Numărul mediu de canale ocupate este exprimat prin aceste probabilități

=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+P s) sau

=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)Pn- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -…-P n-1 ).

Folosind aceasta găsim debitul absolut al sistemului:

precum și numărul mediu de aplicații din sistem

M=s- =s- .

Exemplul 1. Intrarea unui QS cu trei canale cu defecțiuni primește un flux de solicitări cu o intensitate =4 solicitări pe minut, timp pentru deservirea unei cereri de către un canal t obs =1/μ =0,5 min. Din punctul de vedere al capacității QS, este profitabil să forțați toate cele trei canale să depună cereri de serviciu simultan, iar timpul mediu de service este redus de trei ori? Cum va afecta acest lucru timpul mediu petrecut de o aplicație în CMO?

Soluţie. Găsim probabilitatea de oprire a unui QS cu trei canale folosind formula

ρ = /μ =4/2=2, n=3,

P 0 = = = 0,158.

Probabilitatea de eșec este determinată de formula:

P deschis = P n ==

P deschis = 0,21.

Debit relativ al sistemului:

R obsl = 1-R deschis 1-0,21=0,79.

Debit absolut al sistemului:

A= P obsl 3,16.

Numărul mediu de canale ocupate este determinat de formula:

1.58, cota de canale ocupate de service,

q = 0,53.

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în QS se găsește ca probabilitatea ca cererea să fie acceptată pentru serviciu, înmulțită cu timpul mediu de serviciu: t SMO 0,395 min.

Combinând toate cele trei canale într-unul singur, obținem un sistem cu un singur canal cu parametri μ= 6, ρ= 2/3. Pentru un sistem cu un singur canal, probabilitatea de oprire este:

R 0 = = =0,6,

probabilitatea de eșec:

P deschis =ρ P 0 = = 0,4,

debit relativ:

R obsl = 1-R deschis =0,6,

debit absolut:

A=P obs =2,4.

t SMO =P obsl= =0,1 min.

Ca urmare a combinării canalelor într-unul singur, debitul sistemului a scăzut pe măsură ce a crescut probabilitatea de eșec. Timpul mediu petrecut de o aplicație în sistem a scăzut.

Exemplul 2. Intrarea unui QS cu trei canale cu o coadă nelimitată primește un flux de solicitări cu o intensitate =4 aplicații pe oră, timp mediu de service pentru o aplicație t=1/μ=0,5 h. Găsiți indicatorii de performanță a sistemului.

Pentru sistemul luat în considerare n =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /μ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

P= .

P 0 = =1/9.

Găsim numărul mediu de aplicații din coadă folosind formula:

L =.

L = = .

Calculăm timpul mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă folosind formula:

t= = 0,22 ore.

Timpul mediu de păstrare a unei aplicații în sistem:

T=t+ 0,22+0,5=0,72.

Exemplul 3. În salonul de coafură lucrează 3 coafori, iar în sala de așteptare sunt 3 scaune. Fluxul de clienți este intens =12 clienți pe oră. Timp mediu de service t obsl =20 min. Determinați debitul relativ și absolut al sistemului, numărul mediu de scaune ocupate, lungimea medie a cozii, timpul mediu pe care clientul îl petrece la coafor.

Pentru această sarcină n =3, m =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. Probabilitatea de oprire este determinată de formula:

R 0 =.

P 0 = 0,012.

Probabilitatea de refuz al serviciului este determinată de formulă

P deschis =P n+m = .

P deschis =Pn + m 0,307.

Capacitatea relativă a sistemului, adică probabilitate de serviciu:

P obsl =1-P deschis 1-0,307=0,693.

Debit absolut:

A= P obsl 12 .

Numărul mediu de canale ocupate:

.

Lungimea medie a cozii este determinată de formula:

L =

L= 1,56.

Timp mediu de așteptare pentru serviciul la coadă:

t= h.

Numărul mediu de cereri către CMO:

M=L + .

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în CMO:

T=M/ 0,36 ore

Exemplul 4. Un muncitor operează 4 mașini. Fiecare mașină eșuează cu intensitate =0,5 defecțiuni pe oră, timp mediu de reparație t rem=1/μ=0,8 h. Determinați debitul sistemului.

Această problemă consideră un QS închis, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Probabilitatea de oprire a lucrătorului este determinată de formula:

R 0 =.

P 0 = .

Probabilitatea angajării lucrătorilor R zan = 1-P 0 . A=( 1-P 0 )μ =0,85μ mașini pe oră.

Sarcină:

Doi muncitori operează un grup de patru mașini. Opririle unei mașini de lucru au loc în medie după 30 de minute. Timpul mediu de configurare este de 15 minute. Timpul de funcționare și de configurare este distribuit conform unei legi exponențiale.

Găsiți ponderea medie a timpului liber pentru fiecare lucrător și timpul mediu de funcționare al mașinii.

Găsiți aceleași caracteristici pentru un sistem în care:

a) fiecărui muncitor i se atribuie două utilaje;

b) doi muncitori întrețin întotdeauna mașina împreună, și cu intensitate dublă;

c) singura mașină defectă este întreținută de ambii muncitori simultan (cu intensitate dublă), iar când mai apare cel puțin o altă mașină defectă, aceștia încep să funcționeze separat, fiecare deservind câte o mașină (descrieți mai întâi sistemul din punct de vedere al proceselor de moartea şi naşterea).

Soluţie:

Următoarele stări ale sistemului S sunt posibile:

S 0 – toate mașinile sunt operaționale;

S 1 – 1 utilaj este in reparatie, restul sunt in stare buna de functionare;

S 2 – 2 utilaj este în reparație, restul sunt în stare de funcționare;

Mașina S 3 – 3 este în curs de reparație, restul sunt în stare de funcționare;

Mașina S 4 – 4 este în curs de reparație, restul sunt în stare bună de funcționare;

S 5 – (1, 2) utilajele sunt în curs de reparare, restul sunt în stare bună de funcționare;

S 6 – (1, 3) utilajele sunt în curs de reparare, restul sunt în stare de funcționare;

S 7 – (1, 4) utilajele sunt în curs de reparare, restul sunt în stare bună de funcționare;

S 8 – (2, 3) utilajele sunt în curs de reparare, restul sunt în stare bună de funcționare;

S 9 – (2, 4) utilajele sunt în curs de reparare, restul sunt în stare bună de funcționare;

S 10 – (3, 4) utilajele sunt în curs de reparare, restul sunt în stare bună de funcționare;

S 11 – (1, 2, 3) utilaje sunt în curs de reparare, 4 utilaj este în funcțiune;

S 12 – (1, 2, 4) utilaje sunt în curs de reparare, 3 utilaj este în funcțiune;

S 13 – (1, 3, 4) utilajele sunt în curs de reparare, utilajul 2 este în funcțiune;

S 14 – (2, 3, 4) utilaje sunt în curs de reparare, 1 utilaj este în funcțiune;

S 15 – toate utilajele sunt reparate.

Graficul stării sistemului...

