قوانین و فرمول های اساسی در مکانیک نظری. حل مثال ها سوالات امتحانی مکانیک نظری شعاع اینرسی جسم صلب نامیده می شود

مجموعه ای از نقاط یا اجسام مادی که موقعیت یا حرکت هر نقطه به موقعیت یا حرکت نقاط دیگر بستگی دارد، نامیده می شود. سیستم مکانیکی.

نیروهای خارجی نیروهایی هستند که بر روی قطعات (نقاط) یک سیستم از نقاط یا اجسامی که در سیستم گنجانده نشده اند، عمل می کنند. به عنوان مشخص شده است.

نیروهای داخلی نیروهایی هستند که بر روی نقاط یک سیستم از نقاط همان سیستم وارد می شوند. آنها به عنوان تعیین می شوند.

نیروهای بیرونی و درونی می توانند فعال یا واکنش های اتصالات باشند؛ تقسیم نیروها به بیرونی و درونی مشروط است و به وظیفه خاصی بستگی دارد.

ویژگی های نیروهای داخلی:

1. بردار اصلی تمام نیروهای داخلی سیستم برابر با صفر است.

2. ممان اصلی تمام نیروهای داخلی سیستم نسبت به هر مرکز یا محوری برابر با صفر است:

ویژگی اول بر اساس اصل پنجم استاتیک است، یعنی هر نیروی داخلی با نیروی درونی دیگری مطابقت دارد که از نظر بزرگی برابر با آن و جهت مخالف است.

خاصیت دوم از نظر ظاهری شبیه به شرایط تعادل است، اگرچه اینطور نیست، زیرا نیروهای داخلی به نقاط مختلف سیستم اعمال می شوند و می توانند باعث حرکات نسبی شوند.

حرکت یک سیستم به جرم کل و توزیع آن بستگی دارد. هر نقطه از یک سیستم با جرم را می توان با بردار شعاع آن مشخص کرد.

مرکز جرم سیستم نقطه C است که بردار شعاع آن با فرمول تعیین می شود:

که در آن، جرم سیستم برابر است با مجموع حسابی جرم تمام نقاط سیستم.

توزیع جرم ها را می توان با موقعیت مرکز ثقل قضاوت کرد. جایگزینی در فرمول مختصات مرکز ثقل (7.2.2). P = Mg، دریافت می کنیم

موقعیت مرکز جرم سیستم (یا مرکز اینرسی) در هر لحظه از زمان فقط به موقعیت و جرم هر نقطه از سیستم بستگی دارد.

مرکز جرم سیستم با مرکز ثقل آنها منطبق است. مفهوم مرکز ثقل برای اجسام صلب و مفهوم مرکز جرم برای هر سیستم نقطه یا اجسام قابل استفاده است.

از آنجایی که موقعیت مرکز جرم سیستم به طور کامل توزیع جرم ها را مشخص نمی کند، کمیت دیگری معرفی می شود - ممان اینرسی.

ممان اینرسی یک سیستم (جسم) نسبت به یک محور (محور اینرسی محوری) کمیتی اسکالر برابر با مجموع حاصلضرب جرم‌های تمام نقاط (اجرام) سیستم با مجذور فواصل آنها از این محور

بگذارید این محور اوز باشد. سپس

گشتاور محوری اندازه گیری اینرسی یک سیستم از نقاط (جسم) در طول حرکت چرخشی است، بعد: در سیستم SI از واحدها - .

در بیان مختصات، گشتاور محوری اینرسی J نسبت به محورها نوشته خواهد شد:

شعاع اینرسی یک جسم نسبت به محور (Oz) یک کمیت خطی است که توسط وابستگی تعیین می شود.

جایی که M جرم جسم است، فاصله محور Oz تا نقطه ای است که در آن لازم است کل جرم M جسم متمرکز شود به طوری که ممان اینرسی این نقطه نسبت به این محور برابر باشد. لحظه اینرسی بدن

ممان اینرسی در مورد محورها (15.3.1) به انتخاب این محورها بستگی دارد و در مورد این محورها متفاوت است.

