Приклад розрахунку енергії вертикальних коливань пружинного маятника. Період коливання пружинного маятника. Поширення хвиль у пружному середовищі

Пружинний маятник є матеріальною точкою масою, прикріплену до абсолютно пружної невагомої пружини з жорсткістю. . Розрізняють два найпростіші випадки: горизонтальний (рис.15, а) і вертикальний (рис.15, б) маятники.

а) Горизонтальний маятник(Рис. 15, а). При зміщенні вантажу
із положення рівноваги на величину на нього діє у горизонтальному напрямку повертаюча пружна сила
(Закон Гука).

Передбачається, що горизонтальна опора, по якій ковзає вантаж
при своїх коливаннях абсолютно гладка (тертя немає).

б) Вертикальний маятник(Рис.15, б). Положення рівноваги у разі характеризується умовою:

де - величина пружної сили, що діє на вантаж
при статичному розтягуванні пружини на під дією сили тяжіння вантажу
.

а

Рис.15. Пружинний маятник: а- горизонтальний та б– вертикальний

Якщо розтягнути пружину і відпустити вантаж, він почне здійснювати вертикальні коливання. Якщо усунення в якийсь момент часу буде
, то сила пружності запишеться тепер як
.

В обох розглянутих випадках пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з періодом

(27)

та циклічною частотою

. (28)

На прикладі розгляду пружинного маятника можна дійти невтішного висновку у тому, що гармонійні коливання – це рух, викликане силою, що зростає пропорційно зміщенню . Таким чином, якщо повертаюча сила на вигляд нагадує закон Гука
(вона отримала назвуквазіпружної сили ), то система повинна здійснювати гармонійні коливання.У момент проходження положення рівноваги на тіло не діє сила, що повертає, проте, тіло за інерцією проскакує положення рівноваги і повертає сила змінює напрямок на протилежне.

Математичний маятник

Рис.16.

Математичний маятникє ідеалізованою системою у вигляді матеріальної точки, підвішеною на невагомій нерозтяжній нитці завдовжки , що робить малі коливання під впливом сили тяжіння (рис. 16).

Коливання такого маятника при малих кутах відхилення
(не перевищують 5º) можна вважати гармонійними, і циклічна частота математичного маятника:

, (29)

а період:

. (30)

2.3. Енергія тіла при гармонійних коливаннях

Енергія, повідомлена коливальній системі при початковому поштовху, буде періодично перетворюватися: потенційна енергія деформованої пружини переходитиме в кінетичну енергію вантажу, що рухається, і назад.

Нехай пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з початковою фазою
, тобто.
(Рис.17).

Рис.17. Закон збереження механічної енергії

при коливаннях пружинного маятника

При максимальному відхиленні вантажу від рівноваги повна механічна енергія маятника (енергія деформованої пружини з жорсткістю ) дорівнює
.
При проходженні положення рівноваги (
.

) потенційна енергія пружини стане рівною нулю, і повна механічна енергія коливальної системи визначиться як

На рис.18 представлені графіки залежностей кінетичної, потенційної та повної енергії у випадках, коли гармонійні коливання описуються тригонометричними функціями синуса (пунктирна лінія) або косинуса (суцільна лінія).

Рис.18. Графіки тимчасової кінетичної залежності

та потенційної енергії при гармонійних коливаннях

З графіків (рис.18) випливає, що частота зміни кінетичної та потенційної енергії вдвічі вища за власну частоту гармонійних коливань.

10.4. Закон збереження енергії при гармонійних коливаннях 10.4.1. Збереження енергії при

механічних гармонійних коливаннях

Збереження енергії при коливаннях математичного маятника

При гармонійних коливаннях повна механічна енергія системи зберігається (залишається постійною).

Повна механічна енергія математичного маятника

E = W k + W p ,

де W k – кінетична енергія, W k = = mv 2/2; W p - потенційна енергія, W p = mgh; m – маса вантажу; g – модуль прискорення вільного падіння; v – модуль швидкості вантажу; h – висота підйому вантажу над положенням рівноваги (рис. 10.15).

