Тези вероятности изразяват средния брой заети канали

=П 1 + 2П 2 +…+n(P n +P n+ 1 +...+Ps)или

=P 1 + 2П 2 +...+(n- 1)Pn- 1 +n( 1-П 0 -П 1 -…-П n-1 ).

Чрез намираме абсолютната честотна лента на системата:

както и средния брой приложения в системата

М=s- =s- .

Пример 1. Входът на триканален QS с повреди получава поток от приложения с интензитет \u003d 4 заявки в минута, време за обслужване на приложение от един канал Tобслужване =1/μ =0,5 мин. Изгодно ли е от гледна точка на пропускателната способност на QS да се принудят и трите канала да обслужват приложения наведнъж, а средното време за обслужване се намалява с фактор три? Как това ще повлияе на средното време, което едно приложение прекарва в CMO?

Решение.Намираме вероятността за престой на триканален QS по формулата

ρ = /μ=4/2=2, n=3,

P 0 = = = 0,158.

Вероятността за повреда се определя по формулата:

P otk \u003d P н ==

П otk = 0,21.

Относителна производителност на системата:

P услуга = 1-Р отк 1-0,21=0,79.

Абсолютна честотна лента на системата:

A= P услуга 3,16.

Средният брой заети канали се определя по формулата:

1.58, делът на каналите, заети от услугата,

р = 0,53.

Средното време на престой на приложение в QS се намира като вероятността приложението да бъде прието за обслужване, умножена по средното време за обслужване: t QS 0,395 мин.

Комбинирайки всичките три канала в един, получаваме едноканална система с параметри μ= 6, ρ= 2/3. За едноканална система вероятността за прекъсване е:

Р 0 = = =0,6,

вероятност за повреда:

P отворен =ρ P 0 = = 0,4,

относителна производителност:

P услуга = 1-Р отк =0,6,

абсолютна честотна лента:

A=Pуслуга = 2.4.

t CMO = R услуга= =0,1 мин.

В резултат на комбинирането на канали в едно пропускателната способност на системата е намаляла, тъй като вероятността от повреда се е увеличила. Средното време на престой на приложение в системата е намаляло.

Пример 2. Входът на триканален QS с неограничена опашка получава поток от заявки с интензитет =4 заявки на час, средно време за обслужване на една заявка T=1/μ=0,5 ч. Намерете показателите за работа на системата.

За разглежданата система н =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /µ=2, ρ/ н =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

P= .

П 0 = =1/9.

Средният брой заявления в опашката се намира по формулата:

Л =.

Л = = .

Средното време за изчакване на заявка на опашката се изчислява по формулата:

T= = 0,22 часа.

Средно време на престой на приложение в системата:

T=t+ 0,22+0,5=0,72.

Пример 3. Във фризьорския салон работят 3 майстори, а в чакалнята има 3 стола. Потокът от клиенти е интензивен =12 клиента на час. Средно време за обслужване Tуслуга = 20 мин. Определете относителната и абсолютната производителност на системата, средния брой заети места, средната дължина на опашката, средното време, което клиентът прекарва във фризьора.

За тази задача н =3, м =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. Вероятността за престой се определя по формулата:

Р 0 =.

П 0 = 0,012.

Вероятността за отказ на услуга се определя по формулата

P otk \u003d P n + m \u003d .

П отворен =P n + м 0,307.

Относителна пропускателна способност на системата, т.е. Вероятност за обслужване:

P услуга =1-P отворено 1-0,307=0,693.

Абсолютна честотна лента:

A= P услуга 12 .

Среден брой заети канали:

.

Средната дължина на опашката се определя по формулата:

Л =

L= 1,56.

Средно време на чакане за услуга на опашка:

T= h.

Среден брой кандидатури в CMO:

M=L + .

Средно време на престой на приложение в CMO:

T=M/ 0.36 ч

Пример 4. Работникът обслужва 4 машини. Всяка машина се проваля с интензивност =0,5 повреди на час, средно време за ремонт t rem\u003d 1 / μ \u003d 0,8 ч. Определете пропускателната способност на системата.

Този проблем разглежда затворен QS, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Вероятността за престой на работника се определя по формулата:

Р 0 =.

П 0 = .

Вероятност за наемане на работник R zan = 1-P 0 . A=( 1-П 0 )μ =0,85μ машини на час.

Задача:

Двама работници обслужват група от четири машини. Спиранията на работеща машина се случват средно след 30 минути. Средното време за настройка е 15 минути. Времето за работа и времето за настройка се разпределят експоненциално.

Намерете средния дял от свободното време за всеки работник и средното време, през което машината работи.

Намерете същите характеристики за система, където:

а) на всеки работник се заделят две машини;

б) двама работници винаги обслужват машината заедно и с двойна интензивност;

в) единствената дефектна машина се обслужва от двамата работници наведнъж (с двойна интензивност), а когато се появи поне още една дефектна машина, те започват да работят отделно, като всеки обслужва една машина (първо опишете системата от гледна точка на смъртта и процеси на раждане).

Решение:

Възможни са следните състояния на системата S:

S 0 - всички машини са изправни;

S 1 - 1 машина е в ремонт, останалите са изправни;

S 2 - 2 машината е в ремонт, останалите са в добро състояние;

S 3 - 3 машината е в ремонт, останалите са в добро състояние;

S 4 - 4 машината е в ремонт, останалите са в добро състояние;

S 5 - (1, 2) машините са в ремонт, останалите са в добро състояние;

S 6 - (1, 3) машини са в ремонт, останалите са в добро състояние;

S 7 - (1, 4) машини са в ремонт, останалите са в добро състояние;

S 8 - (2, 3) машини са в ремонт, останалите са в добро състояние;

S 9 - (2, 4) машини са в ремонт, останалите са в добро състояние;

S 10 - (3, 4) машини са в ремонт, останалите са в добро състояние;

S 11 - (1, 2, 3) машини са в ремонт, 4 машината е изправна;

S 12 - (1, 2, 4) машини са в ремонт, 3 машината е изправна;

S 13 - (1, 3, 4) машини са в ремонт, 2 машината е изправна;

S 14 - (2, 3, 4) машини са в ремонт, 1 машина е изправна;

S 15 - всички машини са ремонтирани.

