Un set de puncte sau corpuri materiale, când poziția sau mișcarea fiecărui punct depinde de poziția sau mișcarea celorlalți, se numește sistem mecanic.
Forțele exterioare sunt cele care acționează asupra părților (punctele) unui sistem din puncte sau corpuri neincluse în sistem. Notat ca .
Forțele interne sunt cele care acționează asupra punctelor unui sistem din punctele aceluiași sistem. Ele sunt desemnate ca .
Forțele externe și interne pot fi active sau reacții ale conexiunilor; divizarea forțelor în externe și interne este condiționată și depinde de sarcina specifică.
Proprietățile forțelor interne:
1. Vectorul principal al tuturor forțelor interne ale sistemului este egal cu zero.
2. Momentul principal al tuturor forțelor interne ale sistemului în raport cu orice centru sau axă este egal cu zero:
Prima proprietate se bazează pe cea de-a cincea axiomă a staticii, adică fiecărei forțe interne îi corespunde o altă forță internă, egală cu ea ca mărime și direcționată opus.
A doua proprietate este superficial similară cu condițiile de echilibru, deși nu este, deoarece forțele interne sunt aplicate în diferite puncte ale sistemului și pot provoca mișcări relative.
Mișcarea unui sistem depinde de masa totală și de distribuția sa. Fiecare punct al unui sistem cu masă poate fi caracterizat prin vectorul său de rază.
Centrul de masă al sistemului este punctul C al cărui vector rază este determinat de formula:
unde , masa sistemului este egală cu suma aritmetică a maselor tuturor punctelor sistemului.
Distribuția maselor poate fi judecată după poziția centrului de greutate. Înlocuirea în formulele pentru coordonatele centrului de greutate (7.2.2); P = Mg, obținem
Poziția centrului de masă al sistemului (sau a centrului de inerție) în fiecare moment de timp depinde doar de poziția și masa fiecărui punct al sistemului.
Centrul de masă al sistemului coincide cu centrul lor de greutate. Conceptul de centru de greutate este aplicabil corpurilor rigide, iar conceptul de centru de masă este aplicabil oricăror sisteme de puncte sau corpuri.
Deoarece poziția centrului de masă al sistemului nu caracterizează complet distribuția maselor, se introduce o altă mărime - momentul de inerție.
Momentul de inerție al unui sistem (corp) față de o axă (momentul axial de inerție) este o mărime scalară egală cu suma produselor maselor tuturor punctelor (corpurilor) sistemului cu pătratele distanțelor lor față de această axă.
Să fie aceasta axa Oz. Apoi
Momentul axial este o măsură a inerției unui sistem de puncte (corpuri) în timpul mișcării de rotație, dimensiune: în sistemul SI de unități - .
În expresia prin coordonate se va scrie momentul axial de inerție J față de axele:
Raza de inerție a unui corp în raport cu axa (Oz) este o mărime liniară determinată de dependență
unde M este masa corpului, este distanța de la axa Oz până la punctul în care este necesar să se concentreze întreaga masă M a corpului, astfel încât momentul de inerție al acestui punct față de această axă să fie egal cu momentul de inerție al corpului.
Momentele de inerție în jurul axelor (15.3.1) depind de alegerea acestor axe și sunt diferite în ceea ce privește aceste axe.
Huygens a arătat că, cunoscând momentul de inerție față de orice axă, îl puteți găsi în raport cu orice altă axă paralelă cu aceasta (Fig. 75). 
)
Să desenăm axele Cx"y"z" prin centrul de masă C al corpului și prin punctul O - xyz, paralele între ele.
Să notăm distanța OS cu d. Apoi:
În partea dreaptă a ecuației (15.3.6), prima sumă este relația (15.3.5). a doua sumă este masa corpului M. Deoarece punctul C este centrul de masă, din ecuația (15.2.2) obținem
dar punctul C este și originea coordonatelor, unde = 0, adică a treia sumă este zero. Asa de
Aceasta este o expresie analitică a teoremei lui Huygens: Momentul de inerție al unui corp în jurul unei axe date este egal cu momentul de inerție în jurul unei axe paralele cu aceasta, care trece prin centrul de masă al corpului, pliat cu produsul lui masa întregului corp și pătratul distanței dintre axe.