При гармонійних коливаннях математичний маятник проходить низку послідовних станів, тому доцільно розглянути енергію математичного маятника у трьох положеннях (див. рис. 10.15):

Мал. 10.15 1) у

потенційна енергія дорівнює нулю; повна енергія збігається з максимальною кінетичною енергією:

E = W k max;

2) у крайньому становищі(2 ) тіло піднято над вихідним рівнем на максимальну висоту h max тому потенційна енергія також максимальна:

W p max = m g h max;

кінетична енергія дорівнює нулю; повна енергія збігається з максимальною потенційною енергією:

E = W p max;

3) у проміжному положенні(3 ) тіло має миттєву швидкість v і піднято над вихідним рівнем на деяку висоту h , тому повна енергія являє собою суму

E = m v 2 2 + m g h ,

де mv 2/2 - кінетична енергія; mgh – потенційна енергія; m – маса вантажу; g – модуль прискорення вільного падіння; v – модуль швидкості вантажу; h - висота підйому вантажу над положенням рівноваги.

При гармонійних коливаннях математичного маятника повна механічна енергія зберігається:

E=const.

Значення повної енергії математичного маятника у трьох його положеннях відображені у табл. 10.1.

№	Становище	W p	W k	E = W p + W k
1	Рівновага	0	m v max 2/2	m v max 2/2
2	Крайнє	mgh max	0	mgh max
3	Проміжне (миттєве)	mgh	mv 2/2	mv 2 /2 + mgh

Значення повної механічної енергії представлені в останньому стовпці табл. 10.1 мають рівні значення для будь-яких положень маятника, що є математичним виразом :

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h max = m v 2 2 + m g h ,

де m – маса вантажу; g – модуль прискорення вільного падіння; v - модуль миттєвої швидкості вантажу в положенні 3; h - висота підйому вантажу над положенням рівноваги в положенні 3; v max - модуль максимальної швидкості вантажу в положенні 1; h max - максимальна висота підйому вантажу над положенням рівноваги у положенні 2 .

Кут відхилення ниткиматематичного маятника від вертикалі (рис. 10.15) визначається виразом

cos α = l − h l = 1 − h l ,

де l - Довжина нитки; h - висота підйому вантажу над положенням рівноваги.

Максимальний кутвідхилення α max визначається максимальною висотою підйому вантажу над положенням рівноваги h max:

cos α max = 1 − h max l .

Приклад 11. Період малих коливань математичного маятника дорівнює 0,9 с. На який максимальний кут від вертикалі відхилятиметься нитка, якщо, проходячи положення рівноваги, кулька рухається зі швидкістю, що дорівнює 1,5 м/с? Тертя у системі відсутня.

Рішення . На малюнку показано два положення математичного маятника:

• положення рівноваги 1 (характеризується максимальною швидкістю кульки v max);
• крайнє положення 2 (характеризується максимальною висотою підйому кульки h max над положенням рівноваги).

Шуканий кут визначається рівністю

cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,

де l - Довжина нитки маятника.

Максимальну висоту підйому кульки маятника над положенням рівноваги знайдемо із закону збереження повної механічної енергії.

Повна енергія маятника в положенні рівноваги та в крайньому положенні визначається такими формулами:

• у положенні рівноваги -

E 1 = m v max 2 2

де m – маса кульки маятника; v max – модуль швидкості кульки у положенні рівноваги (максимальна швидкість), v max = 1,5 м/с;

• у крайньому становищі -

E 2 = mgh max

де g – модуль прискорення вільного падіння; h max – максимальна висота підйому кульки над положенням рівноваги.

Закон збереження повної механічної енергії:

m v max 2 2 = m g h max.

Виразимо звідси максимальну висоту підйому кульки над положенням рівноваги:

h max = v max 2 2 g.

Довжину нитки визначимо з формули для періоду коливань математичного маятника

T = 2 π l g ,

тобто. довжина нитки

l = T 2 g 4 π 2 .

Підставимо h max і l у вираз для косинуса шуканого кута:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

і зробимо обчислення з урахуванням приблизної рівності π 2 = 10:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

Звідси випливає, що максимальний кут відхилення 60°.

Строго кажучи, при куті 60° коливання кульки є малими і користуватися стандартною формулою для періоду коливань математичного маятника неправомірно.

Збереження енергії при коливаннях пружинного маятника

Повна механічна енергія пружинного маятникаскладається з кінетичної енергії та потенційної енергії:

Повна механічна енергія математичного маятника

де W k – кінетична енергія, W k = mv 2/2; W p - потенційна енергія, W p = k (Δx) 2/2; m – маса вантажу; v – модуль швидкості вантажу; k – коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини; Δx – деформація (розтягування чи стиснення) пружини (рис. 10.16).

