je úhlové zrychlení.

Analogicky se zatížením pružiny můžete získat:

Volné vibrace. Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo nazývané malé těleso zavěšené na tenké neroztažitelné niti, jehož hmotnost je ve srovnání s hmotností tělesa zanedbatelná. V rovnovážné poloze, kdy kyvadlo visí kolmo, je gravitační síla vyvážena napínací silou nitě. Když se kyvadlo vychýlí z rovnovážné polohy o určitý úhel φ, objeví se tangenciální složka gravitace F τ = - mg sin φ (obr. 2.3.1). Znaménko mínus v tomto vzorci znamená, že tangenciální složka směřuje ve směru opačném k výchylce kyvadla.

Označíme-li podle X lineární posunutí kyvadla z rovnovážné polohy po oblouku kružnice o poloměru l, pak se jeho úhlové posunutí bude rovnat φ = X / l. Druhý Newtonův zákon, napsaný pro projekce vektorů zrychlení a síly do směru tečny, dává:

Tento vztah ukazuje, že matematické kyvadlo je komplex nelineární systém, protože síla, která má tendenci vrátit kyvadlo do rovnovážné polohy, není úměrná výchylce X, A

Pouze v případě malé výkyvy, kdy přibližně lze nahradit matematickým kyvadlem je harmonický oscilátor, tedy systém schopný provádět harmonické kmity. V praxi tato aproximace platí pro úhly řádově 15-20°; v tomto případě se hodnota neliší o více než 2 %. Kmity kyvadla při velkých amplitudách nejsou harmonické.

Pro malé kmity matematického kyvadla se druhý Newtonův zákon zapisuje jako

Tento vzorec vyjadřuje vlastní frekvence malých kmitů matematického kyvadla .

Proto,

Jakékoli těleso namontované na vodorovné ose rotace je schopno volného kmitání v gravitačním poli, a proto je také kyvadlem. Takové kyvadlo se obvykle nazývá fyzický (obr. 2.3.2). Od toho matematického se liší pouze rozložením hmotností. Ve stabilní rovnovážné poloze těžiště C fyzické kyvadlo je umístěno pod osou otáčení O na vertikále procházející osou. Při vychýlení kyvadla o úhel φ vzniká gravitační moment, který má tendenci vrátit kyvadlo do rovnovážné polohy:

a druhý Newtonův zákon pro fyzické kyvadlo má tvar (viz §1.23)

Zde ω 0 - vlastní frekvence malých kmitů fyzikálního kyvadla .

Proto,

Proto rovnici vyjadřující druhý Newtonův zákon pro fyzikální kyvadlo lze zapsat ve tvaru

Nakonec pro kruhovou frekvenci ω 0 volných kmitů fyzického kyvadla získáme následující výraz:

Přeměny energie při volných mechanických vibracích

Během volných mechanických vibrací se kinetická a potenciální energie periodicky mění. Při maximální výchylce tělesa z jeho rovnovážné polohy zaniká jeho rychlost, a tedy i kinetická energie. V této poloze dosahuje potenciální energie kmitajícího tělesa své maximální hodnoty. Pro zatížení pružiny je potenciální energie energií pružné deformace pružiny. Pro matematické kyvadlo je to energie v gravitačním poli Země.

Když těleso v pohybu prochází rovnovážnou polohou, jeho rychlost je maximální. Těleso přestřelí rovnovážnou polohu podle zákona setrvačnosti. V tuto chvíli má maximální kinetickou a minimální potenciální energii. Ke zvýšení kinetické energie dochází v důsledku poklesu potenciální energie. S dalším pohybem se potenciální energie začne zvyšovat v důsledku poklesu kinetické energie atd.

Při harmonických oscilacích tedy dochází k periodické přeměně kinetické energie na energii potenciální a naopak.

Pokud v oscilačním systému nedochází ke tření, pak celková mechanická energie při volných oscilacích zůstává nezměněna.

Pro zatížení pružinou(viz §2.2):

V reálných podmínkách je jakýkoli oscilační systém pod vlivem třecích sil (odporu). V tomto případě se část mechanické energie přemění na vnitřní energii tepelného pohybu atomů a molekul a vibrace se stanou blednutí (obr. 2.4.2).

