Евклід
Проект виконувала
учениця 7Б класу
Філіппова Ганна
Евклід- Давньогрецький математик, автор першого з теоретичних трактатів з математики, що дійшли до нас. Біографічні відомості про Евкліда вкрай убогі. Достовірним вважатимуться лише те, що його наукова діяльність протікала Олександрії в 3 в. до зв. е.
Початки Евкліда
Основний твір Евкліда називається
Початок. Книги з такою самою назвою,
у яких послідовно викладалися
всі основні факти геометрії та
теоретичної арифметики, що складалися
раніше Гіппократом Хіоським , Леонтомі
Февдієм. Однак ПочатокЕвкліда
витіснили всі ці твори з
побуту та протягом більш ніж двох
тисячоліть залишалися базовим
підручник геометрії. Створюючи свій
підручник, Евклід включив до нього багато
з того, що було створено його
попередниками, обробивши цей
матеріал і звівши його воєдино
Початокскладаються із тринадцяти книг. Перші та деякі інші книги передуються списком визначень. Першій книзі подано також список постулатів та аксіом. Як правило, постулатизадають базові побудови (напр., «потрібно, щоб через будь-які дві точки можна було провести пряму»), а аксіоми- загальні правила виведення при оперуванні з величинами (напр., «якщо дві величини дорівнюють третій, вони рівні між собою»).
У I книзі вивчаються властивості трикутників та паралелограмів; цю книгу увінчує знаменита теорема Піфагора для прямокутних трикутників. Книга II, що сходить до піфагорійців, присвячена так званій геометричній алгебрі. У III та IV книгах викладається геометрія кіл, а також вписаних та описаних багатокутників; при роботі над цими книгами Евклід міг скористатися творами Гіппократа Хіоського
У V книзі запроваджується загальна теорія пропорцій, побудована Євдоксом Кнідським, а VI книзі вона додається до теорії подібних постатей. VII-IX книги присвячені теорії чисел і сходять до піфагорійців; автором VIII книги, можливо, був Архіт Тарентський.У цих книгах розглядаються теореми про пропорції та геометричні прогресії, вводиться метод для знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел, будується парні досконалі числа, доводиться нескінченність множини простих чисел. У X книзі, що є найбільшою і складною частиною Почав, будується класифікація ірраціональностей; можливо, що її автором є Теетет Афінський .
ХІ книга містить основи стереометрії. У XII книзі з допомогою методу вичерпування доводяться теореми про відносини площ кіл, і навіть обсягів пірамід і конусів; автором цієї книги за загальним визнанням є Євдокс Кнідський. Нарешті, XIII книга присвячена побудові п'яти правильних багатогранників; вважається, що частина побудов була розроблена Теететом Афінським.
Видатний давньогрецький математик Евклід народився в Мегарі, невеликому грецькому містечку. Про його життя ми знаємо дуже мало, невідомі навіть дата народження і смерті цієї людини. Зазвичай вказують лише четверте століття до н.е., коли воно народилося, і третє століття до н.е., період розквіту його діяльності в Олександрії - столиці Єгипту при греко-македонській династії Птоломеїв. В античному світі Птоломеї не мали собі рівних за заступництвом вченим, письменникам, винахідникам та поетам. Відомо, що він був учнем Платона.
Одного разу цар Птолемей запитав Евкліда, чи існує інший, не такий важкий шлях пізнання геометрії, ніж той, який виклав вчений у своїх "Початках". Евклід відповів: « О царю, в геометрії немає царських доріг ».
- Довгий час вчені вважали, що не було конкретної історичної особи, що під ім'ям Евкліда переховувалась група математиків. Однак у знайденому рукописі XII століття виявили докази його існування. Евклід потрапив до Олександрії посаду викладача Мусейона, тобто. буквально "обителі Муз", а фактично - прообраз майбутніх європейських університетів. У цьому чудовому місті Евклід і створив свою працю "Початку" (або "Елементи" у латинізованій формі). У п'ятнадцяти книгах "Початок" викладено майже всі найважливіші здобутки античної математики. Протягом понад дві тисячі років Євклідове твір залишалося основним працею з елементарної математики. Але досягнення Евкліда не тільки в тому, що він відкрив закони і теореми, а ще й у тому, що великий математик привів у систему розрізнений і великий теоретичний матеріал і розташував його в такій послідовності, що кожна теорема випливала з попередньої. Він дав першу систему аксіом - тверджень, які приймаються без доказів. Те, що математику називають найточнішою з наук – чимала заслуга Евкліда.
