Примери за изчисляване на преминаването на сигнал през интегрираща схема. Разграничаване и интегриране на RC вериги. Условия за диференциация и интеграция

Диференцираща верига е верига, чийто изходен сигнал е пропорционален на производната на входния сигнал.

Сигналът е физическа величина, която носи информация. По-долу ще разгледаме импулсивни сигнали за напрежение - импулси на напрежение.

Диаграмата на реални диференциращи вериги е показана на фигури 13-33 a и 13-33 b.

Коефициентът на пропорционалност M представлява времевата константа на веригата .

За RC верига =RC, за веригаRL =Л/Д.

Фигура 13-33. Схема на диференциращи вериги.

Диференцираща RC верига. (нискочестотен филтър)

Тази верига също е мрежа с четири терминала. В диференцираща RC верига сигналът се отстранява от резистора R, т.е.
(виж Фиг. 13-33 а). Диференциращият (входен) сигнал има правоъгълна форма (вижте Фигура 13-33a по-долу).

Нека разгледаме ефекта на такъв сигнал (импулс на напрежение) върху диференцираща RC верига.

Фигура 13-34. Диференциран сигнал (a) и сигнал на изхода на диференциращата RC верига (b),

В момента (включване на веригата) изходно напрежение
. Това следва от факта, че в момента на включване във веригата съгласно втория закон за комутация, напрежението на кондензатора запазва стойността си, която е била преди комутацията, тоест равно на 0, следователно цялото напрежение ще бъде приложен към резистора R(
).

Тогава
ще намалее експоненциално

(13.29)

Ако
, по време на действието на входния импулс (
) кондензаторът ще бъде почти напълно зареден и в момента когато импулсът свърши
0, напрежение на кондензатора ще станат равни (на фиг. 13-34 b показано с пунктирана линия), и напрежението на резистора R ще падне до 0. Тъй като веригата вече е изключена от входното напрежение (
=0,
), кондензаторът ще започне да се разрежда и след известно време
напрежението върху него ще стане равно на 0. Токът във веригата от момента ще промени посоката и напрежението на резистора R в момента скокът става равен
и ще започне да намалява експоненциално
, и след известно време
ще стане равно на 0.

Така на изхода на веригата се формират два насочени импулса с положителна и отрицателна полярност, чиито площи са равни и амплитудата е равна
.

Ако
форма на изходния импулс
ще има различен вид от този на фиг.

Нека разгледаме два крайни случая:
И
(виж Фиг. 13-35 b и 13-35 c)

Фигура 13-35. Промяна на формата на импулса на изхода на диференциращата верига в зависимост от съотношението между И .

А.
(виж Фиг. 13-35 b)

В този случай по време на продължителността на импулса кондензаторът успява да се зареди напълно дори преди края на импулса. В момента на включване се получава скок на напрежението с положителна полярност върху резистора, равен на амплитудата на правоъгълния импулс , а след това напрежението намалява рязко експоненциално и, докато кондензаторът се зарежда, пада до нула до края на импулса. В края на импулса (в момента ) кондензаторът ще започне да се разрежда и поради преминаването на ток през резистора R на входа се образува импулс с отрицателна амплитудна полярност - . Площта на този импулс ще бъде равна на площта на положителния импулс. Такива вериги се наричат ​​диференциращи скъсяващи вериги.

б.
(вижте Фигура 13-35).

Тъй като времето за зареждане на кондензатора е приблизително равно
, кондензаторът ще има време да се зареди не по-рано от след
. Следователно напрежението на резистора
, равни в момента , ще намалее експоненциално и ще стане равен на нула в
. Следователно във времето
пулс
към съпротивление R практически не се изкривява и повтаря формата на входния импулс.

Такава схема се използва като преходна верига между етапите на усилвателя и е предназначена да елиминира влиянието на компонента на постоянно напрежение от колектора на транзистора на предишния етап към следващия.

От формули и фигури 13-34 и 13-35 можем да заключим, че амплитудата на изходните импулси при различни съотношения между И остава непроменена и равна , а продължителността им намалява намалява. Точността на диференциацията ще бъде по-висока, колкото по-малка е в сравнение с .

Най-точното разграничаване може да се постигне с помощта на операционни усилватели.

Нека разгледаме честотната характеристика на диференциращата RC верига, показана на фиг. 13-35а.

Ориз. 13-35 а. Честотна характеристика на диференциращата верига на RC веригата.

Коефициентът на предаване на честотата на диференциращата RC верига е равен на:

Ако приравним
до 1/
, тогава получаваме долната граница на честотната лента на диференциращата RC верига
.

От графика 2-35а може да се види, че честотната лента на диференциращата RC верига е ограничена само при ниски честоти.

Диференциращи вериги - това са схеми, в които изходното напрежение е пропорционално на производната на входното напрежение. Тези схеми решават два основни проблема на преобразуването на сигнала: получаване на импулси с много кратка продължителност (скъсяване на импулса), които се използват за задействане на контролирани преобразуватели на електрическа енергия, тригери, моновибратори и други устройства; извършване на математическа операция на диференциране (получаване на производна по време) на сложни функции, определени под формата на електрически сигнали, което често се среща в компютърната технология, оборудването за автоматично управление и др.