Rychlost tlumení vibrací závisí na velikosti třecích sil. Časový interval τ, během kterého klesá amplituda kmitů v E≈ 2,7krát, zavoláno doba rozpadu .

Frekvence volných kmitů závisí na rychlosti, s jakou kmity doznívají. S rostoucími třecími silami se vlastní frekvence snižuje. Změna vlastní frekvence se však projeví až při dostatečně velkých třecích silách, kdy přirozené vibrace rychle ustupují.

Důležitou charakteristikou oscilačního systému provádějícího volné tlumené oscilace je faktor kvality Q. Tento parametr je definován jako číslo N celkové oscilace provedené systémem během doby tlumení τ, vynásobené π:

Činitel kvality tedy charakterizuje relativní ztrátu energie v oscilačním systému v důsledku přítomnosti tření v časovém intervalu rovném jedné periodě oscilace.

Nucené vibrace. Rezonance. Vlastní oscilace

Oscilace, ke kterým dochází pod vlivem vnější periodické síly, se nazývají nucený.

Vnější síla vykonává pozitivní práci a zajišťuje tok energie do oscilačního systému. Nedovolí, aby vibrace vymizely, navzdory působení třecích sil.

Periodická vnější síla se může v průběhu času měnit podle různých zákonů. Zvláště zajímavý je případ, kdy vnější síla, měnící se podle harmonického zákona s frekvencí ω, působí na oscilační systém, který je schopen vykonávat vlastní oscilace při určité frekvenci ω 0.

Pokud k volnému kmitání dochází při frekvenci ω 0, která je určena parametry systému, pak se ustálené vynucené kmity vyskytují vždy při frekvence ω vnější síla.

Poté, co vnější síla začne působit na oscilační systém, nějakou dobu Δ t k vytvoření nucených oscilací. Doba ustálení je řádově rovna době tlumení τ volných kmitů v oscilačním systému.

V počátečním okamžiku jsou v oscilační soustavě vybuzeny oba procesy - vynucené kmity o frekvenci ω a volné kmity o vlastní frekvenci ω 0. Volné vibrace jsou však tlumeny v důsledku nevyhnutelné přítomnosti třecích sil. V oscilačním systému proto po nějaké době zůstávají pouze stacionární kmity o frekvenci ω vnější hnací síly.

Uvažujme jako příklad vynucené kmity tělesa na pružině (obr. 2.5.1). Na volný konec pružiny působí vnější síla. Přinutí volný (na obr. 2.5.1 vlevo) konec pružiny k pohybu podle zákona

Pokud je levý konec pružiny posunut o vzdálenost y, a ten pravý - do dálky X z jejich původní polohy, kdy byla pružina nedeformovaná, pak prodloužení pružiny Δ l rovná se:

V této rovnici je síla působící na těleso reprezentována dvěma členy. První člen na pravé straně je elastická síla, která má tendenci vrátit tělo do rovnovážné polohy ( X= 0). Druhým termínem je vnější periodický účinek na tělo. Tento termín se nazývá donucovací síla.

Rovnici vyjadřující druhý Newtonův zákon pro těleso na pružině za přítomnosti vnějšího periodického vlivu lze dát striktní matematický tvar, vezmeme-li v úvahu vztah mezi zrychlením tělesa a jeho souřadnicí: Potom bude zapsáno ve formuláři

Rovnice (**) nebere v úvahu působení třecích sil. Na rozdíl od rovnice volných vibrací(*) (viz § 2.2) rovnice nucené oscilace(**) obsahuje dvě frekvence - frekvenci ω 0 volných kmitů a frekvenci ω hnací síly.

Ustálené vynucené kmity zátěže na pružině nastávají s frekvencí vnějšího vlivu podle zákona

X(t) = X mcos(ω t + θ).

Amplituda vynucených kmitů X m a počáteční fáze θ závisí na poměru frekvencí ω 0 a ω a na amplitudě y m vnější síla.

Při velmi nízkých frekvencích, kdy ω<< ω 0 , движение тела массой m, připevněný k pravému konci pružiny, opakuje pohyb levého konce pružiny. V čem X(t) = y(t), a pružina zůstává prakticky nedeformovaná. Vnější síla působící na levý konec pružiny nevykoná žádnou práci, protože modul této síly při ω<< ω 0 стремится к нулю.