- А тепер розповімо про те, в чому саме полягали відкриття Евкліда.
- Основи геометричної алгебри (наука про обчислення відрізків та площ) були викладені в I книзі"Почав". Там розглядаються відрізки та визначаються арифметичні операції над ними. Наприклад, два відрізки складали, приставляючи один до одного, віднімали, прибираючи з більшого відрізка частину, що дорівнює меншому. Обчислення, визначене в геометричній алгебрі, було «ступінчастим». Перший ступінь становили відрізки, другий - площі, третій - об'єми. Інструментами, за допомогою яких дозволялося робити побудови в геометричній алгебрі, стали циркуль і лінійка.
- У книзі IIрозглядаються основні властивості трикутників, прямокутників, паралелограмів та проводиться порівняння їх площ. Закінчується книга теореми Піфагора.
- У книзі IIIрозглядаються властивості кола, його дотичних і хорд (ці проблеми були досліджені Гіппократом Хіоським у 2-й половині 5 ст до н.е.).
У 1739 році книга "Початок" була перекладена російською мовою. Перед вами перша сторінка першої книги.
- У книзі IV- Правильні багатокутники. У книзі Vдається загальна теорія відносин величин, створена Євдоксом Кнідським; її можна як прообраз теорії дійсних чисел, розробленої лише у 2-й половині 19 в. Загальна теорія відносин є основою вчення про подобу (книга VI) та методу вичерпування (книга VII), що також сягають Евдокса. У книгах VII-IXвикладено початки теорії чисел, засновані на алгоритмі знаходження найбільшого загального дільника або алгоритму Евкліда. У ці книги входить теорія ділимості, включаючи теореми про однозначність розкладання цілого числа на прості множники та нескінченність числа простих чисел; тут викладається також вчення про відношення цілих чисел подібне до теорії раціональних (позитивних) чисел. У книзі Хдається класифікація квадратичних та біквадратичних ірраціональностей та обґрунтовуються деякі правила їх перетворення. Результати книги Х застосовують у книзі XIII знаходження довжин ребер правильних багатогранників. Значна частина книг Х та XIII(ймовірно і VII) належить Теетету (початок 4 в. е.). У книзі XIвикладаються основи стереометрії.
- У книзі XIIвизначаються за допомогою методу вичерпування відношення площ двох кіл та відношення об'ємів піраміди та призми, конуса та циліндра. Ці теореми вперше доведено Євдоксом.
- Нарешті, в книзі XIIIвизначається відношення обсягів двох куль, будуються п'ять правильних багатогранників і доводиться, що інших правильних тіл немає.
- Наступними грецькими математиками до «Початків» Евкліда були приєднані книги XIV та XV, які не належали Евкліду. Вони часто й тепер видаються разом із основним текстом «Початок». Там розглядаються відрізки та визначаються арифметичні операції над ними.
Фрагмент найстарішого папірусу з діаграмами з "Елементів геометрії" Евкліда
- Цитадель (середньовічна фортеця) побудована в XII столітті
Мечеть Ель-Мурсі Абуль Аббаса Олександрії .
Хургада. Палац 1000 та 1 ніч. Олександрія
олександрійська бухта
Слайд 1
ЕВКЛІД (бл. 365 – 300 до н. е.)
Галерея великих математиків
Підготувала вчитель математики МОУ ЗОШ №36 м. Калінінграда Ковальчук Лариса Леонідівна
Слайд 2
Про життя цього вченого майже нічого не відомо. До нас дійшли лише окремі легенди про нього. Перший коментатор "Почав" Прокл (V століття нашої ери) не міг вказати, де і коли народився і помер Евклід. За Проклу, «цей учений чоловік» жив у епоху царювання Птолемея I. Деякі біографічні дані збереглися сторінках арабського рукопису XII століття: «Евклід, син Наукрата, відомий під ім'ям «Геометра», вчений старого часу, зі свого походження грек, за місцем проживання сирієць, родом з Тиру».
Слайд 3
Одна із легенд розповідає, що цар Птолемей вирішив вивчити геометрію. Але виявилося, що зробити це не так просто. Тоді він закликав Евкліда і попросив вказати йому легкий шлях до математики. "До геометрії немає царської дороги", - відповів йому вчений. Так у вигляді легенди дійшло до нас це вираз, що став крилатим.