У Міжнародній системі одиниць енергія механічної коливальної системи вимірюється у джоулях (1 Дж).

При гармонійних коливаннях пружинний маятник проходить ряд послідовних станів, тому доцільно розглянути енергію пружинного маятника у трьох положеннях (див. рис. 10.16):

Мал. 10.15 1) у(1 ) швидкість тіла має максимальне значення v max , тому кінетична енергія також максимальна:

W k max = m v max 2 2;

потенційна енергія пружини дорівнює нулю, оскільки пружина не деформована; повна енергія збігається з максимальною кінетичною енергією:

E = W k max;

2) у крайньому становищі(2 ) пружина має максимальну деформацію (Δx max), тому потенційна енергія також має максимальне значення:

W p max = k (Δ x max) 2 2;

кінетична енергія тіла дорівнює нулю; повна енергія збігається з максимальною потенційною енергією:

E = W p max;

3) у проміжному положенні(3 ) тіло має миттєву швидкість v , пружина має в цей момент деяку деформацію (Δx ), тому повна енергія являє собою суму

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2

де mv 2/2 - кінетична енергія; k (Δx) 2/2 - потенційна енергія; m – маса вантажу; v – модуль швидкості вантажу; k – коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини; Δx - деформація (розтяг або стиснення) пружини.

При усуненні вантажу пружинного маятника від положення рівноваги на нього діє повертаюча сила, проекція якої на напрямок руху маятника визначається формулою

F x = −kx ,

де x - усунення вантажу пружинного маятника від положення рівноваги, x = ∆x , ∆x - деформація пружини; k – коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини маятника.

При гармонійних коливаннях пружинного маятника повна механічна енергія зберігається:

E=const.

Значення повної енергії пружинного маятника у трьох його положеннях відображені у табл. 10.2.

№	Становище	W p	W k	E = W p + W k
1	Рівновага	0	m v max 2/2	m v max 2/2
2	Крайнє	k (Δx max) 2 /2	0	k (Δx max) 2 /2
3	Проміжне (миттєве)	k (Δx) 2 /2	mv 2/2	mv 2 /2 + k (Δx) 2 /2

Значення повної механічної енергії, представлені в останньому стовпці таблиці, мають рівні значення для будь-яких положень маятника, що є математичним виразом закону збереження повної механічної енергії:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2

де m – маса вантажу; v - модуль миттєвої швидкості вантажу в положенні 3; Δx - деформація (розтяг або стиснення) пружини в положенні 3 ; v max - модуль максимальної швидкості вантажу в положенні 1; Δx max - максимальна деформація (розтяг або стиснення) пружини в положенні 2 .

Приклад 12. Пружинний маятник здійснює гармонійні коливання. У скільки разів його кінетична енергія більша за потенційну в той момент, коли зміщення тіла з положення рівноваги становить чверть амплітуди?

Рішення . Порівняємо два положення пружинного маятника:

• крайнє положення 1 (характеризується максимальним усуненням вантажу маятника від положення рівноваги x max);
• проміжне положення 2 (характеризується проміжними значеннями усунення положення рівноваги x і швидкості v →).

Повна енергія маятника в крайньому та проміжному положеннях визначається такими формулами:

• у крайньому становищі -

E 1 = k (Δ x max) 2 2

де k – коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини; ∆x max - амплітуда коливань (максимальне зміщення від положення рівноваги), ∆x max = A;

• у проміжному положенні -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2

де m – маса вантажу маятника; ∆x - усунення вантажу від положення рівноваги, ∆x = A /4.

Закон збереження повної механічної енергії для пружинного маятника має такий вигляд:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

Розділимо обидві частини записаної рівності на k (∆x ) 2 /2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

де W k - кінетична енергія маятника в проміжному положенні W k = mv 2 /2; W p - Потенційна енергія маятника в проміжному положенні, W p = k (∆x) 2 /2.

Виразимо з рівняння шукане відношення енергій:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

і розрахуємо його значення:

W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .

У зазначений момент часу відношення кінетичної та потенційної енергії маятника дорівнює 15.

Визначення

Частота коливань($\nu$) є одним із параметрів, які характеризують коливання Це величина зворотна періоду коливань ($T$):

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1\right).\]

Таким чином, частотою коливань називають фізичну величину, що дорівнює кількості повторень коливань за одиницю часу.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\left(2\right),\]

де $ N $ - кількість повних коливальних рухів; $ \ Delta t $ - час, за які відбулися дані коливання.