هویگنس نشان داد که با دانستن گشتاور اینرسی در مورد هر یک از محورها، می توانید آن را نسبت به هر محور دیگر موازی با آن بیابید (شکل 75). )

اجازه دهید محورهای Cx"y"z" را از مرکز جرم C بدن و از نقطه O - xyz به موازات یکدیگر بکشیم.

اجازه دهید فاصله سیستم عامل را با d نشان دهیم. سپس:

در سمت راست معادله (15.3.6)، جمع اول رابطه (15.3.5) است. جمع دوم جرم جسم M است. از آنجایی که نقطه C مرکز جرم است، از رابطه (15.2.2) به دست می آید.

اما نقطه C نیز مبدأ مختصات است، که در آن = 0، یعنی مجموع سوم صفر است. بنابراین

این بیانی تحلیلی از قضیه هویگنس است: گشتاور اینرسی یک جسم حول محور معین برابر است با ممان اینرسی حول محوری موازی با آن که از مرکز جرم جسم می گذرد و با حاصلضرب تا شده است. جرم کل بدن و مربع فاصله بین محورها.

در مکانیک، جسم صلب به عنوان سیستمی از نقاط مادی شناخته می شود که فاصله بین هر دو نقطه آن در طول حرکت بدون تغییر باقی می ماند. بنابراین، تمام نتایج به دست آمده در مباحث قبلی ("دینامیک نقطه مادی"، "قانون بقای حرکت"، "قانون بقای انرژی" و "قانون بقای حرکت زاویه ای") برای سیستمی از نقاط مادی برای بدنه جامد نیز قابل استفاده هستند.

لحظه اینرسی جسم صلب

ممان اینرسی کمیتی است که به توزیع جرم ها در یک جسم بستگی دارد و همراه با جرم، معیاری از اینرسی جسم در حین حرکت غیر انتقالی است. هنگامی که یک جسم صلب حول یک محور ثابت می چرخد، ممان اینرسی بدن نسبت به این محور توسط عبارت تعیین می شود.

جایی که - توده های ابتدایی بدن؛ - فاصله آنها از محور چرخش.

ممان اینرسی یک جسم نسبت به هر محوری را می توان با محاسبه پیدا کرد. اگر ماده در بدن به طور پیوسته توزیع شود، محاسبه ممان اینرسی به محاسبه انتگرال کاهش می یابد.

, (1)

جایی که
- جرم یک عنصر بدن که در یک فاصله قرار دارد از محور مورد علاقه ما. ادغام باید در کل حجم بدن انجام شود.

محاسبه تحلیلی چنین انتگرال هایی فقط در ساده ترین موارد اجسام با شکل هندسی منظم امکان پذیر است.

اگر ممان اینرسی جسمی حول هر محوری مشخص باشد، می توانید ممان اینرسی را در مورد هر محور دیگری موازی با این محور بیابید. با استفاده از قضیه اشتاینر که بر اساس آن ممان اینرسی یک جسم نسبت به یک محور دلخواه برابر است با مجموع ممان اینرسی جسم نسبت به محوری که از مرکز جرم جسم می گذرد. و موازی با یک محور معین، و حاصل ضرب جرم بدن تیدر هر مربع از فاصله بین محورها :

(2)

محاسبه ممان اینرسی یک جسم نسبت به یک محور را اغلب می توان با محاسبه اول ساده کرد. لحظه اینرسی در مورد یک نقطه. ممان اینرسی یک جسم نسبت به یک نقطه خود هیچ نقشی در دینامیک ندارد. این یک مفهوم کاملا کمکی است که محاسبات را ساده می کند.