Acest sistem S este un exemplu de sistem închis, deoarece fiecare mașină este o cerință potențială, transformându-se într-una reală în momentul defecțiunii sale. În timp ce mașina funcționează, se află în blocul de întârziere, iar din momentul defecțiunii până la sfârșitul reparației, se află în sistemul propriu-zis. Fiecare lucrător este un canal de servicii.

Dacă un muncitor este ocupat, el instalează μ-mașini pe unitate de timp, capacitatea sistemului:

Răspuns:

Ponderea medie a timpului liber pentru fiecare lucrător este ≈ 0,09.

Timp mediu de funcționare a mașinii ≈ 3,64.

a) Fiecărui lucrător i se atribuie două utilaje.

Probabilitatea de oprire a lucrătorului este determinată de formula:

Probabilitatea angajării lucrătorului:

Dacă un muncitor este ocupat, el instalează μ-mașini pe unitate de timp, capacitatea sistemului:

Răspuns:

Ponderea medie a timpului liber pentru fiecare lucrător este ≈ 0,62.

Timp mediu de funcționare a mașinii ≈ 1,52.

b) Doi lucrători întrețin întotdeauna mașina împreună și cu intensitate dublă.

c) Singura mașină defectă este întreținută de ambii muncitori deodată (cu intensitate dublă), iar când mai apare cel puțin o altă mașină defectă, aceștia încep să lucreze separat, fiecare deservind câte o mașină (descrieți mai întâi sistemul din punct de vedere al proceselor de moartea şi naşterea).

Comparație a 5 răspunsuri:

Cea mai eficientă modalitate de a organiza lucrătorii la mașini va fi versiunea inițială a sarcinii.

Exemple ale celor mai simple sisteme de așteptare (QS) au fost discutate mai sus. Termenul „protozoare” nu înseamnă „elementar”. Modelele matematice ale acestor sisteme sunt aplicabile și utilizate cu succes în calculele practice.

Posibilitatea aplicării teoriei deciziei în sistemele de așteptare este determinată de următorii factori:

1. Numărul de aplicații din sistem (care este considerat un QS) trebuie să fie destul de mare (masiv).

2. Toate cererile primite la intrarea QS trebuie să fie de același tip.

3. Pentru a calcula folosind formule, trebuie să cunoașteți legile care determină primirea cererilor și intensitatea procesării acestora. Mai mult, fluxurile de ordine trebuie să fie Poisson.

4. Structura QS, i.e. setul de cerințe de intrare și succesiunea procesării cererii trebuie să fie strict fixate.

5. Este necesar să se excludă subiecții din sistem sau să le descrie ca cerințe cu o intensitate constantă de procesare.

La restricțiile enumerate mai sus, mai putem adăuga una, care are un impact puternic asupra dimensiunii și complexității modelului matematic.

6. Numărul de priorități utilizate ar trebui să fie minim. Prioritățile aplicațiilor trebuie să fie constante, adică nu se pot modifica în timpul procesării în cadrul QS.

În cursul lucrării, obiectivul principal a fost atins - a fost studiat materialul principal de „QS cu timp de așteptare limitat” și „Closed QS”, care a fost stabilit de profesorul disciplinei academice. Ne-am familiarizat și cu aplicarea în practică a cunoștințelor dobândite, adică. consolidat materialul acoperit.

1) http://www.5ballov.ru.

2) http://www.studentport.ru.

3) http://vse5ki.ru.

4) http://revoluție..

5) Fomin G.P. Metode și modele matematice în activități comerciale. M: Finanțe și Statistică, 2001.

6) Gmurman V.E. Teoria Probabilității și Statistica Matematică. M: Liceu, 2001.

7) Sovetov B.A., Yakovlev S.A. Modelarea sistemelor. M: Liceu, 1985.

8) Lifshits A.L. Modelarea statistică a QS. M., 1978.

9) Ventzel E.S. Cercetare operațională. M: Nauka, 1980.

10) Ventzel E.S., Ovcharov L.A. Teoria probabilității și aplicațiile sale de inginerie. M: Nauka, 1988.

Luați în considerare un QS cu mai multe canale (P> 1), a cărui intrare primește un flux Poisson de cereri cu intensitate și intensitatea serviciului fiecărui canal este p, numărul maxim posibil de locuri în coadă este limitat de valoarea T. Stările discrete ale QS sunt determinate de numărul de cereri primite de sistem, care pot fi notate:

Sq - toate canalele sunt gratuite, k = 0;

S- doar un canal este ocupat (oricare), k = 1;

*5*2 - doar două canale (oricare) sunt ocupate, k = 2;

S n- toata lumea este ocupata P canale, k = p.

În timp ce QS se află în oricare dintre aceste stări, nu există nicio coadă. După ce toate canalele de servicii sunt ocupate, solicitările ulterioare formează o coadă, determinând astfel starea ulterioară a sistemului:

S n + - toată lumea este ocupată P canale și o aplicație este în coadă, k = P + 1;

S n +2 - toată lumea este ocupată P canale și două aplicații sunt în coadă, k = P + 2;

S n+m - toată lumea este ocupată P frânghii și tot T locuri la rând k = n + m.

Stați graficul și canalul SMO Cu coadă, limitat Tîn unele locuri, prezentate în fig. 5.18.

Trecerea QS-ului la o stare cu numere mari este determinată de fluxul de solicitări primite cu o intensitate

Orez. 5.18

întrucât, în funcție de condiție, aceștia participă la soluționarea acestor cereri P canale identice cu o intensitate a fluxului de serviciu egală cu p pentru fiecare canal. În acest caz, intensitatea totală a fluxului de serviciu crește odată cu conectarea de noi canale până la această stare Sn, când toate P canalele vor fi ocupate. Odată cu apariția cozii, intensitatea serviciului nu mai crește, deoarece a atins deja valoarea maximă egală cu ph.

Să scriem expresii pentru probabilitățile limită ale stărilor

Expresia pentru rho poate fi transformată folosind formula de progresie geometrică pentru suma termenilor cu numitorul p /P:

Formarea unei cozi este posibilă atunci când o aplicație nou primită găsește în sistem cel puțin P cerințe, adică când va fi sistemul p, p + 1, P + 2, (P + T- 1) cerințe. Aceste evenimente sunt independente, astfel încât probabilitatea ca toate canalele să fie ocupate este egală cu suma probabilităților corespunzătoare. r yu Rp+bPp+2 > ->Рп+т- 1- Prin urmare, probabilitatea formării cozii este

Posibilitatea de refuzare a serviciului apare atunci când toate P canale și tot T locurile la rând sunt pline

Debitul relativ va fi egal cu

Debit absolut

Numărul mediu de canale ocupate

Numărul mediu de canale inactive

Raportul de ocupare a canalului (utilizare).