Графика на състоянието на системата…

Тази система S е пример за затворена система, тъй като всяка машина е потенциално изискване, което се превръща в реално в момента на повреда. Докато машината работи, тя е в блока за забавяне, а от момента на повредата до края на ремонта е в самата система. Всеки работник е обслужващ канал.

Ако работникът е зает, той настройва μ-машини за единица време, пропускателната способност на системата:

Отговор:

Средният дял на свободното време за всеки работник е ≈ 0,09.

Средно време на работа на машината ≈ 3,64.

а) На всеки работник са назначени две машини.

Вероятността за престой на работника се определя по формулата:

Вероятност за наемане на работник:

Ако работникът е зает, той настройва μ-машини за единица време, пропускателната способност на системата:

Отговор:

Средният дял на свободното време за всеки работник е ≈ 0,62.

Средното време на машината ≈ 1.52.

б) Двама работници винаги обслужват машината заедно и с двойна интензивност.

в) Единствената дефектна машина се обслужва от двамата работници наведнъж (с двоен интензитет), а когато се появи поне още една дефектна машина, те започват да работят отделно, като всеки обслужва една машина (първо опишете системата от гледна точка на смъртта и процеси на раждане).

Сравнение на 5 отговора:

Най-ефективният начин за организиране на работниците на машините ще бъде първоначалната версия на проблема.

По-горе бяха разгледани примери за най-простите системи за масово обслужване (QS). Понятието "просто" не означава "елементарно". Математическите модели на тези системи са приложими и успешно използвани в практически изчисления.

Възможността за прилагане на теорията на решенията в системите за масово обслужване се определя от следните фактори:

1. Броят на приложенията в системата (която се счита за QS) трябва да бъде достатъчно голям (масово).

2. Всички приложения, влизащи в QS входа, трябва да бъдат от един и същи тип.

3. За изчисления с помощта на формули е необходимо да се познават законите, които определят получаването на заявления и интензивността на тяхната обработка. Освен това потоците на приложението трябва да са на Поасон.

4. Структура на QS, т.е. наборът от входящи изисквания и последователността на обработка на заявлението трябва да бъдат строго фиксирани.

5. Необходимо е субектите да бъдат изключени от системата или да бъдат описани като изисквания с постоянен интензитет на обработка.

Към изброените по-горе ограничения може да се добави още едно, което оказва силно влияние върху размерността и сложността на математическия модел.

6. Броят на използваните приоритети трябва да бъде сведен до минимум. Приоритетите на приложенията трябва да са постоянни, т.е. те не могат да се променят по време на обработка в QS.

В хода на работата беше постигната основната цел - беше изучен основният материал „QS с ограничено време на изчакване“ и „Затворен QS“, зададен от преподавателя по учебната дисциплина. Запознахме се и с приложението на придобитите знания на практика, т.е. консолидира покрития материал.

1) http://www.5ballov.ru.

2) http://www.studentport.ru.

3) http://vse5ki.ru.

4) http://революция..

5) Фомин Г.П. Математически методи и модели в търговската дейност. М: Финанси и статистика, 2001.

6) Гмурман В.Е. Теория на вероятностите и математическа статистика. М: Висше училище, 2001.

7) Советов B.A., Яковлев S.A. Системно моделиране. М: Висше училище, 1985.

8) Lifshits A.L. Статистическо моделиране на QS. М., 1978.

9) Wentzel E.S. Оперативни изследвания. М: Наука, 1980.

10) Вентцел Е.С., Овчаров Л.А. Теория на вероятностите и нейните инженерни приложения. М: Наука, 1988.

Помислете за многоканален QS (П> 1), чийто вход получава Поасонов поток от заявки с интензитет и интензитетът на услугата на всеки канал е p, максималният възможен брой места в опашката е ограничен от стойността T.Дискретните състояния на QS се определят от броя на заявките, получени от системата, които могат да бъдат записани:

Sq - всички канали са безплатни, к = 0;

С-само един канал е зает (всеки), к = 1;

*5*2 - заети са само два канала (всеки), к = 2;

S n- всички са заети Пканали, k = p.

Докато QS е в някое от тези състояния, няма опашка. След като всички канали за обслужване са заети, следващите заявки образуват опашка, като по този начин определят по-нататъшното състояние на системата:

S n + -всички са заети Пканали и едно приложение е на опашката, к = П + 1;

С n +2 - всички са заети Пканали и две приложения са в опашката, к = П + 2;

Sn+m -всички са заети Пвъжета и всичко останало Tместа в ред k = n + m.

I-канал на графика на състоянието CMOс опашка,ограничен Tместа, показани на фиг. 5.18.

Преминаването на QS към състояние с по-високи числа се определя от потока от входящи заявки с интензитет

Ориз. 5.18

като има предвид, че по условие връчването на тези искания се посещава от Пидентични канали с дебит на услугата, равен на p за всеки канал. В същото време общата интензивност на потока услуги се увеличава с свързването на нови канали до такова състояние S n,когато всички Пканалите ще бъдат заети. С появата на опашката интензивността на услугата вече не се увеличава, тъй като вече е достигнала максималната стойност, равна на тел.

Нека напишем изрази за граничните вероятности на състоянията

Изразът за rho може да бъде преобразуван с помощта на формулата за геометрична прогресия за сумата от членове със знаменател p /P:

Формирането на опашка е възможно, когато новопостъпила заявка се намира в системата поне Пизисквания, т.е. кога системата ще бъде p, p + 1, П + 2, (П + T- 1) изисквания. Тези събития са независими, така че вероятността всички канали да са заети е равна на сумата от съответните вероятности r u Rp + rp +2 > ->Rp+t- 1- Следователно вероятността за формиране на опашка е

Вероятността от отказ на услуга възниква, когато всички Пканали и всичко останало Tместата на опашката са заети

Относителната производителност ще бъде равна на

Абсолютна честотна лента

Средно заети канали

Средно неактивни канали

Степен на заетост (използване) на каналите

Коефициент на празен ход на канала

Средният брой заявления в опашките,

ако r/n = 1, тази формула приема различна форма:

Средното време на чакане на опашката се определя по формулите на Литъл

Средното време на престой на приложение в QS, както за едноканален QS, е по-голямо от средното време на изчакване в опашката със средното време за обслужване, равно на 1/p, тъй като приложението винаги се обслужва само от един канал :

Пример 5.21. Минимаркетът приема клиентопоток с интензитет от 6 клиента в минута, които се обслужват от трима касиери-контрольори с интензитет от 2 клиента в минута. Дължината на опашката е ограничена до пет клиента. Определете характеристиките на QS и оценете неговата ефективност.

