Сукупність матеріальних точок чи тіл, коли становище чи рух кожної точки залежить від становища чи руху інших, називається механічною системою.
Зовнішніми називаються сили, що діють на частини (точки) системи з боку точок або тіл, що не входять до системи. Позначаються як .
Внутрішніми називаються сили, що діють на точки системи з боку точок цієї системи. Позначаються вони як .
Зовнішні та внутрішні сили можуть бути активними або реакціями зв'язків, поділ сил на зовнішні та внутрішні умовно та залежить від конкретного завдання.
Властивості внутрішніх сил:
1. Головний вектор усіх внутрішніх сил системи дорівнює нулю.
2. Головний момент усіх внутрішніх сил системи щодо будь-якого центру чи осі дорівнює нулю:
Перша властивість заснована на п'ятій аксіомі статики, тобто кожній внутрішній силі відповідає інша внутрішня сила, рівна їй за величиною і спрямована протилежно.
Друга властивість зовні схожа на умови рівноваги, хоча такою не є, тому що внутрішні сили додаються до різних точок системи і можуть викликати відносні переміщення.
Рух системи залежить від її сумарної маси та її розподілу. Кожна точка системи з масою може бути охарактеризована своїм радіусом-вектором.
Центром мас системи називається точка С радіус-вектор якої визначається за формулою:
де , Маса системи дорівнює арифметичній сумі мас усіх точок системи.
Про розподіл мас можна судити з положенню центру тяжкості. Підставляючи формули координат центру тяжкості (7.2.2) ; Р = Мg, отримуємо
Положення центру мас системи (або центру інерції) у кожний момент часу залежить лише від положення та маси кожної точки системи.
Центр мас системи збігається зі своїми центром тяжкості. Поняття центр тяжкості застосовується до твердих тіл, а поняття центр мас - до будь-яких систем точок або тіл.
Оскільки положення центру мас системи характеризує розподіл мас в повному обсязі, то вводять ще одну величину - момент інерції .
Моментом інерції системи (тіла) щодо осі (осьовим моментом інерції) називається скалярна величина, що дорівнює сумі творів мас усіх точок (тіл) системи на квадрати відстаней від цієї осі.
Нехай це буде вісь Oz. Тоді
Осьовий момент є мірою інертності системи точок (тіл) при обертальному русі, розмірність: у системі одиниць СІ - .
У виразі через координати осьовий момент інерції J щодо осей запишеться:
Радіусом інерції тіла щодо осі (Oz), називається лінійна величина, яка визначається залежністю
де М - маса тіла, - відстань від осі Oz до точки, в якій потрібно зосередити всю масу М тіла, щоб момент інерції цієї точки щодо цієї осі дорівнював моменту інерції тіла.
Моменти інерції щодо осей (15.3.1) залежать від вибору цих осей і щодо цих осей різні.
Гюйгенс показав, що, знаючи момент інерції щодо якоїсь однієї осі, можна знайти його щодо будь-якої іншої осі, їй паралельної (рис. 75). 
)
Проведемо через центр мас тіла осі Cx"y"z", а через точку О - xyz паралельні між собою.
Позначимо відстань ОС через d. Тоді:
У правій частині рівняння (15.3.6) перша сума є співвідношенням (15.3.5). друга сума - це маса тіла М. Оскільки точка є центром мас, то з рівняння (15.2.2) отримуємо
але точка одночасно є і початком координат, де = 0, тобто третя сума дорівнює нулю. Отже
Це аналітичний вираз теореми Гюйгенса: Момент інерції тіла щодо цієї осі дорівнює моменту інерції щодо осі їй паралельної, що проходить через центр мас тіла складеному з добутком маси всього тіла на квадрат відстані між осями.
У механіці під твердим тілом розуміють систему матеріальних точок, відстань між будь-якими двома точками якого у процесі руху залишається незмінною. Тому всі результати, отримані в попередніх темах (“Динаміка матеріальної точки”, “Закон збереження імпульсу”, “Закон збереження енергії” та “Закон збереження моменту імпульсу”) для системи матеріальних точок, застосовні і до твердого тіла.
Момент інерції твердого тіла
Момент інерції - це величина, яка залежить від розподілу мас в тілі і є, поряд з масою, мірою інертності тіла при непоступальному русі. При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі момент інерції тіла щодо цієї осі визначається виразом
де 
- Елементарні маси тіла; 
- їх відстані від осі обертання.
