Които са ви били познати в една или друга степен. Там също беше отбелязано, че запасът от функционални свойства ще бъде постепенно попълван. В този раздел ще бъдат обсъдени две нови свойства.
Определение 1.
Функцията y = f(x), x є X, се извиква дори ако за всяка стойност x от множеството X е изпълнено равенството f (-x) = f (x).
Определение 2.
Функцията y = f(x), x є X, се нарича нечетна, ако за всяка стойност x от множеството X е изпълнено равенството f (-x) = -f (x).
Докажете, че y = x 4 е четна функция.
Решение. Имаме: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Но (-x) 4 = x 4. Това означава, че за всяко x е в сила равенството f(-x) = f(x), т.е. функцията е четна.
По същия начин може да се докаже, че функциите y - x 2, y = x 6, y - x 8 са четни.
Докажете, че y = x 3 ~ нечетна функция.
Решение. Имаме: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Но (-x) 3 = -x 3. Това означава, че за всяко x е в сила равенството f (-x) = -f (x), т.е. функцията е странна.
По същия начин може да се докаже, че функциите y = x, y = x 5, y = x 7 са нечетни.
Ние с вас вече сме се убеждавали неведнъж, че новите термини в математиката най-често имат „земен” произход, т.е. могат да се обяснят по някакъв начин. Такъв е случаят както с четните, така и с нечетните функции. Вижте: y - x 3, y = x 5, y = x 7 са нечетни функции, докато y = x 2, y = x 4, y = x 6 са четни функции. И като цяло, за всяка функция от формата y = x" (по-долу ще проучим специално тези функции), където n е естествено число, можем да заключим: ако n е нечетно число, тогава функцията y = x" е странно; ако n е четно число, тогава функцията y = xn е четно.
Има и функции, които не са нито четни, нито нечетни. Такава например е функцията y = 2x + 3. Действително, f(1) = 5 и f (-1) = 1. Както можете да видите, тук следователно нито идентичността f(-x) = f ( x), нито идентичността f(-x) = -f(x).
И така, една функция може да бъде четна, нечетна или нито една от двете.
Изследването дали дадена функция е четна или нечетна обикновено се нарича изследване на паритета.
Дефиниции 1 и 2 се отнасят до стойностите на функцията в точки x и -x. Това предполага, че функцията е дефинирана както в точка x, така и в точка -x. Това означава, че точка -x принадлежи към областта на дефиниране на функцията едновременно с точка x. Ако числово множество X, заедно с всеки от своите елементи x, съдържа и противоположния елемент -x, тогава X се нарича симетрично множество. Да кажем, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) са симетрични множества, докато \) .
Тъй като \(x^2\geqslant 0\) , тогава лявата страна на уравнението (*) е по-голяма или равна на \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Следователно равенството (*) може да бъде вярно само когато и двете страни на уравнението са равни на \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Това означава, че \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Следователно стойността \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ни подхожда.
Отговор:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Задача 2 #3923
Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит
Намерете всички стойности на параметъра \(a\), за всяка от които графиката на функцията \
симетрични относно произхода.
Ако графиката на функция е симетрична по отношение на началото, тогава такава функция е нечетна, т.е. \(f(-x)=-f(x)\) е в сила за всяко \(x\) от домейна на дефиницията на функцията. Следователно е необходимо да се намерят онези стойности на параметрите, за които \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]
Последното уравнение трябва да бъде изпълнено за всички \(x\) от областта на дефиниция \(f(x)\) , следователно \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .
Отговор:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Задача 3 #3069
Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит
Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които уравнението \ има 4 решения, където \(f\) е четна периодична функция с период \(T=\dfrac(16)3\) дефинирана върху цялата числова ос и \(f(x)=ax^2\) за \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Задача от абонати)
Тъй като \(f(x)\) е четна функция, нейната графика е симетрична по отношение на ординатната ос, следователно за \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\). Така за \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) и това е сегмент с дължина \(\dfrac(16)3\), функцията е \(f(x)=ax^2\ ) .
1) Нека \(a>0\) . Тогава графиката на функцията \(f(x)\) ще изглежда така: 
Тогава, за да има уравнението 4 решения, е необходимо графиката \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) да минава през точката \(A\) : 
Следователно \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\end(aligned)\end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( събрано)\right.\] Тъй като \(a>0\) , тогава \(a=\dfrac(18)(23)\) е подходящо.
2) Нека \(a0\) ). Ако произведението на два корена е положително и тяхната сума е положителна, тогава самите корени ще бъдат положителни. Следователно ви трябва: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a 0 on (x_(1); x_(2) ) ) \чаша (x_(3); +\infty)
Интервали, където функцията е отрицателна, т.е. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})
Функция y=f(x), x \in X обикновено се нарича ограничена отдолу, когато има число A, за което неравенството f(x) \geq A е валидно за всяко x \in X .