Raportul timpului de nefuncționare al canalului

Numărul mediu de aplicații în cozi

dacă r/p = 1, această formulă ia o formă diferită:

Timpul mediu de așteptare într-o coadă este determinat de formulele lui Little

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în QS, ca și pentru un QS cu un singur canal, este mai mare decât timpul mediu de așteptare în coadă cu timpul mediu de serviciu egal cu 1/p, deoarece aplicația este întotdeauna deservită de un singur canal:

Exemplul 5.21. Minimarketul primește un flux de clienți cu o intensitate de șase clienți pe minut, care sunt deserviți de trei casiere cu o intensitate de doi clienți pe minut. Lungimea cozii este limitată la cinci clienți. Determinați caracteristicile QS și evaluați performanța acestuia.

Soluţie

n = 3; T = 5; X =6; p = 2; p =X/x = 3; r/p = 1.

Găsim probabilitățile limită ale stărilor QS:

Ponderea timpului de nefuncționare pentru casierii

Probabilitatea ca un singur canal să fie ocupat cu service este

Probabilitatea ca două canale să fie ocupate cu service este

Probabilitatea ca toate cele trei canale să fie ocupate este

Probabilitatea ca toate cele trei canale și cinci locuri din coadă să fie ocupate este

Posibilitatea de refuzare a serviciului apare atunci când k = t + n = = 5 + 3 = 8 și este р$ = р OTK = 0,127.

Capacitățile relative și absolute ale QS sunt, respectiv, egale Q = 1 - r deschis= 0,873 și L = 0,873A. = 5,24 (clienți/min).

Numărul mediu de canale ocupate și lungimea medie a cozii sunt:

Timpul mediu de așteptare în coada n ședere în QS este în mod corespunzător egal cu:

Sistemul de service al minimarket-ului merită laude, deoarece lungimea medie a cozii și timpul mediu pe care un client îl petrece în coadă sunt mici.

Exemplul 5.22. În medie, vehiculele cu produse din fructe și legume ajung la depozitul de fructe și legume la fiecare 30 de minute. Timpul mediu de descărcare a unui camion este de 1,5 ore.Descărcarea este efectuată de două echipe de încărcătoare. Pe teritoriul bazei, nu mai mult de patru vehicule pot fi aliniate la debarcader, așteptând descărcarea. Vom determina indicatorii și vom evalua performanța QS.

Soluţie

SMO cu două canale, P= 2 cu număr limitat de locuri la rând m= 4, intensitatea fluxului de intrare l. = 2 av/h, intensitatea serviciului c = 2/3 av/h, intensitatea sarcinii p = A./p = 3, r/p = 3/2 = 1,5.

Determinăm caracteristicile QS:

Probabilitatea ca toate echipajele să nu fie încărcate atunci când nu există vehicule este

Probabilitatea de eșec atunci când există două mașini sub descărcare și patru mașini în coadă,

Numărul mediu de mașini la coadă

Cota de oprire a încărcătorilor este foarte mică și se ridică la doar 1,58% din timpul de lucru, iar probabilitatea de refuz este mare - 36% din cererile primite sunt refuzate la descărcare, ambele echipe sunt aproape complet ocupate, coeficientul de angajare este aproape de unu. și egal cu 0,96, relativ debitul este scăzut - doar 64% din aplicațiile primite vor fi deservite, lungimea medie a cozii este de 2,6 mașini, prin urmare, SM O nu poate face față îndeplinirii cererilor de service și este necesar să să mărească numărul de echipe de încărcători și să folosească mai mult capacitățile debarcaderului.

Exemplul 5.23. O companie comercială primește legume timpurii din serele unei ferme de stat suburbane la momente aleatorii cu o intensitate de 6 unități. într-o zi. Camerele utilitare, echipamentele și resursele de muncă ne permit să procesăm și să depozităm produse în cantitate de 2 unități. Compania are patru persoane, fiecare dintre care, in medie, poate procesa produsele unei singure livrari in 4 ore.Durata zilei de lucru in timpul muncii in ture este de 12 ore.Care ar trebui sa fie capacitatea depozitului pentru ca prelucrarea completa de produse ar reprezenta cel puțin 97% din numărul livrărilor efectuate?

Soluţie

Să rezolvăm problema determinând secvenţial indicatorii QS pentru diferite valori ale capacităţii de stocare T= 2, 3, 4, 5 etc. și comparație la fiecare etapă de calcul a probabilității de serviciu cu o valoare dată р 0 ()С = 0,97.

Determinați intensitatea sarcinii:

Găsim probabilitatea, sau fracțiunea de timp, a timpului de nefuncționare pentru t = 2:

Probabilitatea de refuzare a serviciului sau proporția de aplicații pierdute,

Probabilitatea de deservire sau proporția de cereri deservite din cele primite este

Deoarece valoarea obținută este mai mică decât valoarea specificată de 0,97, continuăm calculele pentru T= 3. Pentru această valoare, indicatorii stărilor QS au valorile

Probabilitatea de serviciu în acest caz este, de asemenea, mai mică decât valoarea specificată, așa că continuăm calculele pentru următorul t = 4, pentru care indicatorii de stare au următoarele valori: p$ = 0,12; Rotk = 0,028; Pofc = 0,972. Acum valoarea obținută a probabilității de serviciu satisface condițiile problemei, deoarece 0,972 > 0,97, prin urmare, capacitatea depozitului trebuie mărită la un volum de 4 unități.

Pentru a obține o anumită probabilitate de servire, puteți selecta în același mod numărul optim de persoane care să proceseze legume, calculând secvențial indicatorii QS pentru n = 3, 4, 5 etc. O soluție de compromis poate fi găsită prin compararea și contrastarea pentru diferite opțiuni pentru organizațiile CMO a costurilor asociate atât cu creșterea numărului de angajați, cât și cu crearea de echipamente tehnologice speciale pentru prelucrarea legumelor într-o întreprindere comercială.

Astfel, modelele de coadă în combinație cu metode economice de stabilire a sarcinilor fac posibilă analiza sistemelor QS existente, elaborarea de recomandări pentru reorganizarea acestora pentru a îmbunătăți eficiența operațională și, de asemenea, determinarea performanței optime a sistemelor QS nou create.

Exemplul 5.24. În medie, nouă mașini ajung la o spălătorie pe oră, dar dacă sunt deja patru mașini la coadă, clienții nou sosiți, de regulă, nu se alătură la coadă, ci trec pe lângă. Timpul mediu pentru a spăla o mașină este de 20 de minute și există doar două locuri pentru a o spăla. Costul mediu al spălării unei mașini este de 70 de ruble. Determinați pierderea medie de venituri pentru o spălătorie auto în timpul zilei.

Soluţie

X= 9 mașini/h; = 20 min; p = 2;t = 4.

Găsirea intensității sarcinii Determinarea procentului de nefuncţionare a spălătoriei auto

Probabilitatea de eșec

Capacitatea relativă este egală cu Capacitatea absolută Numărul mediu de mașini în coadă

Numărul mediu de aplicații deservite

Timp mediu de așteptare la coadă

Timpul mediu pe care îl petrece o mașină la o spălătorie

Astfel, 34% dintre aplicații nu vor fi deservite, pierderea pentru 12 ore de lucru într-o zi se va ridica la o medie de 2570 de ruble. (12*9* 0,34 70), adică 52% din veniturile totale, deoarece r deschis = 0,52 p 0 ^ s.