În mecanică, un corp rigid este înțeles ca un sistem de puncte materiale, a căror distanță dintre oricare două puncte rămâne neschimbată în timpul mișcării. Prin urmare, toate rezultatele obținute la subiectele anterioare („Dinamica unui punct material”, „Legea conservării momentului”, „Legea conservării energiei” și „Legea conservării momentului unghiular”) pentru un sistem de puncte materiale sunt aplicabile și unui corp solid.
Momentul de inerție al unui corp rigid
Momentul de inerție este o mărime care depinde de distribuția maselor într-un corp și este, împreună cu masa, o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării netranslaționale. Când un corp rigid se rotește în jurul unei axe fixe, momentul de inerție al corpului față de această axă este determinat de expresia
Unde 
- masele corporale elementare; 
- distantele lor fata de axa de rotatie.
Momentul de inerție al unui corp față de orice axă poate fi găsit prin calcul. Dacă materia din corp este distribuită continuu, atunci calcularea momentului de inerție se reduce la calcularea integralei
,
(1)
Unde 
– masa unui element de corp situat la distanta 
din axa care ne interesează. Integrarea trebuie efectuată pe întregul volum al corpului.
Calculul analitic al unor astfel de integrale este posibil numai în cele mai simple cazuri de corpuri de formă geometrică regulată.
Dacă se cunoaște momentul de inerție al unui corp față de orice axă, puteți găsi momentul de inerție față de orice altă axă paralelă cu aceasta. Folosind teorema lui Steiner, conform căreia momentul de inerție al unui corp 
relativ la o axă arbitrară este egală cu suma momentului de inerție al corpului față de axa care trece prin centrul de masă al corpului 
și paralel cu o axă dată și produsul masei corporale T pe pătrat al distanței dintre axe 
:
(2)
Calculul momentului de inerție al unui corp în raport cu o axă poate fi adesea simplificat prin prima calculare moment de inerție în jurul unui punct. Momentul de inerție al unui corp față de un punct în sine nu joacă niciun rol în dinamică. Este un concept pur auxiliar care servește la simplificarea calculelor.
Să luăm în considerare un punct al unui corp rigid cu masă 
si cu coordonate 
raportat la sistemul de coordonate dreptunghiular (fig. 1). Pătratele distanțelor sale față de axele de coordonate 
sunt, respectiv, egali 
iar momentele de inerție în jurul acelorași axe
(3)
Adăugând aceste egalități și însumând pe întregul volum al corpului
(5)
Unde 
– momentul de inerție al corpului relativ la punct.
Din această expresie se poate obține relația dintre momentele de inerție ale unui corp plat față de axe 
. Fie concentrată masa unui corp plat în plan 
acestea. coordona 
orice punct al unui astfel de corp este egal cu zero, apoi de la
ecuaţiile (3) şi (4) rezultă că
(6)
Rotirea unui corp rigid în jurul unei axe fixe
Luați în considerare un corp solid de masă 
, care se rotește în jurul unei axe fixe cu viteză unghiulară 
. Pentru a obține o ecuație care descrie această mișcare, aplicăm ecuația momentelor în jurul axei obținută în secțiunea „Legea conservării momentului unghiular”
,
(7)
Amintiți-vă că în această ecuație 
Și 
– momentul unghiular și momentul de forță în jurul axei în jurul căreia se rotește corpul rigid.
Momentul unghiular al unui anumit punct al unui corp de masă 
rotindu-se într-un cerc de rază 
cu viteza 
, este egal
Însumând pe întreg volumul corpului, ținând cont de faptul că 
primim
Astfel, momentul unghiular al unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe este egal cu produsul dintre momentul de inerție al corpului față de această axă și viteza sa unghiulară.
Înlocuind expresia rezultată în (7), obținem ecuația dinamicii unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe,
sau 
(8)
Unde 
– accelerația unghiulară a corpului.
Să aflăm energia cinetică a unui corp în rotație. Pentru a face acest lucru, însumăm energiile cinetice ale părților sale individuale pe întregul volum al corpului.