Решение

n = 3; T = 5; X=6; р = 2; p =x/x = 3; r/n = 1.

Намираме граничните вероятности на QS състояния:

Дял на престой на контрольори-касиери

Вероятността само един канал да е зает

Вероятността два канала да са заети с обслужване

Вероятността и трите канала да са заети е

Вероятността и трите канала и петте места в опашката да са заети е

Вероятността от отказ на услуга възниква, когато k=t+n== 5 + 3 = 8 и е p$ = p OTK = 0,127.

Относителната и абсолютната производителност на QS са съответно равни на Q = 1 - r отк= 0,873 и L = 0,873А. = 5,24 (купувач/мин).

Средният брой заети канали и средната дължина на опашката са:

Средното време на чакане в опашката n престой съответно в QS е равно на:

Системата за обслужване на минимаркет заслужава висока оценка, тъй като средната дължина на опашката, средното време, прекарано от купувача на опашката, са малки.

Пример 5.22. Средно след 30 минути колите с плодово-зеленчукова продукция пристигат в плодово-зеленчуковата база. Средното време за разтоварване на един камион е 1,5 ч. Разтоварването се извършва от два екипа товарачи. На територията на базата на площадката за кацане не могат да стоят повече от четири превозни средства в опашка за разтоварване. Нека да определим показателите и да дадем оценка на работата на QS.

Решение

SMO двуканален, П= 2 с ограничен брой места в опашката м= 4, интензитетът на входящия поток l. \u003d 2 авто / ч, интензивност на обслужване c \u003d 2/3 авто / ч, интензивност на натоварване p \u003d A. / p \u003d 3, r/n = 3/2 = 1,5.

Ние определяме характеристиките на QS:

Вероятността всички екипажи да не са натоварени, когато няма превозни средства,

Вероятността за отказ, когато има две коли в процес на разтоварване и четири коли в опашката,

Среден брой коли на опашка

Делът на времето на престой на товарачите е много малък и възлиза само на 1,58% от работното време, а вероятността за отказ е висока - 36% от получените заявления получават отказ за разтоварване, двата екипа са почти напълно заети, нивото на заетост е близка до единица и е равна на 0,96, относителната пропускателна способност е ниска - само 64% ​​от броя на получените заявления ще бъдат обслужени, средната дължина на опашката е 2,6 превозни средства, следователно CM O ns не могат да се справят с изпълнението на заявки за сервиз и е необходимо да се увеличи броят на товарачните екипи и да се използва повече площадката.

Пример 5.23. Търговска фирма получава ранни зеленчуци от оранжериите на крайградска държавна ферма в произволни моменти с интензивност от 6 единици. в един ден. Помощни помещения, оборудване и трудови ресурси позволяват обработка и съхранение на продукти в размер на 2 единици. Във фирмата работят четирима души, всеки от които средно може да обработи продуктите от една доставка в рамките на 4 часа.Работният ден при работа на смени е 12 часа.Какъв трябва да бъде капацитетът на склада, за да може цялостната обработка на продуктите да са поне 97% от доставките?

Решение

Нека решим проблема, като последователно определим QS показателите за различни стойности на капацитета на склада T= 2, 3, 4, 5 и т.н. и сравнение на всеки етап от изчисляването на вероятността за обслужване с дадена стойност p 0 () C = 0,97.

Определяме интензивността на натоварването:

Намерете вероятността или част от времето за неактивност за t = 2:

Вероятността от отказ на услуга или делът на загубените приложения,

Вероятността за обслужване или делът на обслужените заявки от получените е

Тъй като получената стойност е по-малка от дадената стойност от 0,97, продължаваме изчисленията за T= 3. За тази стойност индикаторите на QS състоянията имат стойностите

Вероятността за обслужване в този случай също е по-малка от дадената стойност, така че продължаваме изчисленията за следващия t = 4, за които индикаторите за състояние имат следните стойности: p$ = 0,12; Rotk = 0,028; pofc= 0,972. Сега получената стойност на вероятността за обслужване удовлетворява условието на проблема, тъй като 0,972 > 0,97, следователно капацитетът на склада трябва да се увеличи до обем от 4 единици.

За постигане на дадена вероятност за обслужване е възможно по същия начин да се избере оптимален брой хора в обработката на зеленчуци, като последователно се изчислят QS показателите за n = 3, 4, 5 и т.н. Компромисно решение може да се намери чрез сравняване и контрастиране на разходите, свързани както с увеличаването на броя на служителите, така и със създаването на специално технологично оборудване за преработка на зеленчуци в търговско предприятие за различни възможности за организации на ООП.

По този начин моделите за опашка в комбинация с икономически методи за задаване на задачи позволяват да се анализират съществуващи QS, да се разработят препоръки за тяхната реорганизация за подобряване на производителността, както и да се определи оптималната производителност на новосъздадените QS.

Пример 5.24. Средно девет коли пристигат на автомивка на час, но ако вече има четири коли на опашка, новите клиенти по правило не се редят на опашка, а минават. Средното време за измиване на колата е 20 минути, а местата за измиване са само две. Средната цена на автомивка е 70 рубли. Определете средната загуба на приходи от автомивка през деня.

Решение

х= 9 авто/ч; = 20 минути; n = 2; t = 4.

Намиране на интензивността на натоварването Определяне на дела на времето за престой на автомивка

Вероятност за повреда

Относителната пропускателна способност е Абсолютна пропускателна способност Средният брой коли в опашката

Средният брой приложения в услуга,

Средно време на чакане на опашка

Средно време за измиване на автомобила

Така 34% от заявките няма да бъдат обслужени, загубата за 12 часа работа на един ден ще бъде средно 2570 рубли. (12*9* 0,34 70), т.е. 52% от всички приходи, защото p otk = 0,52 p 0 ^ s.