Момент інерції тіла щодо будь-якої осі можна знайти обчисленням. Якщо речовина в тілі розподілена безперервно, то обчислення моменту інерції зводиться до обчислення інтегралу
,
(1)
де 
- Маса елемента тіла, що знаходиться на відстані 
від осі, що цікавить нас. Інтегрування повинно проводитись по всьому об'єму тіла.
Аналітичне обчислення таких інтегралів можливе лише у найпростіших випадках тіл правильної геометричної форми.
Якщо відомий момент інерції тіла щодо будь-якої осі, можна знайти момент інерції щодо будь-якої іншої осі, паралельної даної. Використовуючи теорему Штейнера, згідно з якою момент інерції тіла 
щодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерції тіла щодо осі, що проходить через центр мас тіла 
і паралельної даної осі, і добутку маси тіла тна квадрат відстані між осями 
:
(2)
Обчислення моменту інерції тіла щодо осі часто можна спростити, попередньо обчисливши момент інерції щодо точки. Сам собою момент інерції тіла щодо точки не відіграє жодної ролі в динаміці. Він є суто допоміжним поняттям, що служить спрощення обчислень.
Розглянемо деяку точку твердого тіла масою 
та з координатами 
щодо прямокутної системи координат (рис. 1). Квадрати відстаней до координатних осей 
рівні відповідно 
а моменти інерції щодо тих самих осей
(3)
Склавши ці рівності та підсумувавши по всьому об'єму тіла
(5)
де 
– момент інерції тіла щодо точки.
З цього виразу можна отримати зв'язок між моментами інерції плоского тіла щодо осей 
. Нехай маса плоского тіла зосереджена у площині 
тобто. координата 
будь-якої точки такого тіла дорівнює нулю, тоді з
рівнянь (3) і (4) випливає, що
(6)
Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі
Розглянемо тверде тіло масою 
, що обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю 
. Щоб отримати рівняння, описує цей рух, застосуємо рівняння моментів щодо осі, отримане розділ “ Закон збереження моменту імпульсу”
,
(7)
нагадаємо, що в цьому рівнянні 
і 
– момент імпульсу та момент сили щодо осі, навколо якої обертається тверде тіло.
Момент імпульсу деякої точки тіла масою 
радіуса, що обертається по колу 
зі швидкістю 
, дорівнює
Підсумувавши по всьому об'єму тіла, враховуючи, що 
отримаємо
Таким чином, момент імпульсу твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку моменту інерції тіла щодо цієї осі на його кутову швидкість.
Підставляючи отриманий вираз (7), отримаємо рівняння динаміки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі,
або 
(8)
де 
- Кутове прискорення тіла.
Знайдемо кінетичну енергію тіла, що обертається. Для цього підсумуємо по всьому об'єму тіла кінетичні енергії окремих його частин
(9)
Знаючи залежність моменту сил, які діють тіло, від кута повороту, можна знайти роботу цих сил при повороті тіла на кінцевий кут 
.
Нехай є тверде тіло. Виберемо деяку пряму ГО (рис.6.1), яку називатимемо віссю (пряма OO може бути і поза тілом). Розіб'ємо тіло на елементарні ділянки (матеріальні точки) масами 
, що знаходяться від осі на відстані 
відповідно.
Моментом інерції матеріальної точки щодо осі (OO) називається добуток маси матеріальної точки на квадрат її відстані до цієї осі:
. (6.1)
Моментом інерції (МІ) тіла щодо осі (OO) називається сума добутків мас елементарних ділянок тіла на квадрат їх відстані до осі:
. (6.2)
Як бачимо момент інерції тіла є величина адитивна – момент інерції всього тіла щодо деякої осі дорівнює сумі моментів інерції окремих його частин щодо тієї ж осі.
В даному випадку
.
Вимірюється момент інерції в кг м 2 . Так як
, (6.3)
де
- Щільність речовини, 
- Об `єм i- го ділянки, то
,
або, переходячи до нескінченно малих елементів,
. (6.4)
Формулу (6.4) зручно використовувати для обчислення однорідних МІТ тіл правильної форми щодо осі симетрії, що проходить через центр мас тіла. Наприклад, для МІ циліндра щодо осі, що проходить через центр мас, що паралельно утворює, ця формула дає
,
де т- Маса; R- Радіус циліндра.