اجازه دهید نقطه ای از یک جسم صلب با جرم را در نظر بگیریم و با مختصات
نسبت به سیستم مختصات مستطیلی (شکل 1). مربع فواصل آن تا محورهای مختصات
به ترتیب برابر هستند


و گشتاورهای اینرسی حول همان محورها

(3)

با اضافه کردن این برابری ها و جمع کردن کل حجم بدن

(5)

جایی که
- لحظه اینرسی بدن نسبت به نقطه

از این عبارت می توانیم رابطه بین گشتاورهای اینرسی یک جسم صاف نسبت به محورها را بدست آوریم
. بگذارید جرم یک جسم صاف در صفحه متمرکز شود
آن ها هماهنگ كردن هر نقطه از چنین جسمی برابر با صفر است، سپس از

معادلات (3) و (4) نتیجه می شود که

(6)

چرخش یک جسم صلب حول یک محور ثابت

جسم جامدی از جرم را در نظر بگیرید ، چرخش حول یک محور ثابت با سرعت زاویه ای . برای به دست آوردن معادله ای که این حرکت را توصیف می کند، معادله گشتاورهای حول محور به دست آمده در بخش "قانون بقای تکانه زاویه ای" را اعمال می کنیم.

, (7)

به یاد بیاورید که در این معادله و
- تکانه زاویه ای و گشتاور نیرو حول محوری که جسم صلب به دور آن می چرخد.

تکانه زاویه ای یک نقطه معین از یک جسم جرم
چرخش در یک دایره شعاع با سرعت ، برابر است

جمع کل حجم بدن با در نظر گرفتن آن
ما گرفتیم

بنابراین، تکانه زاویه ای جسم صلبی که حول یک محور ثابت می چرخد ​​برابر است با حاصل ضرب ممان اینرسی جسم نسبت به این محور و سرعت زاویه ای آن.

با جایگزینی عبارت حاصل به (7)، معادله دینامیک یک جسم صلب که حول یک محور ثابت می چرخد، به دست می آوریم.

یا
(8)

جایی که - شتاب زاویه ای بدن.

بیایید انرژی جنبشی یک جسم در حال چرخش را پیدا کنیم. برای انجام این کار، انرژی جنبشی تک تک اجزای آن را در کل حجم بدن جمع می کنیم.

(9)

با دانستن وابستگی لحظه نیروهای وارد بر جسم به زاویه چرخش، می توان کار این نیروها را زمانی که جسم از یک زاویه محدود می چرخد، پیدا کرد.

.

بگذار یک بدن جامد وجود داشته باشد. بیایید یک خط مستقیم OO را انتخاب کنیم (شکل 6.1)، که آن را محور می نامیم (خط مستقیم OO می تواند خارج از بدنه باشد). اجازه دهید بدن را به بخش های ابتدایی (نقاط مادی) با جرم تقسیم کنیم
در فاصله ای از محور واقع شده است
به ترتیب.

ممان اینرسی یک نقطه مادی نسبت به یک محور (OO) حاصل ضرب جرم یک نقطه مادی بر مجذور فاصله آن تا این محور است:

. (6.1)

ممان اینرسی (MI) یک جسم نسبت به یک محور (OO) مجموع حاصلضرب جرم بخش‌های ابتدایی بدن به مجذور فاصله آنها تا محور است:

. (6.2)

همانطور که می بینید، ممان اینرسی یک جسم یک کمیت افزایشی است - ممان اینرسی کل بدن نسبت به یک محور خاص برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی اجزای جداگانه آن نسبت به همان محور.

در این مورد

.

ممان اینرسی بر حسب kgm 2 اندازه گیری می شود. زیرا

, (6.3)

کجا  - چگالی ماده،
- جلد من- بخش هفتم، سپس

,

یا حرکت به سمت عناصر بی نهایت کوچک،

. (6.4)

فرمول (6.4) برای محاسبه MI اجسام همگن با شکل منظم نسبت به محور تقارن که از مرکز جرم بدن می گذرد مناسب است. به عنوان مثال، برای MI یک استوانه نسبت به محوری که از مرکز جرم موازی با ژنراتیکس می گذرد، این فرمول به دست می دهد.