Пример за функция, ограничена отдолу: y=\sqrt(1+x^(2)), тъй като y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 за всяко x .
Функция y=f(x), x \in X се нарича ограничена отгоре, ако има число B, за което неравенството f(x) \neq B е в сила за всяко x \in X .
Пример за функция, ограничена отдолу: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] тъй като y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 за всяко x \ в [-1;1] .
Функция y=f(x), x \in X обикновено се нарича ограничена, когато има число K > 0, за което неравенството \left | f(x)\надясно | \neq K за всяко x \in X .
Пример за ограничена функция: y=\sin x е ограничена на цялата числова ос, тъй като \left | \sin x \right | \neq 1 .
Нарастваща и намаляваща функцияОбичайно е да се говори за функция, която нараства през разглеждания интервал, като нарастваща функция, когато по-голяма стойност на x съответства на по-голяма стойност на функцията y=f(x) . От това следва, че като се вземат две произволни стойности на аргумента x_(1) и x_(2) от разглеждания интервал, с x_(1) > x_(2) , резултатът ще бъде y(x_(1)) > y(x_(2)).
Функция, която намалява в разглеждания интервал, се нарича намаляваща функция, когато по-голяма стойност на x съответства на по-малка стойност на функцията y(x). От това следва, че като се вземат от разглеждания интервал две произволни стойности на аргумента x_(1) и x_(2) , и x_(1) > x_(2) , резултатът ще бъде y(x_(1))< y(x_{2}) .
Корени на функция обикновено се наричат точките, в които функцията F=y(x) пресича абсцисната ос (те се получават чрез решаване на уравнението y(x)=0).
а) Ако при x > 0 четна функция нараства, то тя намалява при x< 0
б) Когато четна функция намалява при x > 0, тогава тя нараства при x< 0
.png)
в) Когато нечетна функция нараства при x > 0, тогава тя също нараства при x< 0
г) Когато нечетна функция намалява за x > 0, тогава тя също ще намалява за x< 0
.png)
Минималната точка на функцията y=f(x) обикновено се нарича точка x=x_(0), чийто околност ще има други точки (с изключение на точката x=x_(0)), а за тях тогава неравенството f( x ) > f(x_(0)) . y_(min) - обозначение на функцията в точката min.
Максималната точка на функцията y=f(x) обикновено се нарича точка x=x_(0), чийто околност ще има други точки (с изключение на точката x=x_(0)), а за тях тогава неравенството f( х )< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
ПредпоставкаСъгласно теоремата на Ферма: f"(x)=0, когато функцията f(x), която е диференцируема в точката x_(0), ще има екстремум в тази точка.
Достатъчно условиеСтъпки на изчисление:
През юли 2020 г. НАСА стартира експедиция до Марс. Корабът ще достави на Марс електронен носител с имената на всички регистрирани участници в експедицията.
Регистрацията на участниците е отворена. Вземете своя билет до Марс, като използвате тази връзка.
Ако тази публикация е решила проблема ви или просто ви е харесала, споделете линка към нея с приятелите си в социалните мрежи.
Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.
Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте в него първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.
Поредната новогодишна нощ... мразовито време и снежинки по стъклото на прозореца... Всичко това ме накара отново да пиша за... фракталите и какво знае Wolfram Alpha за тях. Има интересна статия по този въпрос, която съдържа примери за двумерни фрактални структури. Тук ще разгледаме по-сложни примери за триизмерни фрактали.
Фракталът може да бъде визуално представен (описан) като геометрична фигура или тяло (което означава, че и двете са набор, в този случай набор от точки), чиито детайли имат същата форма като самата оригинална фигура. Тоест това е самоподобна структура, разглеждайки детайлите на която при увеличение ще видим същата форма като без увеличение. Докато в случай на обикновена геометрична фигура (не фрактал), при увеличение ще видим детайли, които имат по-проста форма от самата оригинална фигура. Например при достатъчно голямо увеличение част от елипса изглежда като сегмент от права линия. Това не се случва с фракталите: с всяко увеличение в тях, ние отново ще видим същата сложна форма, която ще се повтаря отново и отново с всяко увеличение.
Беноа Манделброт, основателят на науката за фракталите, пише в своята статия „Фрактали и изкуство в името на науката“: „Фракталите са геометрични фигури, които са толкова сложни в своите детайли, колкото и в цялостната си форма. Тоест, ако част от фрактала ще се увеличи до размера на цялото, ще изглежда като цяло, или точно, или може би с лека деформация."