• debit relativ sau probabilitate de serviciu, debit absolut, număr mediu de echipaje ocupate, rata de ocupare a echipajelor de încărcare

Sisteme de așteptare cu flux de intrare nelimitat

Formule de calcul
Probabilitatea ca toate canalele să fie gratuite

Numărul mediu de coloane ocupate:
N zan =n-N 0 = 2-(2 p 0 +1 p 1) = 2-2 0,1111 - 0,1778 = 1,6
Probabilitatea să nu fie coadă la benzinărie:

Probabilitatea ca va trebui să așteptați ca serviciul să înceapă este egală cu probabilitatea ca toate coloanele să fie ocupate:
p 0 +p 1 +p 2 = 0,1111+0,1778+0,1422 = 0,4311
Numărul mediu de mașini în coadă:

• S 0 – canalul este liber;
• S 1 – canal ocupat;
• S 2 – canalul este ocupat, o cerere este în coadă;
• Sk– canalul este ocupat, (k–1) cererile sunt în coadă;
• Sm+ 1 – canal ocupat, în coadă m aplicatii.

Orez. 25
Folosind formulele Erlang, vom găsi probabilitățile evenimentelor constând în faptul că QS este într-o stare S 1 , S 2 , …, S m+1:
(28)

În acest caz, probabilitatea ca o aplicație care ajunge în sistem să o găsească liberă este egală cu
. (29)
Raportul dintre intensitatea primirii cererilor λ și intensitatea cererilor de deservire μ este intensitatea redusă μ, adică.

ρ=λ/μ
Să înlocuim raportul λ/&mu din formulele (28) și (29) cu ρ, atunci expresiile vor lua forma:

(30)
Probabilitate R 0 va fi calculat folosind următoarea formulă:
p 0 = -1 . (31)
Expresie pentru probabilitate P 0 este o progresie geometrică a cărei sumă va fi egală cu

.
Astfel, formulele (30) și (31) fac posibilă determinarea probabilității oricărui eveniment care poate apărea în sistem, adică determinarea probabilității ca sistemul să se afle în orice stare.
Formula pentru P 0 este valabil pentru cazul în care ρ ≠ 1. În cazul în care ρ = 1, adică intensitatea primirii cererilor este egală cu intensitatea deservirii acestora, se utilizează o altă formulă pentru a calcula probabilitatea ca sistemul să fie liber:

,
unde m este numărul de aplicații din coadă.

Să definim caracteristicile de performanță ale QS cu un singur canal:

• probabilitatea ca următoarea cerere care ajunge în sistem să fie respinsă R otk;
• debit absolut A,
• debit relativ Q,
• numărul de canale ocupate k,
• numărul mediu de cereri din coada r,
• numărul mediu de aplicații asociate cu QS, z .

Următoarea cerere care intră în sistem este respinsă atunci când canalul este ocupat, adică o altă solicitare este deservită și asta este tot m se ocupă și locurile din coadă. atunci probabilitatea acestui eveniment poate fi calculată folosind următoarea formulă:

. (32)
Probabilitatea ca o aplicație să intre în sistem și să fie imediat deservită sau să existe locuri în coadă, adică debitul relativ, poate fi găsită folosind formula

. (33)
Numărul mediu de cereri care pot fi deservite pe unitatea de timp, adică debitul absolut, se calculează după cum urmează:

A=Q·λ (34)
Astfel, folosind formulele (32), (33), (34) este posibil să se calculeze principalii indicatori de performanță pentru orice sistem de așteptare. Acum vom deriva expresii pentru calcularea caracteristicilor inerente numai acestui QS.
Definim numărul mediu de cereri din coada r ca așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete, unde R– numărul de aplicații din coadă.
♦ R 2 este probabilitatea ca în coada de așteptare să existe o singură solicitare pentru serviciu;
♦ R 3 – probabilitatea ca în coadă să fie două aplicații;
♦ Rk– probabilitatea ca în coadă să fie (k–1) aplicații;
♦ Rm+ 1 – probabilitatea ca în coadă să fie m aplicații.
Apoi, numărul mediu de aplicații din coadă poate fi calculat după cum urmează:
r =1·P2 +2·P3 + ... +(k-1)·Pk + ... +m·Pm+1. (35)
Să substituim în formula (35) valorile probabilității găsite anterior calculate în formula (30):
r =1·ρ 2 ·p 0 +2·ρ 3 ·p 0 + ... +(k-1)·ρ k ·p 0 + ... +m·ρ m+1 ·p 0 . (35)
Să scoatem probabilitatea din ecuație P 0 și R 2, apoi obținem formula finală pentru calcularea numărului mediu de cereri din coada de service:
r =ρ 2 p 0 (1+2 ρ+ ... +(k-1) ρ k-2 + ... +m ρ m-1)
Să derivăm o formulă pentru numărul mediu de aplicații asociate cu QS, z, adică numărul de aplicații din coadă care sunt deservite. Luați în considerare numărul total de aplicații asociate cu QS, z, ca suma a două valori ale numărului mediu de aplicații din coada r și numărul de canale ocupate k:

z = r +k.
Deoarece există un singur canal, numărul de canale ocupate k poate lua valorile 0 sau 1. Probabilitatea ca k = 0, adică. sistemul este liber, corespunde probabilității P 0, a cărei valoare poate fi găsită folosind formula (31). Dacă k = 1, adică canalul este ocupat cu deservirea cererii, dar mai sunt locuri în coadă, atunci probabilitatea acestui eveniment poate fi calculată folosind formula

.
Prin urmare, z va fi egal cu:

. (37)