,

جایی که تی- وزن؛ آر- شعاع سیلندر

قضیه اشتاینر کمک زیادی به محاسبه MI اجسام نسبت به محورهای معین می کند: MI اجسام. مننسبت به هر محوری برابر است با مجموع MI این جسم من جنسبت به محوری که از مرکز جرم بدن و موازی با محور داده شده می گذرد و حاصل ضرب جرم بدن بر مجذور فاصله دبین محورهای مشخص شده:

. (6.5)

لحظه نیروی حول محور

بگذارید نیرو روی بدن وارد شود اف. اجازه دهید برای سادگی فرض کنیم که نیرو افدر صفحه ای عمود بر یک خط مستقیم OO قرار دارد (شکل 6.2، آ) که آن را محور می نامیم (مثلاً این محور چرخش جسم است). در شکل 6.2، آ آ- نقطه اعمال نیرو اف,
- نقطه تقاطع محور با صفحه ای که نیرو در آن قرار دارد. r- بردار شعاع تعیین کننده موقعیت نقطه آنسبت به نقطه در باره"; O"ب = ب - شانه قدرت بازوی نیرو نسبت به محور، کوچکترین فاصله از محور تا خط مستقیمی است که بردار نیرو روی آن قرار دارد. اف(طول عمود رسم شده از نقطه به این خط).

گشتاور نیرو نسبت به محور یک کمیت برداری است که با تساوی تعریف می شود

. (6.6)

مدول این بردار است. بنابراین گاهی اوقات می گویند که گشتاور نیرو حول محور حاصل ضرب نیرو و بازوی آن است.

اگر قدرت افبه طور دلخواه هدایت می شود، سپس می توان آن را به دو جزء تجزیه کرد. و (شکل 6.2، ب) ، یعنی
+، جایی که - کامپوننت به موازات محور OO و در صفحه ای عمود بر محور قرار دارد. در این حالت تحت لحظه نیرو افنسبت به محور OO بردار را درک کنید

. (6.7)

مطابق با عبارات (6.6) و (6.7)، بردار مدر امتداد محور هدایت شده است (شکل 6.2 را ببینید، آ,ب).

تکانه جسم نسبت به محور چرخش

پ اجازه دهید بدن حول یک محور معین OO با سرعت زاویه ای بچرخد
. بیایید این بدن را از نظر ذهنی به بخش های ابتدایی با توده ها تقسیم کنیم
، که به ترتیب از محور در فواصل قرار دارند
و به صورت دایره ای بچرخید و دارای سرعت خطی است
معلوم است که مقدار برابر است
- یک انگیزه وجود دارد من-طرح. لحظه تکانه من- برش (نقطه ماده) نسبت به محور چرخش را بردار (به طور دقیق تر شبه بردار) می گویند.

, (6.8)

جایی که r من- بردار شعاع تعیین کننده موقعیت من- مساحت نسبت به محور.

تکانه زاویه ای کل بدن نسبت به محور چرخش بردار نامیده می شود

(6.9)

که ماژول
.

مطابق با عبارات (6.8) و (6.9)، بردارها
و هدایت شده در امتداد محور چرخش (شکل 6.3). نشان دادن تکانه زاویه ای یک جسم آسان است Lنسبت به محور چرخش و ممان اینرسی مناین جسم نسبت به همان محور با رابطه مرتبط هستند

. (6.10)

تعریف

کمیت فیزیکی که اندازه گیری اینرسی جسمی است که حول یک محور می چرخد ​​نامیده می شود ممان اینرسی بدن (J).

این یک کمیت اسکالر (به طور کلی تانسوری) است.

انبوه نقاط مادی که بدن به آنها تقسیم می شود کجاست. با مربع فواصل نقطه ماده تا محور چرخش.

برای یک جسم همگن پیوسته که حول یک محور می چرخد، ممان اینرسی اغلب به صورت زیر تعریف می شود:

جایی که r تابعی از موقعیت یک نقطه مادی در فضا است. - تراکم بدن؛ - حجم یک عنصر بدنه

تانسور اینرسی

مجموعه مقادیر:

تانسور اینرسی نامیده می شود. عناصر تانسور مورب: . تانسور اینرسی متقارن است.

