Které vám byly do té či oné míry povědomé. Bylo tam také poznamenáno, že zásoba funkčních vlastností bude postupně doplňována. V této části budou popsány dvě nové vlastnosti.
Definice 1.
Funkce y = f(x), x є X je volána, i když pro libovolnou hodnotu x z množiny X platí rovnost f (-x) = f (x).
Definice 2.
Funkce y = f(x), x є X se nazývá lichá, pokud pro libovolnou hodnotu x z množiny X platí rovnost f (-x) = -f (x).
Dokažte, že y = x 4 je sudá funkce.
Řešení. Máme: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ale (-x) 4 = x 4. To znamená, že pro libovolné x platí rovnost f(-x) = f(x), tzn. funkce je sudá.
Podobně lze prokázat, že funkce y - x 2, y = x 6, y - x 8 jsou sudé.
Dokažte, že y = x 3 ~ lichá funkce.
Řešení. Máme: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3. To znamená, že pro libovolné x platí rovnost f (-x) = -f (x), tzn. funkce je lichá.
Podobně lze prokázat, že funkce y = x, y = x 5, y = x 7 jsou liché.
O tom, že nové pojmy v matematice mají nejčastěji „pozemský“ původ, jsme se již nejednou přesvědčili, tj. dají se nějak vysvětlit. To je případ sudých i lichých funkcí. Viz: y - x 3, y = x 5, y = x 7 jsou liché funkce, zatímco y = x 2, y = x 4, y = x 6 jsou sudé funkce. A obecně pro libovolnou funkci ve tvaru y = x" (níže budeme konkrétně studovat tyto funkce), kde n je přirozené číslo, můžeme dojít k závěru: je-li n liché číslo, pak funkce y = x" je zvláštní; je-li n sudé číslo, pak je funkce y = xn sudá.
Existují také funkce, které nejsou ani sudé, ani liché. Taková je například funkce y = 2x + 3. Opravdu, f(1) = 5 a f (-1) = 1. Jak vidíte, zde tedy ani identita f(-x) = f (x), ani identitu f(-x) = -f(x).
Funkce tedy může být sudá, lichá nebo žádná.
Studie, zda je daná funkce sudá nebo lichá, se obvykle nazývá studie parity.
Definice 1 a 2 se týkají hodnot funkce v bodech x a -x. To předpokládá, že funkce je definována jak v bodě x, tak v bodě -x. To znamená, že bod -x patří do definičního oboru funkce současně s bodem x. Pokud číselná množina X spolu s každým svým prvkem x obsahuje i opačný prvek -x, pak se X nazývá symetrická množina. Řekněme, že (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) jsou symetrické množiny, zatímco \) .
Protože \(x^2\geqslant 0\) , pak je levá strana rovnice (*) větší nebo rovna \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Rovnost (*) tedy může být pravdivá pouze tehdy, když se obě strany rovnice rovnají \(\mathrm(tg)^2\,1\) . To znamená, že \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Proto nám vyhovuje hodnota \(a=-\mathrm(tg)\,1\) .
Odpovědět:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Úkol 2 #3923
Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce
Najděte všechny hodnoty parametru \(a\) , pro každou z nich graf funkce \
symetrické podle původu.
Pokud je graf funkce symetrický podle počátku, pak je taková funkce lichá, to znamená, že \(f(-x)=-f(x)\) platí pro libovolné \(x\) z definičního oboru. funkce. Je tedy nutné najít ty hodnoty parametrů, pro které \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(zarovnáno) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]
Poslední rovnice musí být splněna pro všechny \(x\) z oboru definice \(f(x)\) , proto \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .
Odpovědět:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Úkol 3 #3069
Úroveň úkolu: Rovná se jednotné státní zkoušce
Najděte všechny hodnoty parametru \(a\) , pro každé z nich má rovnice \ 4 řešení, kde \(f\) je sudá periodická funkce s periodou \(T=\dfrac(16)3\) definováno na celé číselné ose a \(f(x)=ax^2\) pro \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Úkol od předplatitelů)
Protože \(f(x)\) je sudá funkce, její graf je symetrický vzhledem k ose pořadnice, proto pro \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\). Takže pro \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , a to je segment délky \(\dfrac(16)3\), je funkce \(f(x)=ax^2\ ).
1) Nechť \(a>0\) . Potom bude graf funkce \(f(x)\) vypadat takto: 
Pak, aby rovnice měla 4 řešení, je nutné, aby graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) procházel bodem \(A\) : 
Proto \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(shromážděno)\begin(zarovnáno) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\konec (zarovnáno)\konec (shromážděno)\vpravo. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(shromážděno)\begin(zarovnáno) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(zarovnáno) \end( shromážděno)\vpravo.\] Protože \(a>0\) , je vhodné \(a=\dfrac(18)(23)\).
2) Nechť \(a0\) ). Pokud je součin dvou kořenů kladný a jejich součet kladný, pak samotné kořeny budou kladné. Proto potřebujete: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a 0 on (x_(1); x_(2) ) ) \cup (x_(3); +\infty)
Intervaly, kde je funkce záporná, tedy f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})
Funkce y=f(x), x \in X se obvykle nazývá omezená níže, když existuje číslo A, pro které platí nerovnost f(x) \geq A pro libovolné x \in X .
Příklad funkce ohraničené zdola: y=\sqrt(1+x^(2)) protože y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pro libovolné x .
Funkce y=f(x), x \in X se nazývá ohraničená nahoře, pokud existuje číslo B, pro které platí nerovnost f(x) \neq B pro libovolné x \in X .