QS cu un singur canal cu așteptare

Sistem cu un singur canal cu coadă nelimitată

Pentru determinarea probabilităților limită ale stărilor, vom folosi formulele (16), (17) pentru procesul de moarte și reproducere (aici admitem o anumită lipsă de rigoare, întrucât aceste formule au fost obținute anterior pentru cazul unui număr finit de stări ale sistemului). Primim (32)
Deoarece probabilitățile limită există numai pentru ρ< 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
p 0 =1-ρ, (33)
și luând în considerare relațiile (17)
p 1 =ρ·p 0; p 2 =ρ 2 ·p 0 ; ... ; p k =ρ k ·p 0 ; ...
haideti sa gasim probabilitatile limitatoare ale altor stari
p 1 =ρ·(1-ρ); p 2 =ρ 2 ·(1-ρ); ... ; p k =ρ k ·(1-ρ); ... (34)
Probabilitățile limitative p 0 , p 1 , p 2 , ..., p k , ... formează o profesie geometrică descrescătoare cu numitor p< 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Numărul mediu de aplicații în sistemul L. vom determina folosind formula de așteptare matematică care, ținând cont de (34), va lua forma
(35)
(sumare de la 1 la ∞, deoarece termenul zero este 0·p 0 =0).
Se poate demonstra că formula (35) se transformă (la ρ< 1) к виду
(36)
Să găsim numărul mediu de aplicații din coada L foarte. Este evident că
L och =L syst -L rev (37)
unde L vol. - numărul mediu de aplicații deservite.
Numărul mediu de cereri în serviciu este determinat de formula pentru așteptarea matematică a numărului de solicitări în serviciu, luând valoarea 0 (dacă canalul este liber) sau 1 (dacă canalul este ocupat):
L och =0 p 0 +1 (1-p 0)
acestea. numărul mediu de solicitări în serviciu este egal cu probabilitatea ca canalul să fie ocupat:
L och =P zan =1-p 0 , (38)
În vigoare (33)
L och =P zan ρ, (39)
Acum conform formulei (37) luând în considerare (36) și (39)
(40)
S-a dovedit că pentru orice natură a fluxului de aplicații, pentru orice distribuție a timpului de serviciu, pentru orice disciplină de serviciu, timpul mediu pe care o cerere rămâne în sistem (coadă) este egal cu numărul mediu de aplicații din sistem (în coadă) împărțit prin intensitatea fluxului de aplicații, acestea.
(41)
(42)
Formulele (41) și (42) se numesc Formulele lui Little. Ele provin din faptul că în modul de limitare, staționar, numărul mediu de aplicații care sosesc în sistem este egal cu numărul mediu de aplicații care părăsesc acesta: ambele fluxuri de cereri au aceeași intensitate λ.
Pe baza formulelor (41) și (42), ținând cont de (36) și (40), timpul mediu de păstrare a unei aplicații în sistem va fi determinat de formula:
(43)
și timpul mediu în care o aplicație rămâne în coadă
(44)

QS cu un singur canal cu așteptare fără limitare a capacității blocului de așteptare

Exemplul 3.3. Să ne amintim situația avută în vedere în exemplul 3.2, unde vorbim despre funcționarea unui post de diagnostic. Lăsați postul de diagnosticare în cauză să aibă un număr nelimitat de zone de parcare pentru vehiculele care sosesc pentru service, adică lungimea cozii este nelimitată.
Este necesar să se determine valorile finale ale următoarelor caracteristici probabilistice:

• probabilitățile stărilor sistemului (stație de diagnosticare);
• numărul mediu de mașini din sistem (în service și în coadă);
• durata medie a șederii unui vehicul în sistem (pentru service și la coadă);
• numărul mediu de mașini la coadă pentru service;
• durata medie de timp pe care o mașină stă la rând.

Soluţie
1. Parametrul debitului de serviciu m și intensitatea redusă a debitului vehiculului p sunt definite în exemplul 3.2:
m = 0,952; p = 0,893.
2. Calculați probabilitățile limită ale sistemului folosind formulele
P 0 =1-ρ = 1-0,893 = 0,107
P 1 =(1-ρ) ρ = (1-0,893) 0,893 = 0,096
P 2 =(1-ρ) ρ 2 = (1-0,893) 2 0,893 = 0,085
P 3 =(1-ρ) ρ 3 = (1-0,893) 3 0,893 = 0,076
P 4 =(1-ρ) ρ 4 = (1-0,893) 4 0,893 = 0,068
P 5 =(1-ρ) ρ 5 = (1-0,893) 5 0,893 = 0,061
etc.
Trebuie remarcat faptul că P o determină proporția de timp în care postul de diagnostic este forțat să fie inactiv (inactiv). În exemplul nostru este de 10,7%, deoarece R o= 0,107.
3. Numărul mediu de mașini din sistem (în service și în coadă):
4. Durata medie a șederii unui client în sistem:

T= l P N

În exemplul nostru, cu N = 3 + 1 = 4 și p = 0,893,
m = l P o p 4 = 0,85·0,248·0,8934·0,134 mașini pe oră.
Cu un mod de funcționare de 12 ore al stației de diagnosticare, aceasta este echivalentă cu faptul că stația de diagnosticare, în medie, va pierde 12·0,134 = 1,6 mașini pe schimb (zi).
Eliminarea restricției privind lungimea cozii ne permite să creștem numărul de clienți deserviți în exemplul nostru cu o medie de 1,6 mașini pe tură (12 ore de lucru) la stația de diagnosticare. Este clar că decizia de extindere a zonei de parcare a autovehiculelor care sosesc la stația de diagnosticare trebuie să se bazeze pe o evaluare a prejudiciului economic care este cauzat de pierderea clienților atunci când există doar trei locuri de parcare pentru aceste vehicule.

QS multicanal cu coadă nelimitată

Sistemul poate fi în una dintre stările S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,…, S n ,…, - numerotate în funcție de numărul de aplicații din QS: S 0 - nu există aplicații în sistemul (toate canalele sunt gratuite); S 1 - un canal este ocupat, restul sunt libere; S 2 - două canale sunt ocupate, restul sunt libere;..., S k - k canale sunt ocupate, restul sunt libere;..., S n - toate cele n canale sunt ocupate (fără coadă); S n+1 - toate cele n canale sunt ocupate, există o cerere în coadă;..., S n+r - toate sunt ocupate n canale, r aplicațiile sunt în linie...

Graficul stării sistemului este prezentat în Fig. 9. Să observăm că, spre deosebire de QS-ul precedent, intensitatea fluxului de servicii (transferând sistemul de la o stare la alta de la dreapta la stânga) nu rămâne constantă, iar pe măsură ce numărul de solicitări în QS crește de la 0 la n, crește de la m la nm, deoarece numărul canalelor de servicii crește în mod corespunzător. Când numărul de cereri din QS este mai mare decât n, intensitatea fluxului de servicii rămâne egală cu nm.

numărul mediu de aplicații în coadă
, (50)
numărul mediu de aplicații din sistem
L syst =L och +ρ, (51)
Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în coadă și timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem, ca și înainte, sunt găsite folosind formulele lui Little (42) și (41).
Cometariu. Pentru un QS cu o coadă nelimitată la r< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность Q=1, iar debitul absolut este egal cu intensitatea fluxului de solicitări de intrare, i.e. A=l.

QS cu coadă limitată

În cele mai simple modele matematice ale unor astfel de sisteme, se presupune că o cerere poate rămâne în coadă un timp aleator, distribuită după o lege exponențială cu un anumit parametru υ, adică. putem presupune condiționat că fiecare cerere aflată în coada de serviciu poate părăsi sistemul cu intensitatea υ.
Indicatorii de performanță QS limitați în timp corespunzători sunt obținuți pe baza rezultatelor obținute pentru procesul de deces și reproducere.