• относителна пропускателна способност или вероятност за обслужване, абсолютна пропускателна способност среден брой наетите екипажи коефициент на заетост от работата на екипажите за товарачи

Системи за изчакване с неограничен вход

Формули за изчисление
Вероятност всички канали да са свободни

Среден брой заети колони:
N zan \u003d n-N 0 \u003d 2- (2 p 0 +1 p 1) = 2-2 0,1111 - 0,1778 \u003d 1,6
Вероятност да няма опашка на бензиностанцията:

Вероятността да се наложи да изчакате услугата да започне е равна на вероятността всички колони да са заети:
p0 +p1 +p2 = 0,1111+0,1778+0,1422 = 0,4311
Среден брой коли на опашката:

• С 0 – каналът е свободен;
• С 1 – каналът е зает;
• С 2 – каналът е зает, една заявка е в опашката;
• Ск– каналът е зает, (k–1) заявки в опашката;
• См+ 1 - каналът е зает, на опашка мприложения.

Ориз. 25
Използвайки формулите на Erlang, намираме вероятностите за събития, в които QS е в състояние С 1 , С 2 , …, С m+1:
(28)

В този случай вероятността иск, пристигащ в системата, да го намери свободен е равна на
. (29)
Отношението на интензивността на получаване на заявки λ към интензивността на обслужване на заявки μ е намалената интензивност μ, т.е.

ρ=λ/μ
Нека заменим отношението λ/&mu с ρ във формули (28) и (29), тогава изразите ще приемат формата:

(30)
Вероятност Р 0 ще се изчисли по следната формула:
p 0 = -1. (31)
Израз за вероятност П 0 е геометрична прогресия, чиято сума ще бъде равна на

.
По този начин формулите (30) и (31) позволяват да се определи вероятността за всяко събитие, което може да се случи в системата, т.е. да се определи вероятността системата да бъде във всяко състояние.
Формула за П 0 важи за случая, когато ρ ≠ 1 . В случай, когато ρ = 1, т.е. интензивността на получаване на заявки е равна на интензивността на тяхното обслужване, се използва друга формула за изчисляване на вероятността системата да е свободна:

,
където m е броят на приложенията в опашката.

Да дефинираме работни характеристики на едноканален QS:

• вероятността следващата заявка, пристигнала в системата, да бъде отхвърлена Ротворен;
• абсолютна производителност А,
• относителна производителност Q,
• брой заети канали k,
• среден брой заявки в опашка r,
• среден брой приложения, свързани с QS, z .

Следващата заявка, която влезе в системата, се отхвърля, когато каналът е зает, т.е. обслужва се друга заявка и това е. мместата на опашката също са заети. тогава вероятността за това събитие може да се изчисли по следната формула:

. (32)
Вероятността дадено приложение да влезе в системата и или да бъде обслужено веднага, или да има места в опашката, т.е. относителната пропускателна способност, може да се намери по формулата

. (33)
Средният брой приложения, които могат да бъдат обслужени за единица време, т.е. абсолютната производителност, се изчислява, както следва:

A=Q λ (34)
По този начин формулите (32), (33), (34) могат да се използват за изчисляване на основните показатели за ефективност за всяка система за масово обслужване. сега извличаме изрази за изчисляване на характеристиките, присъщи само на тази QS.
Средният брой заявки в опашката r се определя като математическото очакване на дискретна случайна променлива, където Р- броя на заявките в опашката.
♦ Р 2 е вероятността в опашката за обслужване да има едно приложение;
♦ Р 3 е вероятността да има две заявки в опашката;
♦ Рке вероятността да има приложение в опашката (k–1);
♦ Рм+ 1 е вероятността в опашката да има m заявки.
Тогава средният брой заявки в опашката може да се изчисли, както следва:
r =1 P 2 +2 P 3 + ... +(k-1) P k + ... + m P m+1 . (35)
Нека заместим във формула (35) предварително намерените вероятности, изчислени във формула (30):
r =1 ρ 2 p 0 +2 ρ 3 p 0 + ... +(k-1) ρ k p 0 + ... +m ρ m+1 p 0 . (35)
Нека разложим вероятността П 0 и Р 2 , тогава получаваме крайната формула за изчисляване на средния брой приложения в опашката за обслужване:
r =ρ 2 p 0 (1+2 ρ+ ... +(k-1) ρ k-2 + ... +m ρ m-1)
Нека изведем формула за средния брой приложения, свързани с QS, z, т.е. броя на приложенията в опашката, които се обслужват. Разгледайте общия брой заявки, свързани с QS, z, като сумата от две стойности на средния брой заявки в опашката r и броя на заетите канали k:

z = r + k.
Тъй като има само един канал, броят на заетите канали k може да приеме стойности 0 или 1. Вероятността k = 0, т.е. системата е свободна, съответства на вероятността P 0 , чиято стойност може да се намери по формула (31). Ако k = 1, т.е. каналът е зает с обслужването на заявката, но все още има места в опашката, тогава вероятността за това събитие може да се изчисли по формулата

.
Следователно z ще бъде равно на:

. (37)