(9)
Cunoscând dependența momentului forțelor care acționează asupra corpului de unghiul de rotație, se poate găsi lucrul acestor forțe atunci când corpul se rotește printr-un unghi finit. 
.
Să existe un corp solid. Să alegem o linie dreaptă OO (Fig. 6.1), pe care o vom numi axă (linia dreaptă OO poate fi în afara corpului). Să împărțim corpul în secțiuni elementare (puncte materiale) cu mase 
situat la o distanţă de axă 
respectiv.
Momentul de inerție al unui punct material față de o axă (OO) este produsul dintre masa unui punct material cu pătratul distanței sale față de această axă:
. (6.1)
Momentul de inerție (MI) al unui corp față de o axă (OO) este suma produselor maselor secțiunilor elementare ale corpului cu pătratul distanței lor față de axă:
. (6.2)
După cum puteți vedea, momentul de inerție al unui corp este o mărime aditivă - momentul de inerție al întregului corp față de o anumită axă este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale individuale față de aceeași axă.
În acest caz
.
Momentul de inerție se măsoară în kgm 2. Deoarece
, (6.3)
unde
- densitatea substanței, 
- volum i- Secțiunea a, atunci
,
sau, trecând la elemente infinitezimale,
. (6.4)
Formula (6.4) este convenabilă de utilizat pentru a calcula MI al corpurilor omogene de formă regulată în raport cu axa de simetrie care trece prin centrul de masă al corpului. De exemplu, pentru MI al unui cilindru în raport cu o axă care trece prin centrul de masă paralel cu generatricea, această formulă oferă
,
Unde T- greutate; R- raza cilindrului.
Teorema lui Steiner oferă o mare asistență în calcularea MI al corpurilor în raport cu anumite axe: MI al corpurilor eu faţă de orice axă este egală cu suma MI a acestui corp eu c relativ la o axă care trece prin centrul de masă al corpului și paralelă cu cea dată și produsul masei corporale cu pătratul distanței dîntre axele indicate:
. (6.5)
Moment de forță în jurul axei
Lasă forța să acționeze asupra corpului F. Să presupunem pentru simplitate că forța F se află într-un plan perpendicular pe o dreaptă OO (Fig. 6.2, A), pe care o vom numi axa (de exemplu, aceasta este axa de rotație a corpului). În fig. 6.2, A
A- punctul de aplicare a forței F,
- punctul de intersecție al axei cu planul în care se află forța; r- vector rază care defineşte poziţia punctului A relativ la punct DESPRE";
O"B
= b
-
umărul puterii. Brațul forței relativ la axă este cea mai mică distanță de la axă la linia dreaptă pe care se află vectorul forță F(lungimea perpendicularei trase din punct 
la această linie).
Momentul de forță relativ la axă este o mărime vectorială definită de egalitate
. (6.6)
Modulul acestui vector este . Uneori, așadar, se spune că momentul unei forțe în jurul unei axe este produsul dintre forță și brațul acesteia.
Dacă puterea F este dirijat arbitrar, apoi poate fi descompus în două componente; 
Și 
(Fig.6.2, b), adică 
+
, Unde 
- componentă îndreptată paralel cu axa OO, şi 
se află într-un plan perpendicular pe axă. În acest caz, sub momentul forței F relativ la axa OO înțelege vectorul
. (6.7)
În conformitate cu expresiile (6.6) și (6.7), vectorul M direcționat de-a lungul axei (vezi Fig. 6.2, A,b).
Momentul unui corp în raport cu axa de rotație
P 
Lăsați corpul să se rotească în jurul unei anumite axe OO cu viteză unghiulară 
. Să împărțim mental acest corp în secțiuni elementare cu mase 
, care sunt situate de la ax, respectiv, la distante 
și se rotesc în cercuri, având viteze liniare 
Se știe că valoarea este egală 
- există un impuls i-complot. moment de impuls i-secțiunea (punctul material) relativ la axa de rotație se numește vector (mai precis, pseudovector)
, (6.8)
Unde r i– vectorul rază care defineşte poziţia i- aria relativă a axei.