În concluzie, observăm că în practică există adesea sisteme de servicii închise în care fluxul de aplicații de intrare depinde în mod semnificativ de starea QS-ului în sine. Ca exemplu, putem cita situația în care unele utilaje ajung la depozitul de reparații din locurile de operare: este clar că cu cât mai multe utilaje sunt în stare de reparație, cu atât mai puține dintre ele continuă să fie folosite și cu atât mai puțin intens fluxul de mașini nou sosite pentru reparații. Un QS închis este caracterizat de un număr limitat de surse de solicitare, iar fiecare sursă este „blocata” în timp ce cererea sa este servită (adică nu emite noi solicitări). În astfel de sisteme, cu un număr finit de stări QS, vor exista probabilități limită pentru orice valoare a intensității fluxurilor de aplicații și service. Ele pot fi calculate prin revizuirea procesului de moarte și reproducere.

Să considerăm cel mai simplu QS cu așteptare - un sistem monocanal care primește un flux de solicitări cu intensitate; intensitatea serviciului (adică, în medie, un canal ocupat continuu va emite solicitări deservite pe unitate (de timp). O solicitare care sosește la un moment în care canalul este ocupat este pusă în coadă și așteaptă serviciul.

Sistem cu lungime limitată la coadă. Să presupunem mai întâi că numărul de locuri în coadă este limitat de numărul , adică dacă o aplicație ajunge la un moment în care există deja aplicații în coadă, ea lasă sistemul neservit. În viitor, grăbindu-ne la infinit, vom obține caracteristicile unui QS cu un singur canal fără restricții privind lungimea cozii.

Vom numerota stările QS-ului în funcție de numărul de aplicații din sistem (atât în ​​curs de service, cât și în așteptare):

Canalul este gratuit;

Canalul este ocupat, nu există coadă;

Canalul este ocupat, o aplicație este în coadă;

Canalul este ocupat, aplicațiile sunt în coadă;

Canalul este ocupat, tone de aplicații sunt la coadă.

GSP este prezentat în Fig. 5.8. Toate intensitățile fluxurilor de evenimente care se deplasează în sistem de-a lungul săgeților de la stânga la dreapta sunt egale cu și de la dreapta la stânga - . Într-adevăr, fluxul de solicitări mută sistemul de-a lungul săgeților de la stânga la dreapta (de îndată ce sosește o solicitare, sistemul trece la următoarea stare), în timp ce de la dreapta la stânga există un flux de „eliberări” ale unui canal ocupat , care are o intensitate (de îndată ce următoarea solicitare este deservită, canalul fie va deveni liber, fie va scădea numărul de aplicații din coadă).

Orez. 5.8. QS cu un singur canal cu așteptare

Arată în Fig. Diagrama 5.8 este o diagramă a reproducerii și a morții. Folosind soluția generală (5.32)-(5.34), scriem expresii pentru probabilitățile limită ale stărilor (vezi și (5.40)):

sau folosind:

Ultima linie din (5.45) conține o progresie geometrică cu primul termen 1 și numitorul p; unde ajungem:

în legătură cu care probabilitățile limitative iau forma:

Expresia (5.46) este valabilă numai pentru (căci dă incertitudinea formei ). Suma unei progresii geometrice cu un numitor este egală cu , și în acest caz

Să determinăm caracteristicile QS: probabilitatea de eșec, debitul relativ, debitul absolut, lungimea medie a cozii, numărul mediu de aplicații asociate sistemului, timpul mediu de așteptare în coadă, timpul mediu petrecut în QS

Probabilitatea de eșec. Evident, aplicația este respinsă doar dacă canalul este ocupat și toate t locurile din coadă sunt de asemenea ocupate:

Lățime de bandă relativă:

Debit absolut:

Lungimea medie a cozii. Să găsim numărul mediu de aplicații din coadă ca așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete - numărul de aplicații din coadă:

Cu probabilitate există o aplicație în coadă, cu probabilitate sunt două aplicații, în general cu probabilitate sunt aplicații în coadă etc., de unde:

Deoarece , suma din (5.50) poate fi interpretată ca o derivată în raport cu suma unei progresii geometrice:

Înlocuind această expresie în (5.50) și folosind din (5.47), obținem în final:

Numărul mediu de aplicații din sistem. În continuare, obținem o formulă pentru numărul mediu de aplicații asociate sistemului (atât cele care stau în coadă, cât și cele deservite). Deoarece , unde este numărul mediu de aplicații aflate în serviciu, este cunoscut, rămâne de determinat . Deoarece există un singur canal, numărul de cereri deservite poate fi egal cu (cu probabilitate) sau 1 (cu probabilitate), din care:

iar numărul mediu de aplicații asociate cu QS este

Timp mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă. Să o notăm; dacă o solicitare vine în sistem la un moment dat, atunci cu probabilitate canalul de serviciu nu va fi ocupat și nu va trebui să aștepte la coadă (timpul de așteptare este zero). Cel mai probabil, ea va intra în sistem în timp ce o cerere este servită, dar nu va fi nicio coadă în fața ei, iar cererea va aștepta începerea deservirii acesteia pentru o perioadă de timp (timpul mediu de deservire a uneia cerere). Există probabilitatea ca o altă aplicație să fie în coadă înainte ca aplicația să fie luată în considerare, iar timpul mediu de așteptare să fie egal cu , etc.

Dacă, adică atunci când o cerere nou sosită găsește canalul de serviciu ocupat și aplicațiile în coadă (probabilitatea acestui lucru), atunci în acest caz cererea nu intră în coadă (și nu este servită), astfel încât timpul de așteptare este zero . Timpul mediu de așteptare va fi:

dacă substituim expresii pentru probabilitățile (5.47) aici, obținem:

Aici folosim relațiile (5.50), (5.51) (derivată a unei progresii geometrice), precum și din (5.47). Comparând această expresie cu (5.51), observăm că, cu alte cuvinte, timpul mediu de așteptare este egal cu numărul mediu de cereri din coadă împărțit la intensitatea fluxului de aplicații.

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem. Să notăm așteptarea matematică a unei variabile aleatoare - timpul în care o cerere rămâne în QS, care este suma timpului mediu de așteptare în coadă și timpul mediu de serviciu. Dacă încărcarea sistemului este 100%, evident, altfel

Exemplul 5.6. O benzinărie (benzinărie) este o stație de benzină cu un canal de serviciu (o coloană).

Zona de la stație permite nu mai mult de trei mașini să fie la rând pentru realimentare în același timp. Dacă sunt deja trei mașini în coadă, următorul vagon care sosește în stație nu se alătură la coadă. Fluxul de mașini care sosesc pentru realimentare are o intensitate (mașină pe minut). Procesul de realimentare durează în medie 1,25 minute.

Defini:

probabilitatea de eșec;

capacitatea relativă și absolută a benzinăriilor;

numărul mediu de mașini care așteaptă să realimenteze;

numărul mediu de mașini la o benzinărie (inclusiv cele deservite);

timpul mediu de așteptare pentru o mașină la coadă;

timpul mediu pe care îl petrece o mașină la o benzinărie (inclusiv service).

cu alte cuvinte, timpul mediu de așteptare este egal cu numărul mediu de cereri din coadă împărțit la intensitatea fluxului de aplicații.

Găsim mai întâi intensitatea redusă a fluxului de aplicații:

Conform formulelor (5.47):

Probabilitatea de eșec.