Едноканален QS с изчакване

Едноканална система с неограничена опашка

За да определим граничните вероятности на състоянията, използваме формули (16), (17) за процеса на смърт и размножаване (тук допускаме известна липса на строгост, тъй като тези формули бяха получени преди това за случая на краен брой система държави). Вземи (32)
Тъй като ограничаващите вероятности съществуват само за ρ< 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
p 0 =1-ρ, (33)
и като се вземат предвид отношенията (17)
p 1 \u003d p p 0; p 2 \u003d p 2 p 0; ... ; p k =ρ k p 0; ...
намерете граничните вероятности на други състояния
p 1 =ρ·(1-ρ); p 2 =ρ 2 (1-ρ); ... ; p k =ρ k ·(1-ρ); ... (34)
Граничните вероятности p 0 , p 1 , p 2 , …, p k ,… образуват намаляваща геометрична професия със знаменател p< 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Средният брой приложения в системата L сист. определяме с формулата на математическото очакване, която, като вземем предвид (34), приема формата
(35)
(сумиране от 1 до ∞, тъй като нулевият член 0·p 0 =0).
Може да се покаже, че формула (35) се трансформира (за ρ< 1) к виду
(36)
Намерете средния брой приложения в опашката L och. Очевидно е, че
L точки \u003d L система -L около (37)
където L около. - среден брой приложения в процес на обслужване.
Средният брой обслужвани заявки се определя по формулата на математическото очакване на броя на обслужваните заявки, която приема стойности 0 (ако каналът е свободен) или 1 (ако каналът е зает):
L точки \u003d 0 p 0 +1 (1-p 0)
тези. средният брой обслужвани заявки е равен на вероятността каналът да е зает:
L och \u003d P zan \u003d 1-p 0, (38)
сила (33)
L och \u003d P zan ρ, (39)
Сега, съгласно формула (37), като се вземат предвид (36) и (39),
(40)
Доказа това за всякакъв характер на потока от приложения, за всяко разпределение на времето за обслужване, за всяка дисциплина на обслужване, средното време на престой на приложение в системата (опашката) е равно на средния брой приложения в системата (в опашката ), разделено на интензивността на потока от приложения,тези.
(41)
(42)
Формули (41) и (42) се наричат Формулите на Литъл.Те произтичат от факта, че в ограничителния стационарен режим средният брой клиенти, пристигащи в системата, е равен на средния брой клиенти, които я напускат:и двата потока от приложения имат еднакъв интензитет λ.
Въз основа на формули (41) и (42), като се вземат предвид (36) и (40), средното време на престой на приложение в системата се определя по формулата:
(43)
и средното време, което едно приложение прекарва в опашката
(44)

Едноканален QS с изчакване без ограничение на капацитета на изчакващия блок

Пример 3.3.Нека си припомним ситуацията, разгледана в пример 3.2, където става дума за функционирането на диагностичния пост. Нека разглежданият диагностичен пост има неограничен брой паркинги за автомобили, пристигащи за обслужване, т.е. дължината на опашката не е ограничена.
Необходимо е да се определят крайните стойности на следните вероятностни характеристики:

• вероятности за състояния на системата (диагностичен пост);
• среден брой автомобили в системата (в услуга и на опашка);
• средната продължителност на престоя на автомобила в системата (в сервиз и на опашка);
• среден брой автомобили в сервизната опашка;
• средната продължителност на времето, което превозното средство прекарва на опашка.

Решение
1. Параметърът на сервизния поток m и намаленият дебит на автомобила p са определени в пример 3.2:
m = 0,952; р = 0,893.
2. Изчислете граничните вероятности на системата с помощта на формулите
P 0 \u003d 1-ρ \u003d 1-0,893 \u003d 0,107
P 1 \u003d (1-ρ) ρ \u003d (1-0,893) 0,893 \u003d 0,096
P 2 \u003d (1-ρ) ρ 2 \u003d (1-0,893) 2 0,893 \u003d 0,085
P 3 \u003d (1-ρ) ρ 3 \u003d (1-0,893) 3 0,893 \u003d 0,076
P 4 \u003d (1-ρ) ρ 4 \u003d (1-0,893) 4 0,893 \u003d 0,068
P 5 \u003d (1-ρ) ρ 5 \u003d (1-0,893) 5 0,893 \u003d 0,061
и т.н.
Трябва да се отбележи, че P o определя частта от времето, през което диагностичният пост е принуден да бъде неактивен (неактивен). В нашия пример това е 10,7%, тъй като R o= 0,107.
3. Среден брой автомобили в системата (в сервиз и на опашка):
4. Средна продължителност на престой на клиент в системата:

T=л P N

В нашия пример с N = 3 + 1 = 4 и p = 0,893,
m \u003d l P o p 4 \u003d 0,85 0,248 0,8934 0,134 коли на час.
При 12-часов режим на работа на диагностичния пост това е еквивалентно на факта, че диагностичният пост средно на смяна (ден) ще загуби 12 0,134 = 1,6 превозни средства.
Премахването на ограничението за дължината на опашката дава възможност да се увеличи броят на обслужваните клиенти в нашия пример средно с 1,6 превозни средства на смяна (12 часа работа) на диагностичния пост. Ясно е, че решението за разширяване на зоната за паркиране на автомобили, пристигащи на диагностичния пункт, трябва да се основава на оценка на икономическите щети, причинени от загубата на клиенти само с три паркоместа за тези автомобили.

Многоканален QS с неограничена опашка

Системата може да бъде в едно от състоянията S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,…, S n ,…, - номерирани според броя на заявките в QS: S 0 - няма заявки в системата (всички канали са безплатни); S 1 - един канал е зает, останалите са свободни; S 2 - два канала са заети, останалите са свободни;..., S k - k канала са заети, останалите са свободни;..., S n - всички n канала са заети (няма опашка); S n+1 - всички n канала са заети, има една заявка в опашката;..., S n+r - всички са заети нканали, rЗаявленията са на опашка...

Графиката на състоянието на системата е показана на фиг. 9. Нека обърнем внимание на факта, че за разлика от предишния QS, интензивността на потока от услуги (прехвърляне на системата от едно състояние в друго от дясно на ляво) не остава постоянна, но с увеличаване на броя на заявките в QS от 0 до n, той се увеличава от m до nm, тъй като броят на обслужващите канали се увеличава съответно. Когато броят на заявките в QS е по-голям от n, интензивността на обслужващия поток остава равна на nm.

среден брой приложения в опашката
, (50)
среден брой приложения в системата
L syst =L och +ρ, (51)
Средното време на престой на приложение в опашката и средното време на престой на приложение в системата, както преди, се намират с помощта на формулите на Литъл (42) и (41).
Коментирайте.За QS с неограничена опашка за r< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность Q=1, а абсолютната пропускателна способност е равна на интензивността на входящия поток от приложения, т.е. А=л.

QS с ограничена опашка

В най-простите математически модели на такива системи се приема, че дадена поръчка може да бъде в опашката за произволно време, разпределено по експоненциален закон с някакъв параметър υ, т.е. условно можем да приемем, че всеки клиент, който стои на опашката за обслужване, може да напусне системата със скорост υ.
Въз основа на получените резултати за процеса на смърт и размножаване се получават подходящи показатели за ефективността на QS с ограничено време.