Слайд 4
Цар Птолемей I, щоб звеличити свою державу, залучав у країну вчених та поетів, створивши для них храм муз – Мусейон. Тут були зали для занять, ботанічний та зоологічний сади, астрономічний кабінет, астрономічна вежа, кімнати для самотньої роботи та головне – чудова бібліотека. Серед запрошених учених виявився і Евклід, який заснував в Олександрії – столиці Єгипту – математичну школу та написав для її учнів свою фундаментальну працю.
Слайд 5
Саме в Олександрії Евклід засновує математичну школу і пише велику працю з геометрії, об'єднану під загальною назвою «Початки» – головну працю свого життя. Вважають, що він був написаний близько 325 року до н. Попередники Евкліда - Фалес, Піфагор, Аристотель та інші багато зробили у розвиток геометрії. Але це були окремі фрагменти, а чи не єдина логічна схема.
Слайд 6
Як сучасників, і послідовників Евкліда приваблювала систематичність і логічність викладених відомостей. "Початки" складаються з тринадцяти книг, побудованих за єдиною логічною схемою. Кожна з тринадцяти книг починається визначенням понять (точка, лінія, площина, фігура і т. д.), які в ній використовуються, а потім на основі небагатьох основних положень (5 аксіом і 5 постулатів), що приймаються без доказу, будується вся система геометрії.
Слайд 7
У той час розвиток науки не передбачав наявності методів практичної математики. Книги I-IV охоплювали геометрію, їх зміст сягав праці піфагорійської школи. У книзі V розроблялося вчення про пропорції, яке примикало до Евдокса Кнідського. У книгах VII-IX містилося вчення про числа, що представляє розробки піфагорійських першоджерел. У книгах Х-ХІІ містяться визначення площ у площині та просторі (стереометрія), теорія ірраціональності (особливо у Х книзі); у XIII книзі вміщено дослідження правильних тіл, що сягають Теетету.
Слайд 8
Рафаель Санті, Евклід, деталь 1508-11, фреска "Афінська школа" Станц делла Сеньятура, Ватикан, Рим, Італія
Слайд 9
«Початки» Евкліда є викладом тієї геометрії, яка відома й досі під назвою евклідової геометрії. Вона описує метричні властивості простору, який сучасна наука називає евклідовим простором. Евклідов простір є ареною фізичних явищ класичної фізики, основи якої були закладені Галілеєм та Ньютоном. Цей простір порожній, безмежний, ізотропний, що має три виміри. Евклід надав математичну визначеність атомістичної ідеї порожнього простору, у якому рухаються атоми. Найпростішим геометричним об'єктом у Евкліда є точка, що він визначає як те, що немає частин. Іншими словами, точка – це неподільний атом простору.
Слайд 10
Нескінченність простору характеризується трьома постулатами: «Від будь-якої точки до кожної точки можна провести пряму лінію». "Обмежену пряму можна безперервно продовжити по прямій". "З будь-якого центру і будь-яким розчином може бути описаний коло".
Слайд 11
Вчення про паралельні і знаменитий п'ятий постулат («Якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні і по один бік кути менші двох прямих, то продовжені необмежено ці дві прямі зустрінуться з того боку, де кути менше двох прямих») визначають властивості евклідового простору та її геометрію, відмінну від неевклідових геометрій.
Слайд 12
Зазвичай про «Початки» кажуть, що після Біблії це найпопулярніша написана пам'ятка давнини. Книжка має свою, дуже примітну історію. Протягом двох тисяч років вона була настільною книгою школярів, що використовувалася як початковий курс геометрії. «Початки» мали виняткову популярність, і з них було знято безліч копій працьовитими переписувачами в різних містах і країнах. Пізніше "Початки" з папірусу перейшли на пергамент, а потім на папір. Протягом чотирьох століть "Початки" публікувалися 2500 разів: у середньому виходило щорічно 6-7 видань. До XX століття книга вважалася основним підручником з геометрії не лише для шкіл, а й для університетів.
Слайд 13
"Початки" Евкліда були ґрунтовно вивчені арабами, а пізніше європейськими вченими. Вони були перекладені основними світовими мовами. Перші оригінали були надруковані в 1533 в Базелі Цікаво, що перший переклад на англійську мову, що відноситься до 1570, був зроблений Генрі Біллінгвеєм, лондонським купцем Евкліду належать частково збережені, частково реконструйовані надалі математичні твори Саме він ввів алгоритм для отримання найбільшого двох довільно взятих натуральних чисел і алгоритм, названий «рахунком Ератосфена», для знаходження простих чисел від даного числа.