بگذارید همه عناصر غیر قطری تانسور برابر با صفر باشند، فقط اجزای قطری برابر با صفر نیستند. سپس تانسور را به صورت زیر می نویسیم:

در این حالت محورهای بدنه با محورهای مختصات منطبق بوده و محورهای اصلی اینرسی هستند. مقادیر:

ممان های اصلی اینرسی نامیده می شوند. تانسور در شکل (4) به صورت مورب نشان داده شده است. ممان های اینرسی که در خارج از قطر اصلی ماتریس (3) قرار دارند، گریز از مرکز نامیده می شوند. اگر محورهای سیستم مختصات در امتداد محورهای اصلی اینرسی بدنه هدایت شوند، گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی برابر با صفر هستند.

اگر محورهای اصلی از مرکز جرم جسم کشیده شوند، آنها را محورهای اصلی مرکزی و تانسور را تانسور مرکزی می نامند.

یافتن محورهای اصلی برای یک بدن همیشه آسان نیست. اما گاهی اوقات استفاده از ملاحظات تقارن کافی است. بنابراین، در یک توپ نسبت به هر نقطه، محورهای اصلی را می توان مانند این یافت. یکی از محورهای اصلی از مرکز توپ عبور می کند، دو محور دیگر به طور دلخواه در صفحه ای عمود بر محور اول جهت گیری می کنند.

اجزای ممان اینرسی یک جسم جامد نسبت به محورهای دستگاه مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می شوند:

مختصات عنصر جرم بدن () که دارای حجم است کجاست.

ممان اینرسی جسم جامد به شکل جسم و توزیع جرم در بدن نسبت به محور چرخش بستگی دارد.

مقادیر برابر با:

شعاع اینرسی بدن نسبت به محورهای مربوط به دستگاه مختصات نامیده می شوند.

قضیه اشتاینر

در برخی موارد، محاسبه ممان اینرسی شناخت قضیه اشتاینر را بسیار تسهیل می کند (که گاهی قضیه هویگنس نیز نامیده می شود): ممان اینرسی جسم (J) نسبت به یک محور دلخواه برابر است با ممان اینرسی نسبت به محور. که از مرکز جرم جسم مورد نظر () به اضافه حاصل ضرب جرم بدن (m ) با فاصله بین دو محور کشیده می شود، مشروط بر اینکه محورها موازی باشند:

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1

ورزش

ممان اینرسی یک استوانه همگن (J) به شعاع R و ارتفاع H نسبت به محور Z که با محور خودش منطبق است را تعیین کنید.

راه حل

بنابراین، محور چرخش Z در امتداد محور استوانه هدایت می شود، اجازه دهید مبدا سیستم مختصات در وسط ارتفاع بدنه مورد نظر باشد (شکل 1). نسبت به محور Z در سیستم مختصات دکارتی برابر است با: از آنجایی که چگالی سیلندر ثابت است، انتگرال (1.1) را به صورت زیر می نویسیم: که در آن S سطح مقطع سیلندر است. محاسبه انتگرال (1.2) در یک سیستم مختصات استوانه ای که محور آن در امتداد محور Z است راحت تر است. سپس به دست می آوریم: با استفاده از برابری های (1.3)، انتگرال (1.2) را به شکل زیر تبدیل می کنیم:

گشتاور اینرسی یک جسم (سیستم) نسبت به یک محور معین Oz (یا گشتاور محوری اینرسی) یک کمیت اسکالر است که با مجموع حاصلضرب جرم های تمام نقاط بدن (سیستم) متفاوت است. مجذور فاصله آنها از این محور:

از تعریف چنین برمی‌آید که ممان اینرسی جسم (یا سیستم) نسبت به هر محوری یک کمیت مثبت است و برابر با صفر نیست.

در آینده نشان داده خواهد شد که گشتاور محوری اینرسی در حین حرکت چرخشی یک جسم همان نقشی را ایفا می کند که جرم در حین حرکت انتقالی ایفا می کند، یعنی ممان محوری اینرسی معیاری از اینرسی جسم در حین چرخش است. حرکت - جنبش.