Велику допомогу при обчисленні МІ тіл щодо деяких осей надає теорема Штейнера: МІ тіла Iщодо будь-якої осі дорівнює сумі МІ цього тіла I cщодо осі, що проходить через центр мас тіла та паралельної даної, та добутку маси тіла на квадрат відстані dміж вказаними осями:
. (6.5)
Момент сили щодо осі
Нехай на тіло діє сила F. Приймемо для простоти, що сила Fлежить у площині, перпендикулярній до деякої прямої ГО (рис.6.2, а), яку назвемо віссю (наприклад, це вісь обертання тіла). На рис. 6.2, а
А- точка застосування сили F,
- точка перетину осі з площиною, у якій лежить сила; r- радіус-вектор, що визначає положення точки Ащодо точки Про";
O"B
= b
-
плече сили. Плечем сили щодо осі називається найменша відстань від осі до прямої, де лежить вектор сили F(довжина перпендикуляра, проведеного з точки 
до цієї прямої).
Моментом сили щодо осі називається векторна величина, що визначається рівністю
. (6.6)
Модуль цього вектора. Іноді тому кажуть, що момент сили щодо осі – це витвір сили на її плече.
Якщо сила Fспрямована довільно, її можна розкласти на дві складові; 
і 
(Рис.6.2, б), тобто. 
+
, де 
- складова, спрямована паралельно осі ГО, а 
лежить у площині перпендикулярної осі. В цьому випадку під моментом сили Fщодо осі OO розуміють вектор
. (6.7)
Відповідно до виразів (6.6) та (6.7) вектор Мспрямований уздовж осі (див. рис.6.2, а,б).
Момент імпульсу тіла щодо осі обертання
П 
усть тіло обертається навколо деякої осі ГО з кутовою швидкістю 
. Розіб'ємо це тіло подумки на елементарні ділянки з масами 
, які знаходяться від осі відповідно на відстанях 
і обертаються по колам, маючи лінійні швидкості 
Відомо, що величина дорівнює 
- Є імпульс i-Дільниці. Моментом імпульсу i-Дільниці (матеріальної точки) щодо осі обертання називається вектор (точніше псевдовектор)
, (6.8)
де r i- Радіус-вектор, що визначає положення i- Ділянки щодо осі.
Моментом імпульсу всього тіла щодо осі обертання називають вектор
(6.9)
модуль якого 
.
Відповідно до виразів (6.8) і (6.9) вектори
і 
спрямовані по осі обертання (рис.6.3). Легко показати, що момент імпульсу тіла Lщодо осі обертання та момент інерції Iцього тіла щодо тієї ж осі пов'язані співвідношенням
. (6.10)
ВИЗНАЧЕННЯ
Фізичну величину, що є мірою інертності тіла, що обертається навколо осі називають моментом інерції тіла (J).
Це скалярна (загалом тензорная) величина.
де – маси матеріальних точок, на які розбивають тіло; на квадрати відстаней від матеріальної точки до осі обертання.
Для безперервного однорідного тіла, що обертається біля осі, момент інерції частіше визначають як:
де r – функція положення матеріальної точки у просторі; - Щільність тіла; -Об'єм елемента тіла.
Тензор інерції
Сукупність величин:
називають тензором інерції. Діагональні елементи тензора: . Тензор інерції є симетричним.
Нехай усі недіагональні елементи тензора дорівнюють нулю, не дорівнюють нулю тільки діагональні складові. Тоді тензор запишемо як:
У разі осі тіла збігаються з осями координат і є головними осями інерції. Величини:
називають головними моментами інерції. Тензор у вигляді (4) наведено у діагональному вигляді. Моменти інерції, що знаходяться поза головною діагоналі матриці (3) називаються відцентровими. Якщо осі системи координат спрямовані вздовж головних осей інерції тіла, то відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю.
Якщо головні осі проведені через центр мас тіла, вони називаються центральними головними осями, а тензор центральним тензором.
Головні осі не завжди для тіла не завжди легко знайти. Але іноді досить використовувати міркування симетрії. Так, у кулі щодо будь-якої точки головні осі можна знайти так. Одна з головних осей проходить через центр кулі, дві інші довільно орієнтовані в площині, яка перпендикулярна першої осі.
Складові моменту інерції суцільного тіла щодо осей декартової системи координат визначені як:
де - координати елемента маси тіла (), яка має об'єм .
Момент інерції твердого тіла залежить від форми тіла та розподілу аси в тілі щодо осі обертання.
Величини, рівні:
називають радіусами інерції тіла по відношенню до відповідних осей системи координат.