Циклічна частота коливань ($(\omega )_0$) пов'язана з частотою $\nu $ формулою:

\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\left(3\right).\]

Одиницею вимірювання частоти у Міжнародній системі одиниць (СІ) є герц або зворотна секунда:

\[\left[\nu \right]=с^(-1)=Гц.\]

Пружинний маятник

Визначення

Пружинним маятникомназивають систему, що складається з пружної пружини, до якої прикріплений вантаж.

Припустимо, що маса вантажу дорівнює $m$, коефіцієнт пружності пружини $k$. Маса пружини у такому маятнику зазвичай не враховується. Якщо розглядати горизонтальні рухи вантажу (рис.1), він рухається під впливом сили пружності, якщо систему вивели зі стану рівноваги і надали себе. При цьому часто вважають, що сили тертя не можна враховувати.

Рівняння коливань пружинного маятника

Пружинний маятник, який здійснює вільні коливання – це приклад гармонійного осцилятора. Нехай він виконує коливання вздовж осі X. Якщо коливання малі, виконується закон Гука, то рівняння руху вантажу запишемо як:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\right),\]

де $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ - циклічна частота коливань пружинного маятника. Рішення рівняння (4) це функція синуса або косинуса виду:

де $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ - циклічна частота коливань пружинного маятника, $A$ - амплітуда коливань; $((\omega )_0t+\varphi)$ - фаза коливань; $\varphi$ і $(\varphi)_1$ - початкові фази коливань.

Частота коливань пружинного маятника

З формули (3) і $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, слід, що частота коливань пружинного маятника дорівнює:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\right).\]

Формула (6) справедлива у разі, якщо:

• пружина в маятнику вважається невагомою;
• вантаж, прикріплений до пружини, абсолютно твердим тілом;
• крутильні коливання відсутні.

Вираз (6) показує, що частота коливань пружинного маятника збільшується зі зменшенням маси вантажу та збільшенням коефіцієнта пружності пружини. Частота коливань пружинного маятника залежить від амплітуди. Якщо коливання не є малими, сила пружності пружини не підпорядковується закону Гука, виникає залежність частоти коливань від амплітуди.

Приклади завдань із розв'язанням

Приклад 1

Завдання.Період коливань пружинного маятника становить $ T = 5 \ cdot (10) ^ (-3) з $. Чому дорівнює частота коливань у разі? Яка циклічна частота коливань цього вантажу?

Рішення.Частота коливань - це величина обернена до періоду коливань, отже, для вирішення завдання достатньо скористатися формулою:

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1.1\right).\]

Обчислимо шукану частоту:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \left(Гц\right).\]

Циклічна частота пов'язана з частотою $\nu $ як:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]

Обчислимо циклічну частоту:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\approx 1256\ \left(\frac(рад)(с)\right).\]

Відповідь.$1)\ \nu = 200 $ Гц. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(рад)(с)$

Приклад 2

Завдання.Масу вантажу, що висить на пружній пружині (рис.2), збільшують на величину $ Delta m $, при цьому частота зменшується в $ n $ раз. Яка маса першого вантажу?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ left(2.1\right).\]

Для першого вантажу частота дорівнюватиме:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\right).\]

Для другого вантажу:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2.2\right).\]

За умовою задачі $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$, знайдемо відношення $\frac((\nu )_1)((\nu )_2):\frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac(\Delta m)( m)) = n \ \ left (2.3 \ right).

Отримаємо з рівняння (2.3) масу вантажу, що шукається. Для цього обидві частини виразу (2.3) піднімемо в квадрат і висловимо $m$:

Відповідь.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$

Фізичну систему (тіло), в якій при відхиленні від положення рівноваги виникають та існують коливання, називають коливальною системою.

Розглянемо найпростіші механічні коливальні системи: пружинний та математичний маятники.

Пружинний маятник

• Пружинний маятник- це коливальна система, що складається з матеріальної точки масою m та пружини.

Розрізняють горизонтальнийпружинний маятник (рис. 1, а) та вертикальний(Рис. 1, б).

Mex-majat-02.swfб Мал. 1.

Період коливань пружинного маятника можна знайти за формулою

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(m)(k)),\)

де k- Коефіцієнт жорсткості пружини маятника. Як випливає з отриманої формули, період коливань пружинного маятника не залежить від амплітуди коливань (у межах виконання закону Гука).