طبق فرمول (2) ممان اینرسی یک جسم برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی تمام اجزای آن نسبت به یک محور. برای یک نقطه مادی که در فاصله h از محور قرار دارد، . واحد اندازه گیری ممان اینرسی در SI 1 کیلوگرم خواهد بود (در سیستم MKGSS - ).

برای محاسبه گشتاورهای محوری اینرسی، فواصل نقاط از محورها را می توان از طریق مختصات این نقاط بیان کرد (مثلاً مجذور فاصله از محور Ox خواهد بود و غیره).

سپس ممان اینرسی در مورد محورها با فرمول تعیین می شود:

اغلب در طول محاسبات از مفهوم شعاع چرخش استفاده می شود. شعاع اینرسی یک جسم نسبت به یک محور یک کمیت خطی است که توسط برابری تعیین می شود.

که در آن M توده بدن است. از تعریف به دست می آید که شعاع اینرسی از نظر هندسی برابر است با فاصله از محور نقطه ای که جرم کل بدن باید در آن متمرکز شود به طوری که ممان اینرسی این یک نقطه برابر با ممان اینرسی باشد. از کل بدن

با دانستن شعاع اینرسی می توانید از فرمول (4) برای یافتن ممان اینرسی جسم و بالعکس استفاده کنید.

فرمول (2) و (3) هم برای یک جسم صلب و هم برای هر سیستمی از نقاط مادی معتبر است. در مورد جسم جامد، با شکستن آن به اجزای ابتدایی، متوجه می شویم که در حد، مجموع برابری (2) به یک انتگرال تبدیل می شود. در نتیجه با در نظر گرفتن اینکه در کجا چگالی و V حجم است، به دست می آوریم

انتگرال در اینجا به کل حجم V بدن امتداد می یابد و چگالی و فاصله h به مختصات نقاط بدن بستگی دارد. به طور مشابه، فرمول (3) برای اجسام جامد شکل می گیرد

فرمول های (5) و (5) هنگام محاسبه ممان اینرسی اجسام همگن با شکل منظم مناسب هستند. در این حالت چگالی ثابت خواهد بود و خارج از علامت انتگرال قرار می گیرد.

اجازه دهید گشتاورهای اینرسی برخی اجسام همگن را پیدا کنیم.

1. یک میله نازک همگن به طول l و جرم M. اجازه دهید گشتاور اینرسی آن را نسبت به محور عمود بر میله و عبور از انتهای آن A محاسبه کنیم (شکل 275). اجازه دهید محور مختصات را در امتداد AB هدایت کنیم سپس برای هر قطعه ابتدایی به طول d مقدار برابر است و جرم برابر است با جرم یک واحد طول میله. در نتیجه فرمول (5) به دست می آید

با جایگزینی اینجا با ارزش آن، در نهایت پیدا می کنیم

2. یک حلقه نازک همگن گرد با شعاع R و جرم M. اجازه دهید گشتاور اینرسی آن را نسبت به محور عمود بر صفحه حلقه و عبور از مرکز آن C پیدا کنیم (شکل 276).

از آنجایی که تمام نقاط حلقه در فاصله ای از محور قرار دارند، فرمول (2) به دست می آید

بنابراین، برای حلقه

بدیهی است که همین نتیجه برای ممان اینرسی یک پوسته استوانه ای نازک به جرم M و شعاع R نسبت به محور آن به دست خواهد آمد.

3. یک صفحه یا استوانه گرد همگن با شعاع R و جرم M. اجازه دهید گشتاور اینرسی صفحه گرد را نسبت به محور عمود بر صفحه و عبور از مرکز آن محاسبه کنیم (شکل 276 را ببینید). برای انجام این کار، یک حلقه ابتدایی با شعاع و عرض را انتخاب می کنیم (شکل 277، a). مساحت این حلقه برابر است و جرم جایی است که جرم در واحد سطح صفحه است. سپس طبق فرمول (7) برای حلقه ابتدایی انتخاب شده و برای کل صفحه وجود خواهد داشت