В заключение отбелязваме, че на практика често има затворени системи за опашка, в които входящият поток от заявки зависи значително от състоянието на самата QS. Като пример можем да цитираме ситуацията, когато някои машини идват в ремонтната база от местата на работа: ясно е, че колкото повече машини са в състояние на ремонт, толкова по-малко продължават да се използват и толкова по-малка е интензивността на поток от нови машини, пристигащи за ремонт. Затвореният QS се характеризира с ограничен брой източници на заявки и всеки източник е „блокиран“ за продължителността на услугата за заявка (т.е. не издава нови заявки). В такива системи, с краен брой състояния на QS, ограничаващите вероятности ще съществуват за всякакви стойности на интензитетите на заявките и потоците от услуги. Те могат да бъдат изчислени, ако се обърнем отново към процеса на смърт и размножаване.

Нека разгледаме най-простата QS с очакване - едноканална система, която получава поток от заявки с интензивност; интензитет на услугата (т.е. средно непрекъснато зает канал ще издава обслужени заявки за единица (време). Приложение, пристигнало в момента, когато каналът е зает, се поставя на опашка и чака обслужване.

Система с ограничена дължина на опашката. Нека първо приемем, че броят на местата в опашката е ограничен от числото, т.е., ако иск пристигне в момент, когато вече има искове в опашката, той оставя системата необслужена. В бъдеще, отивайки до безкрайност, ще получим характеристиките на едноканален QS без ограничения за дължината на опашката.

Ние ще номерираме QS състоянията според броя на заявките в системата (както обслужени, така и очакващи услуга):

Каналът е безплатен;

Каналът е зает, няма опашка;

Каналът е зает, едно приложение е в опашката;

Каналът е зает, приложенията са в опашката;

Каналът е зает, има тонове приложения в опашката.

GSP е показан на фиг. 5.8. Всички интензитети на потоците от събития, които се предават на системата по стрелките отляво надясно, са еднакви, а отдясно наляво - . Всъщност, според стрелките отляво надясно, системата се прехвърля от потока от заявки (веднага щом пристигне заявка, системата преминава в следващото състояние), отдясно наляво - потокът от „освобождавания“ на зает канал, който има интензитет (веднага след като бъде обслужена следващата заявка, каналът или ще стане свободен, или ще намали броя на приложенията в опашката).

Ориз. 5.8. Едноканален QS с изчакване

Показано на фиг. 5.8 схема е схема на размножаване и смърт. Използвайки общото решение (5.32)-(5.34), ние пишем изрази за граничните вероятности на състояния (виж също (5.40)):

или използвайки:

Последният ред в (5.45) съдържа геометрична прогресия с първи член 1 и знаменател p; откъде получаваме:

във връзка с което пределните вероятности приемат формата:

Изразът (5.46) е валиден само за (защото дава несигурност на формата ). Сумата от геометрична прогресия със знаменател е , и в този случай

Нека дефинираме характеристиките на QS: вероятност за повреда, относителна пропускателна способност, абсолютна пропускателна способност, средна дължина на опашка, среден брой заявки, свързани със системата, средно време на изчакване в опашката, средно време на престой на приложение в QS

Вероятност за повреда. Очевидно заявката се отхвърля само в случай, че каналът е зает и всички m места в опашката също:

Относителна производителност:

Абсолютна честотна лента:

Средна дължина на опашката. Нека намерим средния брой приложения в опашката като математическо очакване на дискретна случайна променлива - броя на приложенията в опашката:

С вероятност има едно приложение в опашката, с вероятност - две приложения, като цяло с вероятност има приложения в опашката и т.н., откъдето:

Тъй като , сумата в (5.50) може да се интерпретира като производна по отношение на сумата на геометрична прогресия:

Замествайки този израз в (5.50) и използвайки от (5.47), накрая получаваме:

Средният брой рекламации в системата. След това получаваме формула за средния брой приложения, свързани със системата (както в опашката, така и в услугата). Тъй като , къде е средният брой заявления в услуга и е известно, остава да се определи . Тъй като има само един канал, броят на обслужваните заявки може да бъде равен (с вероятност ) или 1 (с вероятност ), откъдето:

и средният брой приложения, свързани с QS, е

Средно време за изчакване на приложение на опашката. Нека го обозначим; ако клиентът пристигне в системата в даден момент от времето, тогава с вероятност каналът за обслужване няма да е зает и няма да се налага да стои на опашка (времето за изчакване е нула). С вероятност тя ще влезе в системата по време на обслужване на някаква заявка, но няма да има опашка пред нея и заявката ще изчака началото на услугата си за период от време (средното време за обслужване на една заявка). С вероятност на опашката преди разглежданата заявка ще има още една, а средното време на изчакване ще бъде равно на и т.н.

Ако , т.е. когато новопристигнал клиент установи, че каналът за обслужване е зает и клиентите са на опашка (вероятността това е ), тогава в този случай клиентът не се реди на опашка (и не се обслужва), така че времето за изчакване е нула. Средното време на изчакване ще бъде:

ако заместим тук изразите за вероятностите (5.47), получаваме:

Тук се използват отношения (5.50), (5.51) (производна на геометрична прогресия), както и от (5.47). Сравнявайки този израз с (5.51), забелязваме, че с други думи средното време на изчакване е равно на средния брой заявки в опашката, разделен на интензивността на потока от заявки.

Средно време на престой на заявка в системата. Нека обозначим очакването на случайна променлива - времето, прекарано от приложението в QS, което е сумата от средното време на чакане в опашката и средното време за обслужване. Ако натоварването на системата е 100%, очевидно, иначе

Пример 5.6.Бензиностанция (бензиностанция) е QS с един сервизен канал (една колона).

Площадката на гарата позволява на опашката за зареждане да стоят не повече от три автомобила едновременно. Ако вече има три коли на опашката, следващата кола, която пристига на гарата, не се нарежда. Потокът от автомобили, пристигащи за зареждане, има интензитет (кола в минута). Процесът на зареждане с гориво продължава средно 1,25 минути.

Определете:

вероятност за повреда;

относителен и абсолютен капацитет на бензиностанциите;

среден брой автомобили, чакащи за зареждане с гориво;

среден брой автомобили на бензиностанцията (включително обслужени);

средно време за чакане на автомобил на опашката;

средното време на престой на автомобила на бензиностанцията (включително обслужване).

с други думи, средното време на изчакване е равно на средния брой приложения в опашката, разделен на интензивността на потока от приложения.