Příklad funkce ohraničené zdola: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] protože y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pro libovolné x \ v [-1;1] .
Funkce y=f(x), x \in X se obvykle nazývá omezená, když existuje číslo K > 0, pro které platí nerovnost \left | f(x)\vpravo | \neq K pro libovolné x \in X .
Příklad omezené funkce: y=\sin x je ohraničeno na celé číselné ose, protože \left | \sin x \right | \neq 1 .
Zvyšující a klesající funkceO funkci, která se v uvažovaném intervalu zvětšuje, je zvykem hovořit jako o rostoucí funkci, když větší hodnota x odpovídá větší hodnotě funkce y=f(x) . Z toho vyplývá, že vezmeme-li dvě libovolné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) z uvažovaného intervalu, s x_(1) > x_(2) , výsledkem bude y(x_(1)) > y(x_(2)).
Funkce, která v uvažovaném intervalu klesá, se nazývá klesající funkce, když větší hodnota x odpovídá menší hodnotě funkce y(x) . Z toho plyne, že když vezmeme z uvažovaného intervalu dvě libovolné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) a x_(1) > x_(2) , výsledkem bude y(x_(1))< y(x_{2}) .
Kořeny funkce se obvykle nazývají body, ve kterých funkce F=y(x) protíná osu úsečky (získáme je řešením rovnice y(x)=0).
a) Jestliže pro x > 0 sudá funkce roste, pak pro x klesá< 0
b) Když sudá funkce klesá při x > 0, zvyšuje se při x< 0
.png)
c) Když se lichá funkce zvětší při x > 0, pak se také zvýší při x< 0
d) Když se lichá funkce sníží pro x > 0, pak se sníží také pro x< 0
.png)
Minimálním bodem funkce y=f(x) se obvykle nazývá bod x=x_(0), jehož okolí bude mít další body (kromě bodu x=x_(0)), a pro ně pak nerovnost f( x) > f(x_(0)) . y_(min) - označení funkce v bodě min.
Maximální bod funkce y=f(x) se obvykle nazývá bod x=x_(0), jehož okolí bude mít další body (kromě bodu x=x_(0)), a pro ně pak nerovnost f( X )< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
PředpokladPodle Fermatovy věty: f"(x)=0, když funkce f(x), která je diferencovatelná v bodě x_(0), bude mít v tomto bodě extrém.
Dostatečný stavKroky výpočtu:
V červenci 2020 zahajuje NASA expedici na Mars. Sonda doručí na Mars elektronické médium se jmény všech registrovaných účastníků expedice.
Registrace účastníků je otevřena. Získejte letenku na Mars pomocí tohoto odkazu.
Pokud tento příspěvek vyřešil váš problém nebo se vám jen líbil, sdílejte odkaz na něj se svými přáteli na sociálních sítích.
Jednu z těchto možností kódu je třeba zkopírovat a vložit do kódu vaší webové stránky, nejlépe mezi značky a nebo bezprostředně za značku. Podle první možnosti se MathJax načítá rychleji a méně zpomaluje stránku. Ale druhá možnost automaticky sleduje a načítá nejnovější verze MathJax. Pokud vložíte první kód, bude nutné jej pravidelně aktualizovat. Pokud vložíte druhý kód, stránky se budou načítat pomaleji, ale nebudete muset neustále sledovat aktualizace MathJax.
Nejjednodušší způsob, jak připojit MathJax, je v Bloggeru nebo WordPressu: do ovládacího panelu webu přidejte widget určený pro vložení kódu JavaScript třetí strany, zkopírujte do něj první nebo druhou verzi výše uvedeného kódu pro stahování a umístěte widget blíže. na začátek šablony (mimochodem, není to vůbec nutné, protože skript MathJax se načítá asynchronně). To je vše. Nyní se naučte syntaxi značek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a jste připraveni vkládat matematické vzorce do webových stránek svého webu.
Další Silvestr... mrazivé počasí a sněhové vločky na skle okna... To vše mě přimělo znovu napsat o... fraktálech a o tom, co o tom Wolfram Alpha ví. Na toto téma existuje zajímavý článek, který obsahuje příklady dvourozměrných fraktálových struktur. Zde se podíváme na složitější příklady trojrozměrných fraktálů.
Fraktál lze vizuálně znázornit (popsat) jako geometrický obrazec nebo těleso (to znamená, že oba jsou souborem, v tomto případě souborem bodů), jehož detaily mají stejný tvar jako samotný původní obrazec. To znamená, že se jedná o sobě podobnou strukturu, jejíž detaily po zvětšení uvidíme stejný tvar jako bez zvětšení. Zatímco v případě obyčejného geometrického obrazce (nikoli fraktálu), při zvětšení uvidíme detaily, které mají jednodušší tvar než samotný původní obrazec. Například při dostatečně velkém zvětšení vypadá část elipsy jako úsečka. To se u fraktálů neděje: s jakýmkoli jejich nárůstem opět uvidíme stejný složitý tvar, který se bude s každým nárůstem znovu a znovu opakovat.
Benoit Mandelbrot, zakladatel nauky o fraktálech, ve svém článku Fraktály a umění ve jménu vědy napsal: "Fraktály jsou geometrické tvary, které jsou stejně složité ve svých detailech jako ve své celkové formě. To znamená, pokud jsou součástí fraktálu se zvětší na velikost celku, bude se jevit jako celek, buď přesně, nebo možná s mírnou deformací.“