Momentul unghiular al întregului corp față de axa de rotație se numește vector
(6.9)
al cărui modul 
.
În conformitate cu expresiile (6.8) și (6.9), vectorii
Și 
îndreptată de-a lungul axei de rotaţie (Fig. 6.3). Este ușor de arătat că momentul unghiular al unui corp L faţă de axa de rotaţie şi momentul de inerţie eu a acestui corp relativ la aceeași axă sunt legate prin relația
. (6.10)
DEFINIȚIE
Se numește o mărime fizică care este o măsură a inerției unui corp care se rotește în jurul unei axe momentul de inerție al corpului (J).
Aceasta este o cantitate scalară (în general, tensorală).
unde sunt masele punctelor materiale în care este împărțit corpul; prin pătratele distanţelor de la punctul material la axa de rotaţie.
Pentru un corp omogen continuu care se rotește în jurul unei axe, momentul de inerție este adesea definit ca:
unde r este o funcție a poziției unui punct material în spațiu; - densitatea corpului; - volumul unui element al corpului.
Tensor de inerție
Set de valori:
numit tensor de inerție. Elemente tensoare diagonale: . Tensorul de inerție este simetric.
Fie toate elementele nediagonale ale tensorului să fie egale cu zero, doar componentele diagonale nu sunt egale cu zero. Apoi scriem tensorul ca:
În acest caz, axele corpului coincid cu axele de coordonate și sunt principalele axe de inerție. Cantitati:
sunt numite momente principale de inerție. Tensorul în forma (4) este prezentat în diagonală. Momentele de inerție situate în afara diagonalei principale a matricei (3) se numesc centrifuge. Dacă axele sistemului de coordonate sunt direcționate de-a lungul axelor principale de inerție ale corpului, atunci momentele de inerție centrifuge sunt egale cu zero.
Dacă axele principale sunt trase prin centrul de masă al corpului, atunci ele se numesc axe principale centrale, iar tensorul se numește tensor central.
Axele principale pentru un corp nu sunt întotdeauna ușor de găsit. Dar uneori este suficient să folosiți considerații de simetrie. Deci, într-o minge relativ la orice punct, axele principale pot fi găsite astfel. Una dintre axele principale trece prin centrul mingii, celelalte două sunt orientate arbitrar într-un plan care este perpendicular pe prima axă.
Componentele momentului de inerție al unui corp solid față de axele sistemului de coordonate carteziene sunt definite astfel:
unde sunt coordonatele elementului de masă corporală (), care are volum .
Momentul de inerție al unui corp solid depinde de forma corpului și de distribuția masei în corp în raport cu axa de rotație.
Valori egale cu:
se numesc razele de inerție ale corpului față de axele corespunzătoare ale sistemului de coordonate.
teorema lui Steiner
În unele cazuri, calcularea momentului de inerție facilitează foarte mult cunoașterea teoremei lui Steiner (numită uneori teorema lui Huygens): Momentul de inerție al unui corp (J) față de o axă arbitrară este egal cu momentul de inerție față de axă. , care se trasează prin centrul de masă al corpului în cauză (), plus produsul masei corporale (m ) cu distanța dintre axe la pătrat, cu condiția ca axele să fie paralele:
Exemple de rezolvare a problemelor
EXEMPLUL 1
| Exercițiu | Determinați momentul de inerție al unui cilindru omogen (J) cu raza R și înălțimea H față de axa Z, care coincide cu propria sa axă. |
| Soluţie | Și astfel axa de rotație Z este îndreptată de-a lungul axei cilindrului, fie că originea sistemului de coordonate să fie la mijlocul înălțimii corpului luat în considerare (Fig. 1). Raportat la axa Z din sistemul de coordonate carteziene este egal cu: Deoarece densitatea cilindrului este constantă, scriem integrala (1.1) ca: unde S este aria secțiunii transversale a cilindrului. Cel mai convenabil este să calculăm integrala (1.2) într-un sistem de coordonate cilindric, a cărui axă este îndreptată de-a lungul axei Z. Apoi obținem: Folosind egalitățile (1.3), transformăm integrala (1.2) în forma: |
Momentul de inerție al unui corp (sistem) în raport cu o axă dată Oz (sau momentul axial de inerție) este o mărime scalară care este diferită de suma produselor maselor tuturor punctelor corpului (sistemului) prin pătrate ale distanțelor lor față de această axă:
Din definiție rezultă că momentul de inerție al unui corp (sau al unui sistem) față de orice axă este o mărime pozitivă și nu este egală cu zero.