Първо откриваме намалената интензивност на потока от приложения:

Съгласно формули (5.47):

Вероятност за повреда.

Относителен капацитет на QS

Абсолютна производителност на QS

Машини на мин.

Средният брой коли на опашката се намира по формулата (5.51)

т.е. средният брой коли, чакащи на опашка за бензиностанция, е 1,56.

Към тази стойност се добавя средният брой автомобили в експлоатация

получаваме средния брой автомобили, свързани с бензиностанцията.

Средно време за чакане на автомобил на опашка по формулата (5.54)

Добавяйки тази стойност, получаваме средното време, което автомобилът прекарва на бензиностанцията:

Системи за неограничено изчакване. В такива системи стойността на m не е ограничена и следователно основните характеристики могат да бъдат получени чрез преминаване към границата в предварително получените изрази (5.44), (5.45) и т.н.

Обърнете внимание, че в този случай знаменателят в последната формула (5.45) е сумата от безкраен брой членове на геометрична прогресия. Тази сума се събира, когато прогресията е безкрайно намаляваща, т.е. когато .

Може да се докаже, че има условие, при което има гранично стационарно състояние в QS с изчакване, в противен случай такъв режим не съществува и опашката ще се увеличава неограничено. Следователно в това, което следва, се приема, че.

Ако , тогава отношенията (5.47) приемат формата:

Ако няма ограничения за дължината на опашката, всяка заявка, която влезе в системата, ще бъде обслужена, следователно,

Получаваме средния брой заявки в опашката от (5.51) за:

Средният брой приложения в системата по формула (5.52) с

Средното време на изчакване се получава от формулата

(5.53) за:

И накрая, средното време на престой на приложение в QS е

Многоканален QS с изчакване

Система с ограничена дължина на опашката. Да разгледаме канал QS с чакане, който получава поток от заявки с интензитет; интензивност на услугата (за един канал); броя на местата в опашката.

Състоянията на системата са номерирани според броя на заявките, свързани от системата:

без опашка:

Всички канали са безплатни;

Един канал е зает, останалите са свободни;

Заети канали, останалите не са;

Всички канали са заети, няма свободни;

има опашка:

Всички n канала са заети; едно приложение е на опашката;

Всички n канала са заети, r заявки са в опашката;

Всички n канала са заети, r заявки са в опашката.

GSP е показан на фиг. 5.9. Всяка стрелка има съответните интензитети на потоците от събития. Според стрелките отляво надясно системата винаги се прехвърля от един и същ поток от заявки с интензитет , според стрелките отдясно наляво системата се прехвърля от обслужващ поток, чийто интензитет е равен на, умножен по броя на заетите канали.

Ориз. 5.9. Многоканален QS с изчакване

Графиката е типична за процесите на размножаване и смърт, за които решението е получено по-рано (5.29)-(5.33). Нека напишем изрази за граничните вероятности на състояния, използвайки нотацията : (тук използваме израза за сумата от геометрична прогресия със знаменател ).

Така се намират всички вероятности на състоянието.

Нека дефинираме характеристиките на ефективността на системата.

Вероятност за повреда. Входяща заявка се отхвърля, ако всички канали и всички места в опашката са заети:

Относителната производителност допълва вероятността за повреда до едно:

Абсолютна производителност на QS:

Среден брой заети канали. За CMO с неуспехи той съвпадна със средния брой приложения в системата. За QS с опашка средният брой на заетите канали не съвпада със средния брой заявки в системата: последната стойност се различава от първата със средния брой заявки в опашката.

Нека обозначим средния брой заети канали. Всеки зает канал обслужва средно заявки за единица време, а QS като цяло обслужва средно заявки за единица време. Разделяйки едно на друго, получаваме:

Средният брой заявки в опашката може да се изчисли директно като математическо очакване на дискретна случайна променлива:

Тук отново (израз в скоби) се появява производната на сумата от геометрична прогресия (виж по-горе (5.50), (5.51) - (5.53)), използвайки съотношението за нея, получаваме:

Среден брой приложения в системата:

Средно време за изчакване на приложение на опашката. Нека разгледаме редица ситуации, които се различават по състоянието, в което новопристигналата заявка ще намери системата и колко време ще трябва да чака за обслужване.

Ако обектът не намери всички канали за заети, той изобщо няма да трябва да чака (съответните членове в математическото очакване са равни на нула). Ако заявката пристигне в момента, когато всички канали са заети и няма опашка, тя ще трябва да изчака средно време, равно на (защото "потокът от освобождавания" на каналите има интензитет ). Ако клиент намери всички канали заети и един клиент пред него в опашката, той ще трябва да изчака средно време (за всеки преден клиент) и т.н. Ако клиент го намери в опашката от клиенти, той ще има да чакат средно време. Ако новопристигнало приложение намери приложения, които вече са в опашката, тогава то изобщо няма да чака (но и няма да бъде обслужено). Намираме средното време на изчакване, като умножим всяка от тези стойности по съответните вероятности:

Точно както в случая на едноканален QS с изчакване, отбелязваме, че този израз се различава от израза за средната дължина на опашката (5.59) само с фактора , т.е.

Средното време на престой на заявка в системата, както и за едноканален QS, се различава от средното време на изчакване със средното време за обслужване, умножено по относителната пропускателна способност:

Системи с неограничена дължина на опашка. Разгледахме QS на канал с изчакване, когато повече заявки не могат да бъдат в опашката по едно и също време.

Както и преди, когато се анализират системи без ограничения, е необходимо да се вземат предвид получените отношения за .

Получаваме вероятностите за състояния от формули (5.56) чрез преминаване към границата (при ). Обърнете внимание, че сумата от съответната геометрична прогресия се събира при и се отклонява при . Приемайки това и насочвайки стойността m към безкрайност във формулите (5.56), получаваме изрази за граничните вероятности на състоянията:

Вероятност за отказ, относителна и абсолютна производителност. Тъй като всяка заявка ще бъде обслужена рано или късно, пропускателните характеристики на QS ще бъдат:

Средният брой заявки в опашката се получава от (5.59):

и средно време на изчакване - от (5.60):

Средният брой на заетите канали, както и преди, се определя по отношение на абсолютната пропускателна способност:

Средният брой клиенти, свързани с QS, се определя като средния брой клиенти в опашката плюс средния брой клиенти в услуга (средния брой заети канали):

Пример 5.7.Бензиностанция с две колони () обслужва потока автомобили със скорост (коли в минута). Средно време за обслужване на машина

В района няма друга бензиностанция, така че опашката от автомобили пред бензиностанцията може да расте почти безкрайно. Намерете характеристиките на QS.