• Властивість незалежності періоду коливань маятника від амплітуди, відкрита Галілеєм, називається ізохронністю(Від грецьких слів ίσος - рівний і χρόνος -час).

Математичний маятник

Розглянемо простий маятник - кулька, підвішена на довгій міцній нитці. Такий маятник називається фізичний.

Якщо розміри кульки набагато менші за довжину нитки, то цими розмірами можна знехтувати і розглядати кульку як матеріальну точку. Розтягування нитки також можна знехтувати, так як воно дуже мало. Якщо маса нитки набагато менше маси кульки, то масою нитки також можна знехтувати. У цьому випадку ми отримуємо модель маятника, яка називається математичним маятником.

• Математичним маятникомназивається матеріальна точка масою m, підвішена на невагомій нерозтяжній нитці довжиною l у полі сили тяжіння (або інших сил) (рис. 2).

Mex-majat-03.swfМал. 2.

Галілео Галілей експериментально встановив, що період коливань математичного маятника в полі сили тяжіння не залежить від його маси та амплітуди коливань (кута початкового відхилення). Він встановив також, що період коливань прямо пропорційний (sqrt (l)).

Період малих коливань математичного маятника у полі сили тяжіння Землі визначається за формулою Гюйгенса:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(l)(g)).\)

При кутах відхилення математичного маятника α< 20° погрешность расчета периода по формуле Гюйгенса не превышает 1%.

У випадку, коли маятник перебуває у однорідних полях кількох сил, то визначення періоду коливань слід запровадити « ефективне прискорення» g*, що характеризує результуючу дію цих полів та період коливань маятника визначатиметься за формулою

\(T=2\pi \cdot \sqrt(\frac(l)(g*)).\)

*Виведення формул

*Пружинний маятник

На вантаж mгоризонтального пружинного маятника діють сила тяжіння ( m⋅g), сила реакції опори ( N) і сила пружності пружини ( F ynp) (рис. 3, перший дві сили на рис. ане вказані). Запишемо другий закон Ньютона для випадку, зображеного на рис. 3, б

\(m\cdot \vec(a) = \vec(F)_(ynp) + m\cdot \vec(g)+\vec(N),\)

0Х\ або \(m\cdot a_(x) +k\cdot x=0.\)

mex-majat-05.swfа (матеріал із сайту science.up-life.ru)

Мал. 3.

Запишемо це рівняння у формі аналогічної рівнянню руху гармонійного осцилятора

\(a_(x) + \frac(k)(m) \cdot x = 0.\)

Порівнюючи отриманий вираз із рівнянням гармонійних коливань

\(a_(x) (t) + \omega^(2) \cdot x(t) = 0,\)

знаходимо циклічну частоту коливань пружинного маятника

\(\omega = \sqrt(\frac(k)(m)).\)

Тоді період коливань пружинного маятника дорівнюватиме:

\(T=\frac(2\pi )(\omega ) = 2\pi \cdot \sqrt(\frac(m)(k)).\)

*Математичний маятник

На вантаж mматематичного маятника діють сила тяжіння ( m⋅g) і сила пружності нитки ( F ynp) (сила натягу) (рис. 4). Вісь 0 Хнаправимо уздовж дотичної до траєкторії руху вгору. Запишемо другий закон Ньютона для випадку, зображеного на рис. 4, б

\(m\cdot \vec(a) = \vec(F)_(ynp) + m\cdot \vec(g),\)

Вільні коливаннявідбуваються під дією внутрішніх сил системи після того, як система була виведена із положення рівноваги.

Для того щобвільні коливання відбувалися за гармонійним законом, необхідно, щоб сила, яка прагне повернути тіло в положення рівноваги, була пропорційна зміщенню тіла з положення рівноваги і спрямована у бік, протилежний зсуву (див. §2.1):

Сили будь-якої іншої фізичної природи, що задовольняють цю умову, називаються квазіпружними .

Таким чином, вантаж деякої маси m, прикріплений до пружини жорсткості k, другий кінець якої закріплений нерухомо (рис. 2.2.1), становлять систему, здатну здійснювати без тертя вільні гармонічні коливання. Вантаж на пружині називають лінійним гармонічним осцилятором.