Слайд 14
Евклід заклав основи геометричної оптики, викладені ним у творах «Оптика» та «Катоптрика». Основне поняття геометричної оптики - прямолінійний світловий промінь. Евклід стверджував, що світловий промінь виходить з ока (теорія зорових променів), що для геометричних побудов немає істотного значення. Він знає закон відображення і фокусуючу дію увігнутого сферичного дзеркала, хоча точного положення фокусу визначити ще не може. Принаймні в історії фізики ім'я Евкліда як засновника геометричної оптики зайняло належне місце.
Слайд 15
У Евкліда ми також зустрічаємо опис монохорда - однострунного приладу визначення висоти тону струни та її частин. Вважають, що монохорд вигадав Піфагор, а Евклід тільки описав його («Поділ канону», III століття до нашої ери). Евклід із властивою йому пристрастю зайнявся чисельною системою інтервальних співвідношень. Винахід монохорд мало значення для розвитку музики. Поступово замість однієї струни почали використовувати дві чи три. Так було започатковано створення клавішних інструментів, спочатку клавесина, потім піаніно, А першопричиною появи цих музичних інструментів стала математика.
Слайд 16
Звичайно, всі особливості простору Евкліда були відкриті не відразу, а в результаті багатовікової роботи наукової думки, але відправним пунктом цієї роботи послужили «Початку» Евкліда. Знання основ евклідової геометрії є нині необхідним елементом загальної освіти у всьому світі.
Слайд 17
http://biographera.net/biography.php?id=50 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Euclid.html
Евклід або Евклід давньогрецький математик. Світову популярність набув завдяки твору з основ математики «Початку». Біографічні дані про Евкліда вкрай убогі. Про життя Евкліда майже нічого не відомо. Деякі біографічні дані збереглися на сторінках арабського рукопису XII століття: "Евклід, син Наукрата, відомий під ім'ям "Геометра", вчений старого часу, за своїм походженням грек, за місцем проживання сирієць, родом з Тіра". Він народився в Афінах, навчався в Академії. На початку 3 століття до н. переїхав до Олександрії і там заснував математичну школу і написав для її учнів свою фундаментальну працю, об'єднану під загальною назвою "Початки". Він був написаний близько 325 року до н. Евклід
В арифметиці Евклід зробив три значні відкриття. По-перше, він сформулював (без доказу) теорему про поділ із залишком. По-друге, він вигадав "алгоритм Евкліда" - швидкий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника чисел або загальної міри відрізків (якщо вони можна порівняти). Нарешті, Евклід перший почав вивчати властивості простих чисел - і довів, що їхня безліч нескінченна.
Ватиканський манускрипт, т.1, 38v 39r. Euclid I prop. 47 (теорема Піфагора). З творів Евкліда, що дійшли до нас, найбільш відомі «Початки», що складаються з 15 книг. Перші чотири книги "Початок" присвячені геометрії на площині, і в них вивчаються основні властивості прямолінійних фігур та кіл. Книзі I подано визначення понять, що використовуються надалі. Вони мають інтуїтивний характер, оскільки визначені у термінах фізичної реальності: "Точка є те, що не має частин". "Лінія ж – довжина без ширини". "Пряма лінія є та, яка рівно розташована по відношенню до точок на ній". "Поверхня є те, що має лише довжину та ширину" і т.д.
У книзі II закладено основи так званої геометричної алгебри, що сягає школи Піфагора. Усі величини у ній представлені геометрично, та операції над числами виконуються геометрично. Числа замінені відрізками прямої. Книга III цілком присвячена геометрії кола, а книзі IV вивчаються правильні багатокутники, вписані в коло, і навіть описані навколо неї. Теорія пропорцій, розроблена в книзі V, однаково добре додавалася і до сумірних величин і до несумірних величин. Евклід включав у поняття "величини" довжини, площі, обсяги, ваги, кути, часові інтервали і т. д. Відмовившись використовувати геометричну очевидність, але уникаючи також звернення до арифметики, він не приписував величин чисельних значень.
У книзі VI теорія пропорцій книги V застосовується до прямолінійних фігур, геометрії на площині і, зокрема, до подібних фігур, причому "подібні прямолінійні фігури суть ті, які мають кути, рівні по порядку, і сторони при рівних кутах пропорційні". Книги VII, VIII та IX складають трактат з теорії чисел; теорія пропорцій у яких додається до числам. У книзі VII визначається рівність відносин цілих чисел, чи, з погляду, будується теорія раціональних чисел. З багатьох властивостей чисел, досліджених Евклідом (парність, ділимість і т.д.), наведемо, наприклад, пропозицію 20 книги IX, що встановлює існування нескінченної множини "перших", тобто. простих чисел: "Перших чисел існує більше за будь-яку запропоновану кількість перших чисел". Його доказ від неприємного досі можна знайти в підручниках з алгебри.