Capacitatea relativă a QS

Debit absolut al QS

Mașini pe min.

Găsim numărul mediu de mașini din coadă folosind formula (5.51)

adică, numărul mediu de mașini care așteaptă la coadă pentru alimentare este de 1,56.

Adăugând la această valoare numărul mediu de vehicule în service

obținem numărul mediu de mașini asociate unei benzinării.

Timp mediu de așteptare pentru o mașină la coadă conform formulei (5.54)

Adăugând la această valoare, obținem timpul mediu pe care îl petrece o mașină la o benzinărie:

Sisteme de așteptare nelimitate. În astfel de sisteme, valoarea lui m nu este limitată și, prin urmare, caracteristicile principale pot fi obținute prin trecerea la limită în expresiile obținute anterior (5.44), (5.45), etc.

Rețineți că numitorul din ultima formulă (5.45) este suma unui număr infinit de termeni ai unei progresii geometrice. Această sumă converge atunci când progresia este în scădere infinită, adică atunci când .

Se poate dovedi că există o condiție în care într-un QS cu așteptare există un mod limitator de stare staționară, în caz contrar un astfel de mod nu există, iar coada la va crește fără limită. Prin urmare, în cele ce urmează se presupune că .

Dacă , atunci relațiile (5.47) iau forma:

În absența restricțiilor privind lungimea cozii, fiecare aplicație care intră în sistem va fi deservită, prin urmare,

Obținem numărul mediu de aplicații din coadă de la (5.51) la:

Numărul mediu de aplicații în sistem conform formulei (5.52) cu

Timpul mediu de așteptare îl obținem din formulă

(5.53) la:

În cele din urmă, timpul mediu pe care o aplicație rămâne în QS este

QS multicanal cu așteptare

Sistem cu lungime limitată la coadă. Să considerăm un canal QS cu așteptare, care primește un flux de solicitări cu intensitate; intensitatea serviciului (pentru un canal); numărul de locuri în coadă.

Stările sistemului sunt numerotate în funcție de numărul de solicitări asociate sistemului:

fara coada:

Toate canalele sunt gratuite;

Un canal este ocupat, restul sunt libere;

Canalele sunt ocupate, restul nu;

Toate canalele sunt ocupate, nu există canale libere;

exista o coada:

Toate cele n canale sunt ocupate; o aplicație este în coadă;

Toate cele n canale sunt ocupate, r aplicații sunt în coadă;

Toate cele n canale sunt ocupate, r aplicații sunt în coadă.

GSP este prezentat în Fig. 5.9. Fiecare săgeată este marcată cu intensitățile corespunzătoare ale fluxurilor de evenimente. De-a lungul săgeților de la stânga la dreapta, sistemul este întotdeauna transferat de același flux de cereri cu o intensitate de

Orez. 5.9. QS multicanal cu așteptare

Graficul este tipic pentru procesele de reproducere și moarte, pentru care soluția a fost obținută anterior (5.29)-(5.33). Să scriem expresii pentru probabilitățile limită ale stărilor folosind notația: (aici folosim expresia pentru suma unei progresii geometrice cu numitor).

Astfel, au fost găsite toate probabilitățile de stare.

Să determinăm caracteristicile de performanță ale sistemului.

Probabilitatea de eșec. O cerere primită este respinsă dacă toate canalele și toate locurile din coadă sunt ocupate:

Debitul relativ completează probabilitatea de eșec la unul:

Debit absolut al QS:

Numărul mediu de canale ocupate. Pentru QS cu refuzuri, acesta a coincis cu numărul mediu de cereri din sistem. Pentru un QS cu o coadă, numărul mediu de canale ocupate nu coincide cu numărul mediu de aplicații din sistem: ultima valoare diferă de prima prin numărul mediu de aplicații din coadă.

Să notăm numărul mediu de canale ocupate cu . Fiecare canal ocupat servește o medie a cererilor pe unitatea de timp, iar QS în ansamblu deservește o medie a cererilor pe unitatea de timp. Împărțind unul la altul, obținem:

Numărul mediu de cereri dintr-o coadă poate fi calculat direct ca așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete:

Din nou (expresia dintre paranteze) apare derivata sumei progresiei geometrice (vezi mai sus (5.50), (5.51)-(5.53)), folosind relația pentru aceasta, obținem:

Numărul mediu de aplicații în sistem:

Timp mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă. Să luăm în considerare o serie de situații care diferă în funcție de starea în care o cerere nou sosită va găsi sistemul și de cât timp va trebui să aștepte pentru service.

Dacă o solicitare nu găsește toate canalele ocupate, nu va trebui să aștepte deloc (termenii corespunzători din așteptarea matematică sunt egali cu zero). Dacă o solicitare ajunge într-un moment în care toate canalele sunt ocupate și nu există coadă, va trebui să aștepte în medie un timp egal cu (deoarece „fluxul de lansări” de canale are o intensitate de ). Dacă o aplicație găsește toate canalele ocupate și o aplicație în fața ei în coadă, va trebui să aștepte în medie o perioadă de timp (pentru fiecare aplicație din față), etc. Dacă o aplicație se găsește într-o coadă de aplicații , va trebui să aștepte în medie o perioadă de timp . Dacă o aplicație nou sosită găsește deja aplicații în coadă, atunci nu va aștepta deloc (dar nu va fi deservită). Găsim timpul mediu de așteptare înmulțind fiecare dintre aceste valori cu probabilitățile corespunzătoare:

La fel ca și în cazul unui QS cu un singur canal cu așteptare, observăm că această expresie diferă de expresia pentru lungimea medie a cozii (5,59) doar prin factorul , i.e.

Timpul mediu de rezidență al unei cereri în sistem, precum și al unui QS cu un singur canal, diferă de timpul mediu de așteptare cu timpul mediu de serviciu înmulțit cu debitul relativ:

Sisteme cu lungime nelimitată la coadă. Am considerat un canal QS cu așteptare, când nu pot fi în coadă mai mult de cereri în același timp.

La fel ca înainte, atunci când se analizează sisteme fără restricții, este necesar să se ia în considerare relațiile obținute pentru .

Obținem probabilitățile stărilor din formulele (5.56) trecând la limita (la ). Rețineți că suma progresiei geometrice corespunzătoare converge la și diverge la . Presupunând că și direcționând valoarea lui m către infinit în formulele (5.56), obținem expresii pentru probabilitățile limită ale stărilor:

Probabilitatea de eșec, debit relativ și absolut. Deoarece fiecare cerere va fi deservită mai devreme sau mai târziu, caracteristicile debitului QS vor fi:

Obținem numărul mediu de aplicații din coadă de la (5,59):

iar timpul mediu de așteptare este de la (5,60):

Numărul mediu de canale ocupate, ca și înainte, este determinat prin debitul absolut:

Numărul mediu de aplicații asociate cu QS este definit ca numărul mediu de aplicații din coadă plus numărul mediu de aplicații aflate în serviciu (numărul mediu de canale ocupate):

Exemplul 5.7. O benzinărie cu două pompe () deservește un flux de mașini cu intensitate (mașini pe minut). Timp mediu de service pe mașină

Nu există altă benzinărie în zonă, așa că șirul de mașini din fața benzinăriei poate crește aproape nelimitat. Găsiți caracteristicile QS.