Кругова частота ω 0 вільних коливань вантажу на пружині знаходиться з другого закону Ньютона:

При горизонтальному розташуванні системи пружина-вантаж сила тяжіння, прикладена до вантажу, компенсується силою реакції опори. Якщо вантаж підвішений на пружині, то сила тяжіння спрямована по лінії руху вантажу. У положенні рівноваги пружина розтягнута на величину x 0 , рівну

Тому другий закон Ньютона для вантажу на пружині може бути записаний у вигляді

Рівняння (*) називається рівнянням вільних коливань . Слід звернути увагу на те, що фізичні властивості коливальної системи визначають лише власну частоту коливань ω 0 чи період T . Такі параметри процесу коливань, як амплітуда x m і початкова фаза φ 0 визначаються способом, за допомогою якого система була виведена зі стану рівноваги в початковий момент часу.

Якщо, наприклад, вантаж був зміщений із положення рівноваги на відстань Δ lі потім у момент часу t= 0 відпущено без початкової швидкості, то x m = Δ l, φ0 = 0.

Якщо ж вантажу, що знаходився в положенні рівноваги, за допомогою різкого поштовху була повідомлена початкова швидкість ± 0, то ,

Таким чином, амплітуда x m вільних коливань та його початкова фаза φ 0 визначаються початковими умовами .

Існує багато різновидів механічних коливальних систем, у яких використовуються сили пружних деформацій. На рис. 2.2.2 показаний кутовий аналог лінійного гармонійного осцилятора. Горизонтально розташований диск висить на пружній нитці, що закріплена в його центрі мас. При повороті диска на кут θ з'являється момент сил Mупругої деформації кручення:

де I = I C - момент інерції диска щодо осі, що проходить через центр мас, - кутове прискорення.

За аналогією з вантажем на пружині можна отримати:

Вільні вагання. Математичний маятник

Математичним маятникомназивають тіло невеликих розмірів, підвішене на тонкій нерозтяжній нитці, маса якої зневажливо мала порівняно з масою тіла. У положенні рівноваги, коли маятник висить по схилу, сила тяжіння врівноважується силою натягу нитки . При відхиленні маятника з положення рівноваги на деякий кут з'являється дотична складова сили тяжіння F τ = - mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «мінус» у цій формулі означає, що дотична складова спрямована у бік, протилежний відхиленню маятника.

Якщо позначити через xлінійне усунення маятника від положення рівноваги по дузі кола радіусу l, то його кутове зміщення дорівнюватиме φ = x / l. Другий закон Ньютона, записаний для проекцій векторів прискорення та сили на напрям дотичної, дає:

Це співвідношення показує, що математичний маятник є складною. нелінійнусистему, оскільки сила, що прагне повернути маятник у положення рівноваги, пропорційна не зміщенню x, а

Тільки у випадку малих коливаньколи наближеноможна замінити математичним маятником є ​​гармонічним осцилятором, т. е. системою, здатної здійснювати гармонійні коливання. Майже таке наближення справедливе для кутів порядку 15-20 °; при цьому величина відрізняється не більше ніж на 2%. Коливання маятника при великих амплітудах є гармонійними.

Для малих коливань математичного маятника другий закон Ньютона записується як

Ця формула висловлює власну частоту малих коливань математичного маятника .

Отже,

Будь-яке тіло, насаджене на горизонтальну вісь обертання, здатне здійснювати в полі тяжіння вільні коливання і, отже, є маятником. Такий маятник прийнято називати фізичним (Рис. 2.3.2). Він відрізняється від математичного лише розподілом мас. У положенні стійкої рівноваги центр мас Cфізичного маятника знаходиться нижче осі обертання на вертикалі, що проходить через вісь. При відхиленні маятника на кут φ виникає момент сили тяжіння, що прагне повернути маятник у положення рівноваги:

і другий закон Ньютона для фізичного маятника набуває вигляду (див. §1.23)

Тут ω 0 - власна частота малих коливань фізичного маятника .

Отже,

Тому рівняння, яке виражає другий закон Ньютона для фізичного маятника, можна записати у вигляді

Остаточно для кругової частоти 0 вільних коливань фізичного маятника виходить вираз:

Перетворення енергії при вільних механічних коливаннях

При вільних механічних коливаннях кінетична та потенційна енергії періодично змінюються. При максимальному відхиленні тіла від положення рівноваги його швидкість, а отже, і кінетична енергія перетворюються на нуль. У цьому положенні потенційна енергія тіла, що коливається, досягає максимального значення. Для вантажу на пружині потенційна енергія – це енергія пружних деформацій пружини. Для математичного маятника – це енергія у полі тяжіння Землі.