Тъй като , опашката не расте безкрайно и има смисъл да се говори за ограничаващия стационарен режим на QS. По формули (5.61) намираме вероятностите на състоянията:

Намираме средния брой заети канали, като разделим абсолютната пропускателна способност на QS на интензитета на услугата:

Вероятността да няма опашка на бензиностанцията ще бъде:

Среден брой коли на опашката:

Среден брой автомобили на бензиностанциите:

Средно време на чакане на опашка:

Средно време, през което една кола престоява на бензиностанция:

CMO с ограничено време за изчакване. Преди това разглеждахме системи с чакане, ограничени само от дължината на опашката (броя приложения, които са едновременно в опашката). При такъв QS клиент, веднъж поставен на опашка, не я напуска, докато не изчака услугата. В практиката се срещат QS от друг тип, при които приложението след изчакване известно време може да напусне опашката (т.нар. „нетърпеливи“ приложения).

Разгледайте QS от този тип, като приемем, че ограничението на времето за изчакване е случайна променлива.

Да приемем, че има канал QS с чакане, в който броят на местата в опашката не е ограничен, но времето, през което клиентът остава в опашката, е някаква случайна величина със средна стойност » с интензитета на заявките, които стоят в линия и др.

Графиката на състоянията и преходите на системата е показана на фиг. 5.10.

Ориз. 5.10. CMO с ограничено време за изчакване

Нека обозначим тази графика както преди; всички стрелки, водещи отляво надясно, ще имат интензивността на потока от приложения. За състояния без опашка, стрелките, водещи от тях отдясно наляво, както и преди, ще имат общата интензивност на обслужващия поток на всички заети канали. Що се отнася до състоянията с опашка, стрелките, водещи от тях отдясно наляво, ще имат общата интензивност на потока на обслужване на всички канали плюс съответния интензитет на потока на напускане на опашката. Ако в опашката има заявки, тогава общата интензивност на потока от заминаващи ще бъде равна на .

Както може да се види от графиката, има модел на размножаване и смърт; прилагайки общи изрази за ограничаващите вероятности на състоянията в тази схема (използвайки съкратената нотация), ние записваме:

Нека отбележим някои характеристики на QS с ограничено изчакване в сравнение с разгледаните по-рано QS с заявки за „пациенти“.

Ако дължината на опашката не е ограничена и клиентите са „търпеливи“ (не напускат опашката), тогава стационарният граничен режим съществува само в случая (за , съответната безкрайна геометрична прогресия се разминава, което физически съответства на неограниченото нарастване на опашката за ).

Напротив, в QS с "нетърпеливи" клиенти, напускащи опашката рано или късно, стабилното състояние на обслужване при винаги се постига, независимо от намалената интензивност на клиентския поток, без да се сумират безкрайните серии (5.63). От (5.64) получаваме:

и средният брой заети канали, включени в тази формула, може да се намери като математическо очакване на случайна променлива, която приема стойности с вероятности:

В заключение отбелязваме, че ако във формули (5.62) преминем към границата като (или, което е същото, като ), тогава се получават формули (5.61), т.е. „нетърпеливите“ заявки стават „търпеливи“.

Многоканален QS с неограничена опашка

Да разгледаме задачата. На разположение n-канален QS с неограничена опашка. Потокът от приложения, влизащи в QS, има интензитет l, а потокът от услуги има интензитет m. Необходимо е да се намерят граничните вероятности на състоянията на QS и показателите за неговата ефективност.

Системата може да бъде в едно от състоянията S0, S1, S2, ..., Sk .., Sn, ..., номерирани според броя на заявките в QS: S0 - няма заявки в системата ( всички канали са безплатни); S -- един канал е зает, останалите са свободни; S2- два канала са заети, останалите са свободни; Sk -- k канала са заети, останалите са свободни; Sn -- всички n канала са заети (няма опашка); Sn+1 -- всички n канала са заети, има една заявка в опашката; Sn+r -- всички n канала са заети, r заявки са в опашката.

Графиката на състоянието на системата е показана на Фигура 7. Нека обърнем внимание на факта, че за разлика от предишния QS, интензивността на потока на услугата (прехвърляне на системата от едно състояние в друго отдясно наляво) не остава постоянна , но тъй като броят на заявките в QS се увеличава от 0 до n нараства от m до n??, тъй като броят на каналите за обслужване се увеличава съответно. Когато броят на заявките в QS е по-голям от n, интензивността на обслужващия поток остава равна на nm.

Фигура 7 - Графика на състоянията на многоканален QS

Може да се покаже, че за c/n< 1 предельные вероятности существуют. Если с/n ? 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (20) и (21) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью

Вероятността приложението да бъде на опашката,

За n-канален QS с неограничена опашка, използвайки предишните трикове, можете да намерите:

средно заети канали

среден брой приложения в системата

Средното време на престой на приложение в опашката и средното време на престой на приложение в системата, както преди, се намират с помощта на формулите на Литъл (48) и (49).

Коментирайте. За QS с неограничена опашка за s< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк = 0, Q=1, а равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = л.

QS с ограничена опашка

QS с ограничена опашка се различават само по това, че броят на заявките в опашката е ограничен (не може да надвишава дадено m). Ако пристигне нова заявка в момента, в който всички места в опашката са заети, тя оставя QS необслужен, т.е. получава отказ.

Едноканален QS с ограничена дължина на опашката

Пределни вероятности:

Вероятност за повреда:

Абсолютна честотна лента

Относителна честотна лента

Среден брой заявления в опашката

Среден брой обслужвани заявки (среден брой заети канали)

Среден брой приложения в системата

Многоканален QS с ограничена опашка

Пределни вероятности:

Вероятност за повреда:

Абсолютна честотна лента

Относителна честотна лента

Среден брой заявления в опашката

Среден брой обслужвани заявки (среден брой заети канали)