În viitor, se va demonstra că momentul axial de inerție joacă același rol în timpul mișcării de rotație a unui corp ca și masa în timpul mișcării de translație, adică că momentul axial de inerție este o măsură a inerției unui corp în timpul rotației. mişcare.
Conform formulei (2), momentul de inerție al unui corp este egal cu suma momentelor de inerție ale tuturor părților sale față de aceeași axă. Pentru un punct material situat la o distanță h de axă, . Unitatea de măsură a momentului de inerție în SI va fi de 1 kg (în sistemul MKGSS -).
Pentru a calcula momentele axiale de inerție, distanțele punctelor față de axe pot fi exprimate prin coordonatele acestor puncte (de exemplu, pătratul distanței față de axa Ox va fi etc.).
Atunci momentele de inerție în jurul axelor vor fi determinate de formulele:
Adesea în timpul calculelor este utilizat conceptul de rază de rotație. Raza de inerție a unui corp față de o axă este o mărime liniară determinată de egalitate
unde M este masa corporală. Din definiție rezultă că raza de inerție este geometric egală cu distanța față de axa punctului în care masa întregului corp trebuie să fie concentrată, astfel încât momentul de inerție al acestui punct să fie egal cu momentul de inerție. a întregului corp.
Cunoscând raza de inerție, puteți folosi formula (4) pentru a afla momentul de inerție al corpului și invers.
Formulele (2) și (3) sunt valabile atât pentru un corp rigid, cât și pentru orice sistem de puncte materiale. În cazul unui corp solid, împărțindu-l în părți elementare, constatăm că în limită suma în egalitate (2) se va transforma într-o integrală. Ca urmare, ținând cont de faptul că unde este densitatea și V este volumul, obținem
Integrala se extinde aici pe întregul volum V al corpului, iar densitatea și distanța h depind de coordonatele punctelor corpului. În mod similar, formulele (3) pentru corpurile solide iau forma
Formulele (5) și (5) sunt convenabile de utilizat la calcularea momentelor de inerție ale corpurilor omogene de formă regulată. În acest caz, densitatea va fi constantă și va cădea în afara semnului integral.
Să găsim momentele de inerție ale unor corpuri omogene.
1. O tijă subţire omogenă de lungime l şi masă M. Să-i calculăm momentul de inerţie faţă de axa perpendiculară pe tijă şi care trece prin capătul ei A (Fig. 275). Să direcționăm axa de coordonate de-a lungul AB. Atunci pentru orice segment elementar de lungime d valoarea este , iar masa este , unde este masa unei unități de lungime a tijei. Ca rezultat, formula (5) dă
Înlocuind aici cu valoarea sa, găsim în sfârșit
2. Un inel rotund subțire omogen de rază R și masă M. Să-i găsim momentul de inerție față de axa perpendiculară pe planul inelului și care trece prin centrul său C (Fig. 276).
Deoarece toate punctele inelului sunt situate la o distanță de axă, formula (2) dă
Prin urmare, pentru inel
Evident, același rezultat se va obține pentru momentul de inerție al unei învelișuri cilindrice subțiri de masă M și rază R față de axa acesteia.
3. O placă rotundă omogenă sau cilindru cu raza R și masa M. Să calculăm momentul de inerție al plăcii rotunde față de axa perpendiculară pe placă și care trece prin centrul acesteia (vezi Fig. 276). Pentru a face acest lucru, selectăm un inel elementar cu rază și lățime (Fig. 277, a). Aria acestui inel este , iar masa este unde este masa pe unitatea de suprafață a plăcii. Apoi, conform formulei (7) pentru inelul elementar selectat va exista și pentru întreaga placă