Коли тіло під час свого руху проходить через положення рівноваги, його швидкість максимальна. Тіло проскакує положення рівноваги згідно із законом інерції. У цей момент воно має максимальну кінетичну і мінімальну потенційну енергію. Збільшення кінетичної енергії відбувається рахунок зменшення потенційної енергії. При подальшому русі починає збільшуватися потенційна енергія за рахунок зменшення кінетичної енергії і т.д.

Таким чином, при гармонійних коливаннях відбувається періодичне перетворення кінетичної енергії на потенційну і навпаки.

Якщо коливальній системі відсутня тертя, то повна механічна енергія при вільних коливаннях залишається незмінною.

Для вантажу на пружині(Див. §2.2):

У реальних умовах будь-яка коливальна система перебуває під впливом сил тертя (опору). При цьому частина механічної енергії перетворюється на внутрішню енергію теплового руху атомів і молекул і коливання стають загасаючими (Рис. 2.4.2).

Швидкість загасання коливань залежить від величини сил тертя. Інтервал часу τ, протягом якого амплітуда коливань зменшується в e≈ 2,7 разів, називається часом згасання .

Частота вільних коливань залежить від швидкості загасання коливань. У разі зростання сил тертя власна частота зменшується. Однак, зміна власної частоти стає помітною лише за досить великих сил тертя, коли власні коливання швидко згасають.

Важливою характеристикою коливальної системи, що здійснює вільні загасаючі коливання, є добротність Q. Цей параметр визначається як число Nповних коливань, які здійснюють система за час згасання τ, помножене на π:

Таким чином, добротність характеризує відносне зменшення енергії коливальної системи через наявність тертя на інтервалі часу, що дорівнює одному періоду коливань.

Вимушені коливання. Резонанс. Автоколивання

Коливання, що відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили, називаються вимушеними.

Зовнішня сила здійснює позитивну роботу та забезпечує приплив енергії до коливальної системи. Вона не дає коливань загасати, незважаючи на дію сил тертя.

Періодична зовнішня сила може змінюватись у часі за різними законами. Особливий інтерес представляє випадок, коли зовнішня сила, що змінюється за гармонічним законом із частотою ω, впливає на коливальну систему, здатну здійснювати власні коливання деякою частотою ω 0 .

Якщо вільні коливання відбуваються на частоті 0, яка визначається параметрами системи, то вимушені коливання, що встановилися, завжди відбуваються на частоті ω зовнішньої сили.

Після початку впливу зовнішньої сили на коливальну систему потрібен деякий час Δ tдля встановлення вимушених коливань. Час встановлення по порядку величини дорівнює часу згасання вільних коливань в коливальній системі.

У початковий момент у коливальній системі збуджуються обидва процеси - вимушені коливання на частоті і вільні коливання на власній частоті 0 . Але вільні коливання згасають через неминучу наявність сил тертя. Тому через деякий час в коливальній системі залишаються тільки стаціонарні коливання на частоті зовнішньої сили, що змушує.

Розглянемо як приклад вимушені коливання тіла на пружині (рис. 2.5.1). Зовнішня сила прикладена до вільного кінця пружини. Вона змушує вільний (лівий на рис. 2.5.1) кінець пружини переміщатися згідно із законом

Якщо лівий кінець пружини зміщений на відстань y, а правий - на відстань xвід їхнього початкового положення, коли пружина була недеформована, то подовження пружини Δ lодно:

У цьому рівнянні сила, що діє на тіло, представлена ​​у вигляді двох доданків. Перший доданок у правій частині - це пружна сила, що прагне повернути тіло в положення рівноваги ( x= 0). Другий доданок - зовнішній періодичний вплив на тіло. Це доданок і називають силою, що змушує.

Рівнянню, що виражає другий закон Ньютона для тіла на пружині за наявності зовнішнього періодичного впливу, можна надати сувору математичну форму, якщо врахувати зв'язок між прискоренням тіла та його координатою: Тоді запишеться у вигляді

Рівняння (**) не враховує дії сил тертя. На відміну від рівняння вільних коливань(*) (Див. §2.2) рівняння вимушених коливань(**) Містить дві частоти - частоту ω 0 вільних коливань і частоту ω змушує сили.

Вимушені коливання вантажу, що встановилися, на пружині відбуваються на частоті зовнішнього впливу за законом

x(t) = x m cos (ω t + θ).