Теорема Штейнера
У деяких випадках обчислення моменту інерції істотно полегшує знання теореми Штейнера (іноді її називають теоремою Гюйгенса): Момент інерції тіла (J) щодо довільної осі дорівнює моменту інерції щодо осі, яка проведена через центр мас тіла (), плюс добуток маси тіла (m ) на відстань між осями у квадраті, за умови, якщо осі паралельні:
Приклади розв'язання задач
ПРИКЛАД 1
| Завдання | Визначте, чому дорівнює момент інерції однорідного циліндра (J), що має радіус R і висоту H щодо осі Z, яка збігається з його власною віссю. |
| Рішення | І так вісь обертання Z спрямована вздовж осі циліндра, початок системи координат нехай знаходиться на середині висоти тіла, що розглядається (рис.1). Щодо осі Z в декартовій системі координат дорівнює: Оскільки щільність циліндра стала, то інтеграл (1.1) запишемо як: де S – площа перерізу циліндра. Обчислювати інтеграл (1.2) найзручніше в циліндричній системі координат, вісь якої спрямована по осі Z. Тоді отримуємо: Використовуючи рівності (1.3) інтеграл (1.2) перетворюємо на вигляд: |
Моментом інерції тіла (системи) щодо цієї осі Oz (або осьовим моментом інерції) називається скалярна величина, різна сумі творів мас усіх точок тіла (системи) на квадрати їх відстаней від цієї осі:
З визначення випливає, що момент інерції тіла (або системи) щодо будь-якої осі є позитивною величиною і не дорівнює нулю.
Надалі буде показано, що осьовий момент інерції грає при обертальному русі тіла таку ж роль, яку маса при поступальному, тобто осьовий момент інерції є мірою інертності тіла при обертальному русі.
Відповідно до формули (2) момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції всіх його частин щодо тієї ж осі. Для однієї матеріальної точки, що знаходиться на відстані від осі, . Одиницею виміру моменту інерції у СІ буде 1 кг (у системі МКГСС - ).
Для обчислення осьових моментів інерції можна відстані точок від осей виражати через координати цих точок (наприклад, відстань від осі Ох буде і т. д.).
Тоді моменти інерції щодо осей визначатимуться формулами:
Часто під час розрахунків користуються поняттям радіуса інерції. Радіусом інерції тіла щодо осі називається лінійна величина, що визначається рівністю
де М – маса тіла. З визначення випливає, що радіус інерції геометрично дорівнює відстані від осі тієї точки, в якій треба зосередити масу всього тіла, щоб момент інерції однієї цієї точки дорівнював моменту інерції всього тіла.
Знаючи радіус інерції, можна за формулою (4) знайти момент інерції тіла і навпаки.
Формули (2) і (3) справедливі як твердого тіла, так будь-якої системи матеріальних точок. У разі суцільного тіла, розбиваючи його на елементарні частини, знайдемо, що в межі сума, яка стоїть на рівні (2), звернеться в інтеграл. В результаті, враховуючи, що де - густина, а V - обсяг, отримаємо
Інтеграл тут поширюється весь об'єм V тіла, а щільність і відстань h залежить від координат точок тіла. Аналогічно формули (3) для суцільних тіл набудуть вигляду.
Формулами (5) та (5) зручно користуватися при обчисленні моментів інерції однорідних тіл правильної форми. При цьому густина буде постійною і вийде з-під знака інтеграла.
Знайдемо моменти інерції деяких однорідних тіл.
1. Тонкий однорідний стрижень довжиною l і масою М. Обчислимо його момент інерції щодо осі перпендикулярної до стрижня і проходить через його кінець А (рис. 275). Направимо вздовж АВ координатну вісь. Тоді для будь-якого елементарного відрізка довжини d величина , а маса , де - маса одиниці довжини стрижня. В результаті формула (5) дає
Заміняючи його значенням, знайдемо остаточно
2. Тонке кругле однорідне кільце радіусом R і масою М. Знайдемо його момент інерції щодо осі перпендикулярної площини кільця і проходить через центр С (рис. 276).
Так як всі точки кільця знаходяться від осі на відстані, то формула (2) дає
Отже, для кільця
Очевидно, такий самий результат вийде для моменту інерції тонкої циліндричної оболонки масою М і радіусом R щодо її осі.
3. Кругла однорідна пластина або циліндр радіусом R і масою М. Обчислимо момент інерції круглої пластини щодо осі перпендикулярної пластини і через її центр (див. рис. 276). Для цього виділимо елементарне кільце радіусом та шириною (рис. 277, а). Площа цього кільця, а маса де - маса одиниці площі пластини. Тоді за формулою (7) для виділеного елементарного кільця буде для всієї пластину