Книга X читається важко; вона містить класифікацію квадратичних ірраціональних величин, які там представлені геометрично прямими і прямокутниками. Ось як сформульована пропозиція 1 у книзі X "Почав" Евкліда: "Якщо задані дві нерівні величини і з більшої віднімається частина, більша половини, а з залишку - знову частина, більша половини, і це повторюється постійно, то коли-небудь залишається величина, яка менша, ніж менша з даних величин". Сучасною мовою: Якщо a та b – позитивні речові числа і a >b, то завжди існує таке натуральне число m, що mb > a. Евклід довів справедливість геометричних перетворень. b, завжди існує таке натуральне число m, що mb > a. Евклід довів справедливість геометричних перетворень."> 
Книга XI присвячена стереометрії. У книзі XII, яка також сягає, мабуть, Євдокса, за допомогою Методу вичерпування площі криволінійних фігур порівнюються з площами багатокутників. Предметом книги XIII є побудова правильних багатогранників. Побудова Платонових тіл, яким, мабуть, завершуються "Початки", дало підставу зарахувати Евкліда до послідовників філософії Платона.
Другим після «Початок» твором Евкліда зазвичай називають «Дані» введення в геометричний аналіз. Євкліду належать також «Явлення», присвячені елементарній сферичній астрономії, «Оптика» та «Катоптріка», невеликий трактат «Перетину канону» (містить десять завдань про музичні інтервали), збірник завдань з поділу площ фігур «Про поділки» ( дійшов до нас в арабському перекладі. Виклад у всіх цих творах, як і в «Початках», підпорядкований суворій логіці, причому теореми виводяться з точно сформульованих фізичних гіпотез та математичних постулатів. Багато творів Евкліда втрачено, про їхнє існування в минулому нам відомо лише за посиланнями у творах інших авторів.
1 слайд
2 слайд
Життя і діяльність Евкліда Евклід (припустимо 330-277 до н.е.) - математик Олександрійської школи Стародавньої Греції, автор першого трактату з математики, що дійшов до нас.
3 слайд
4 слайд
П'ять постулатів Евкліда Від будь-якої точки до будь-якої іншої точки можна провести тільки одну пряму лінію. Обмежену пряму лінію можна постійно продовжувати по прямій. З будь-якого центру і будь-яким розчином можна описати коло. Всі прямі кути рівні між собою Якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні і по один бік кути, менші двох прямих, то продовжені ці дві прямі необмежено зустрічаються з того боку, де кути менше двох
5 слайд
П'ятий постулат Якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні і по один бік кути, менші за дві прямі, то продовжені ці дві прямі необмежено зустрічаються з того боку, де кути менше двох прямих.
6 слайд
V постулат про паралельних формулювали: Прокл (411 - 485 до н.е.) Евклід (325 - 265 до н.е.) Архімед (287 - 212 до н.е.) Птолемей (85 - 165 до н.е.) Валліс (1663) Лежандр (1794, 1823), і навіть відомий поет Омар Хайям. .
7 слайд
9 аксіом Евкліда Рівні одному й тому ж рівні і між собою Якщо до рівних додають рівні, то і цілі будуть рівні Якщо від рівних віднімаються рівні, то і залишки будуть рівні Якщо до нерівних додають рівні, то і цілі будуть не рівні
8 слайд
9 аксіом Евкліда(продовження) Подвоєні одного і того ж рівні між собою Половини одного і того ж рівні між собою Поєднуються один з одним рівні між собою Ціле більше частини Дві прямі не містять простору
9 слайд
Висновок В арифметиці Евклід зробив три значні відкриття. По-перше, він сформулював (без доказу) теорему про поділ із залишком. По-друге, він вигадав "алгоритм Евкліда" - швидкий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника чисел або загальної міри відрізків (якщо вони можна порівняти). Нарешті, Евклід перший почав вивчати властивості простих чисел - і довів, що їх безліч нескінченно. Але чи правда, що будь-яке ціле число розкладається у добуток простих чисел єдиним способом? Довести це Евклід не зумів - хоча мав у своєму розпорядженні всі необхідні для цього кошти.
10 слайд