Pokud se frekvence ω vnější síly přiblíží vlastní frekvenci ω 0, dojde k prudkému nárůstu amplitudy vynucených kmitů. Tento jev se nazývá rezonance . Amplitudová závislost X m se nazývá vynucené kmity od frekvence ω hnací síly rezonanční charakteristika nebo rezonanční křivka(obr. 2.5.2).

Při rezonanci amplituda X m kmitů zátěže může být mnohonásobně větší než amplituda y m vibrace volného (levého) konce pružiny způsobené vnějšími vlivy. Při absenci tření by se amplituda vynucených kmitů během rezonance měla neomezeně zvyšovat. V reálných podmínkách je amplituda ustálených vynucených kmitů určena podmínkou: práce vnější síly během periody kmitání se musí rovnat ztrátě mechanické energie za stejnou dobu vlivem tření. Čím menší tření (tj. vyšší faktor kvality Q oscilační systém), tím větší je amplituda vynucených kmitů při rezonanci.

V oscilačních systémech s nepříliš vysokým činitelem kvality (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Jev rezonance může způsobit destrukci mostů, budov a jiných staveb, pokud se vlastní frekvence jejich kmitů shodují s frekvencí periodicky působící síly, která vzniká např. rotací nevyváženého motoru.

Nucené vibrace jsou netlumené kolísání. Nevyhnutelné ztráty energie v důsledku tření jsou kompenzovány dodávkou energie z vnějšího zdroje periodicky působící síly. Existují systémy, ve kterých netlumené oscilace nevznikají v důsledku periodických vnějších vlivů, ale v důsledku schopnosti takových systémů regulovat dodávku energie z konstantního zdroje. Takové systémy se nazývají samooscilující a proces netlumených oscilací v takových systémech je samooscilace . V samooscilační soustavě lze rozlišit tři charakteristické prvky - oscilační soustavu, zdroj energie a zpětnovazební zařízení mezi oscilační soustavou a zdrojem. Jako oscilační systém lze použít jakýkoli mechanický systém schopný provádět vlastní tlumené kmity (například kyvadlo nástěnných hodin).

Zdrojem energie může být deformační energie pružiny nebo potenciální energie zátěže v gravitačním poli. Zpětnovazební zařízení je mechanismus, kterým samooscilační systém reguluje tok energie ze zdroje. Na Obr. 2.5.3 ukazuje schéma interakce různých prvků samokmitající soustavy.

Příkladem mechanického samooscilačního systému je hodinový mechanismus s Kotva pokrok (obr. 2.5.4). Pojezdové kolo se šikmými zuby je pevně uchyceno na ozubeném bubnu, kterým se prohazuje řetěz se závažím. Na horním konci je kyvadlo upevněno Kotva(kotva) se dvěma deskami z plného materiálu, zahnutými do kruhového oblouku se středem na ose kyvadla. U ručních hodinek je závaží nahrazeno pružinou a kyvadlo je nahrazeno balancerem - ručním kolem napojeným na spirálovou pružinu. Vyvažovačka vykonává torzní vibrace kolem své osy. Oscilační systém v hodinách je kyvadlo nebo vyvažovač.

Zdrojem energie je zvednuté závaží nebo vinutá pružina. Zařízení, které zajišťuje zpětnou vazbu, je kotva, která umožňuje pojezdovému kolu otočit jeden zub v jednom polovičním cyklu. Zpětnou vazbu poskytuje interakce kotvy s pojezdovým kolem. Při každém kmitání kyvadla zub pojezdového kola tlačí kotevní vidlici ve směru pohybu kyvadla a přenáší na ni určitou část energie, která kompenzuje ztráty energie třením. Potenciální energie závaží (nebo zkroucené pružiny) se tak postupně v jednotlivých částech přenáší na kyvadlo.

Mechanické samooscilační systémy jsou rozšířené v životě kolem nás a v technice. K vlastnímu kmitání dochází u parních strojů, spalovacích motorů, elektrických zvonů, strun smyčcových hudebních nástrojů, vzduchových sloupců v píšťalách dechových nástrojů, hlasivek při mluvení nebo zpěvu atd.

Obrázek 2.5.4. Hodinový mechanismus s kyvadlem.