Амплітуда вимушених коливань x m і початкова фаза θ залежать від співвідношення частот 0 і ω і від амплітуди y m зовнішньої сили.

На дуже низьких частотах, коли<< ω 0 , движение тела массой m, Прикріплений до правого кінця пружини, повторює рух лівого кінця пружини. При цьому x(t) = y(t), і пружина залишається практично недеформованою. Зовнішня сила прикладена до лівого кінця пружини, роботи не здійснює, тому модуль цієї сили при ω<< ω 0 стремится к нулю.

Якщо частота ω зовнішньої сили наближається до власної частоти ω 0 виникає різке зростання амплітуди вимушених коливань. Це явище називається резонансом . Залежність амплітуди x m вимушених коливань від частоти ω змушує сили називається резонансною характеристикоюабо резонансної кривої(Рис. 2.5.2).

При резонансі амплітуда x m коливання вантажу може у багато разів перевершувати амплітуду y m коливань вільного (лівого) кінця пружини, спричиненого зовнішнім впливом. За відсутності тертя амплітуда вимушених коливань при резонансі має необмежено зростати. У реальних умовах амплітуда вимушених коливань, що встановилися, визначається умовою: робота зовнішньої сили протягом періоду коливань повинна дорівнювати втратам механічної енергії за той же час через тертя. Чим менше тертя (тобто чим вище добротність Qколивальної системи), тим більше амплітуда вимушених коливань при резонансі.

У коливальних систем з не дуже високою добротністю (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Явище резонансу може спричинити руйнування мостів, будівель та інших споруд, якщо власні частоти їх коливань збігатимуться з частотою сили, що періодично діє, що виникла, наприклад, через обертання незбалансованого мотора.

Вимушені коливання – це незагасаючіколивання. Неминучі втрати енергії на тертя компенсуються підведенням енергії від зовнішнього джерела сили, що періодично діє. Існують системи, в яких незатухаючі коливання виникають не за рахунок періодичного зовнішнього впливу, а в результаті наявної у таких систем здатності регулювати надходження енергії від постійного джерела. Такі системи називаються автоколивальними, а процес незагасаних коливань у таких системах - автоколиваннями . В авто коливальній системі можна виділити три характерні елементи - коливальна система, джерело енергії та пристрій зворотного зв'язку між коливальною системою та джерелом. Як коливальної системи може бути використана будь-яка механічна система, здатна здійснювати власні затухаючі коливання (наприклад, маятник настінного годинника).

Джерелом енергії може бути енергія деформація пружини чи потенційна енергія вантажу на полі тяжкості. Пристрій зворотного зв'язку є деяким механізмом, за допомогою якого автоколивальна система регулює надходження енергії від джерела. На рис. 2.5.3 зображено схему взаємодії різних елементів автоколивальної системи.

Прикладом механічної автоколивальної системи може служити годинниковий механізм анкернимходом (рис. 2.5.4). Ходове колесо з косими зубами жорстко скріплене із зубчастим барабаном, через який перекинутий ланцюжок із гирей. На верхньому кінці маятника закріплено анкер(якірок) з двома пластинками з твердого матеріалу, вигнутими по дузі кола з центром на осі маятника. У ручному годиннику гиря замінюється пружиною, а маятник - балансиром - маховичком, скріпленим зі спіральною пружиною. Балансир здійснює крутильні коливання довкола своєї осі. Коливальною системою в годиннику є маятник або балансир.

Джерелом енергії - піднята вгору гиря чи заведена пружина. Пристроєм, за допомогою якого здійснюється зворотний зв'язок, є анкер, що дозволяє ходовому колесу повернутися на один зубець за півперіод. Зворотний зв'язок здійснюється взаємодією анкера із ходовим колесом. При кожному коливанні маятника зубець ходового колеса штовхає анкерну вилку у бік руху маятника, передаючи йому деяку порцію енергії, яка компенсує втрати енергії на тертя. Таким чином, потенційна енергія гирі (або закрученої пружини) поступово окремими порціями передається маятнику.

Механічні автоколивальні системи широко поширені в навколишньому житті і в техніці. Автоколивання здійснюють парові машини, двигуни внутрішнього згоряння, електричні дзвінки, струни смичкових музичних інструментів, повітряні стовпи в трубах духових інструментів, голосові зв'язки під час розмови чи співу тощо.

Малюнок 2.5.4. Часовий механізм із маятником.