Din moment ce , coada nu crește la infinit și este logic să vorbim despre modul de funcționare staționar limitator al QS. Folosind formulele (5.61) găsim probabilitățile stărilor:

Vom găsi numărul mediu de canale ocupate împărțind debitul absolut al QS la intensitatea serviciului:

Probabilitatea să nu fie coadă la o benzinărie va fi:

Numărul mediu de mașini în coadă:

Numărul mediu de mașini la benzinării:

Timp mediu de așteptare la coadă:

Timpul mediu pe care îl petrece o mașină la o benzinărie:

QS cu timp de așteptare limitat. Anterior, am considerat sisteme cu așteptare limitată doar de lungimea cozii (numărul de aplicații simultan în coadă). Într-un astfel de QS, o aplicație, odată plasată într-o coadă, nu o părăsește până nu așteaptă service-ul. În practică, există și alte tipuri de QS în care o aplicație, după ce a așteptat ceva timp, poate părăsi coada (așa-numitele aplicații „nerăbdătoare”).

Să considerăm un QS de acest tip, presupunând că constrângerea timpului de așteptare este o variabilă aleatorie.

Să presupunem că există un canal QS cu așteptare, în care numărul de locuri în coadă nu este limitat, dar timpul în care o aplicație rămâne în coadă este o variabilă aleatorie cu valoarea medie, astfel, pentru fiecare aplicație aflată în coada, un fel de „flux de plecări” Poisson acţionează » cu intensitatea aplicaţiilor, stau la coadă etc.

Graficul stărilor și tranzițiilor sistemului este prezentat în Fig. 5.10.

Orez. 5.10. QS cu timp de așteptare limitat

Să marchem acest grafic ca înainte; toate săgețile care conduc de la stânga la dreapta vor indica intensitatea fluxului de aplicații. Pentru statele fără coadă, săgețile care duc de la ele de la dreapta la stânga vor indica, ca și înainte, intensitatea totală a fluxului care deservește toate canalele ocupate. În ceea ce privește stările cu coadă, săgețile care duc de la ele de la dreapta la stânga vor indica intensitatea totală a fluxului de serviciu al tuturor canalelor plus intensitatea corespunzătoare a fluxului de plecări din coadă. Dacă există aplicații în coadă, atunci intensitatea totală a fluxului de plecări va fi egală cu .

După cum se poate observa din grafic, există un model de reproducere și moarte; Folosind expresii generale pentru probabilitățile limită ale stărilor din această schemă (folosind notație abreviată), scriem:

Să notăm câteva caracteristici ale unui QS cu așteptare limitată în comparație cu QS-ul considerat anterior cu cereri „pacient”.

Dacă lungimea cozii nu este limitată și cererile sunt „răbdătoare” (nu părăsiți coada), atunci regimul limită staționar există doar în cazul (la , progresia geometrică infinită corespunzătoare diverge, ceea ce corespunde fizic unei creșteri nelimitate al cozii de la ).

Dimpotrivă, într-un QS cu clienți „nerăbdători” care părăsesc coada mai devreme sau mai târziu, modul de service stabilit la se realizează întotdeauna, indiferent de intensitatea redusă a fluxului de clienți, fără a însuma seria infinită (5.63). Din (5.64) obținem:

iar numărul mediu de canale ocupate incluse în această formulă poate fi găsit ca așteptarea matematică a unei variabile aleatoare care ia valori cu probabilități:

În concluzie, observăm că dacă în formulele (5.62) mergem la limita la (sau, ceea ce este același, la ), atunci la obținem formulele (5.61), adică aplicațiile „nerăbdătoare” vor deveni „răbdătoare”.

QS multicanal cu coadă nelimitată

Să luăm în considerare problema. Disponibil QS cu canale n cu coadă nelimitată. Fluxul de cereri care intră în QS are intensitatea l, iar fluxul de servicii are intensitatea m. Este necesar să se găsească probabilitățile limitative ale stărilor QS și indicatorii eficacității acestuia.

Sistemul poate fi în una dintre stările S0, S1, S2, ..., Sk .., Sn, ..., numerotate în funcție de numărul de solicitări din QS: S0 -- nu există cereri în sistem (toate canalele sunt gratuite); S -- un canal este ocupat, restul sunt libere; S2-- două canale sunt ocupate, restul sunt libere; Sk -- k canale sunt ocupate, restul sunt libere; Sn -- toate cele n canale sunt ocupate (fără coadă); Sn+1 -- toate cele n canale sunt ocupate, există o cerere în coadă; Sn+r -- toate cele n canale sunt ocupate, r aplicații sunt în coadă.

Graficul stării sistemului este prezentat în Figura 7. Să observăm că, spre deosebire de QS-ul precedent, intensitatea fluxului de serviciu (transferând sistemul dintr-o stare în alta de la dreapta la stânga) nu rămâne constantă, ci ca numărul de cererile în QS crește de la 0 la n crește de la m la n??, deoarece numărul de canale de servicii crește în mod corespunzător. Când numărul de cereri din QS este mai mare decât n, intensitatea fluxului de servicii rămâne egală cu nm.

Figura 7 - Graficul de stare al unui QS multicanal

Se poate arăta că pentru c/n< 1 предельные вероятности существуют. Если с/n ? 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (20) и (21) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью

Probabilitatea ca o aplicație să fie în coadă este

Pentru un QS cu canale n cu o coadă nelimitată, folosind tehnici anterioare, se pot găsi:

numărul mediu de canale ocupate

numărul mediu de aplicații din sistem

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în coadă și timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem, ca și înainte, sunt găsite folosind formulele lui Little (48) și (49).

Cometariu. Pentru un QS cu o coadă nelimitată cu< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк = 0, Q=1, а равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = л.

QS cu coadă limitată

Întrebările cu o coadă limitată diferă doar prin aceea că numărul de aplicații din coadă este limitat (nu poate depăși un anumit m specificat). Dacă o nouă solicitare sosește într-un moment în care toate locurile din coadă sunt ocupate, aceasta lasă QS-ul neservit, de exemplu. este respins.

QS cu un singur canal cu lungime limitată la coadă

Limită probabilități:

Probabilitatea de eșec:

Debit absolut

Lățimea de bandă relativă

Numărul mediu de aplicații în coadă

Număr mediu de solicitări în serviciu (număr mediu de canale ocupate)

Numărul mediu de aplicații în sistem

QS multicanal cu coadă limitată

Limită probabilități:

Probabilitatea de eșec:

Debit absolut

Lățimea de bandă relativă

Numărul mediu de aplicații în coadă

Număr mediu de solicitări în serviciu (număr mediu de canale ocupate)