Схемата на веригата на капацитивната диференцираща верига е показана на фиг. 1. Входното напрежение се прилага към цялата верига, а изходното напрежение се отстранява от резистора R. Токът, протичащ през кондензатора, е свързан с напрежението през него чрез известната връзка i C = C (dU C / dt) . Като се има предвид, че същият ток протича през резистора R, записваме изходното напрежение

Ако U OUT<< U ВХ, что справедливо, когда падение напряжения на резисторе много меньше напряжения U С, то уравнение можно записать в приближенном виде U ВЫХ . Соотношение U ВЫХ << U ВХ » U C выполняется, если величина сопротивления R много меньше величины реактивного сопротивления конденсатора, т.е. R << 1/wC (для сигнала синусоидальной формы) и R << 1/w в C, где w в – частоты высшей гармоники импульсного сигнала.

Величината t = RC се нарича времеконстанта на веригата. От курса по електричество знаем, че кондензаторът се зарежда (разрежда) през резистор според експоненциален закон. След период от време t = t = RC кондензаторът се зарежда до 63% от приложеното входно напрежение, след t = 2,3 t - до 90% от U IN и след 4,6 t - до 99% от U IN.

Нека на входа на диференциращата верига (фиг. 1) се подаде правоъгълен импулс с продължителност t I (фиг. 2, а). Нека t И = 10 t. Тогава изходният сигнал ще има формата, показана на фиг. 2, г. Наистина, в началния момент от време напрежението на кондензатора е нула и не може да се промени моментално. Следователно цялото входно напрежение се прилага към резистора. Впоследствие кондензаторът се зарежда с експоненциално намаляващ ток. В този случай напрежението на кондензатора се увеличава, а напрежението на резистора намалява, така че във всеки момент от време е изпълнено равенството U BX = U C + U OUT. След период от време t ³ 3 t, кондензаторът се зарежда почти до входното напрежение, токът на зареждане ще спре и изходното напрежение ще стане нула.

Когато входният импулс приключи (U BX = 0), кондензаторът ще започне да се разрежда през резистора R и входната верига. Посоката на тока на разреждане е противоположна на посоката на тока на зареждане, така че полярността на напрежението през резистора се променя. С разреждането на кондензатора напрежението върху него намалява, а заедно с това намалява и напрежението върху резистора R. Резултатът е скъсени импулси (при t И > 4¸5 RC). Промяната във формата на импулса за други съотношения на продължителността на импулса и времевата константа е показана на фиг. 2,б,в.

Интегрираща схемае схема, в която изходното напрежение е пропорционално на времевия интеграл на входното напрежение. Интегриращите схеми (фиг. 3) се различават от диференциращите (фиг. 1) по това, че изходното напрежение се отстранява от кондензатора. Когато напрежението на кондензатора C е незначително в сравнение с напрежението на резистора R, т.е. U OUT = U C<< U R , то ток i в цепи пропорционален входному напряжению, которое прикладывается ко всей цепи. Поэтому

RC верига времеконстанта

RC електрическа верига

Помислете за тока в електрическа верига, състояща се от кондензатор с капацитет ° Си паралелно свързан резистор със съпротивление R.
Стойността на тока на зареждане или разреждане на кондензатора се определя от израза I = C(dU/dt), и стойността на тока в резистора, според закона на Ом, ще бъде U/R, Където U- зарядно напрежение на кондензатора.

От фигурата се вижда, че електрическият ток азв елементи ° СИ Рверигите ще имат еднаква стойност и противоположна посока, съгласно закона на Кирхоф. Следователно може да се изрази по следния начин:

Решаване на диференциалното уравнение C(dU/dt)= -U/R

Нека интегрираме:

От таблицата на интегралите тук използваме трансформацията

Получаваме общия интеграл на уравнението: В|U| = - t/RC + Const.
Нека изразим напрежението от него Uпотенциране: U = e-t/RC * e Конст.
Решението ще изглежда така:

U = e-t/RC * Конст.

Тук Конст- константа, стойност, определена от началните условия.

Следователно напрежението Uзареждането или разреждането на кондензатора ще се промени с времето според експоненциалния закон д-t/RC.

Експонента - функция exp(x) = e x
д– Математическа константа приблизително равна на 2,718281828...

Времева константа τ

Ако кондензатор с капацитет ° Споследователно с резистор Рсвържете към източник на постоянно напрежение U, във веригата ще тече ток, който за всяко време Tще зареди кондензатора до стойността U Cи се определя от израза:

След това напрежението U Cна клемите на кондензатора ще се увеличи от нула до стойността Uекспоненциално:

U C = U( 1 - д-t/RC )

При t = RC, напрежението върху кондензатора ще бъде U C = U( 1 - д -1 ) = U( 1 - 1/д).
Време, числено равно на произведението R.C., се нарича времеконстанта на веригата R.C.и се обозначава с гръцката буква τ .

Времева константа τ = RC

По време на τ кондензаторът ще се зареди до (1 - 1 /e)*100% ≈ 63,2% от стойността U.
Във време 3 τ напрежението ще бъде (1 - 1 /e 3)*100% ≈ 95% от стойността U.
Във време 5 τ напрежението ще се увеличи до (1 - 1 /e 5)*100% ≈ 99% стойност U.

Ако към кондензатор с капацитет ° С, зареден до напрежение U, свържете резистор паралелно със съпротивлението Р, тогава токът на разреждане на кондензатора ще тече през веригата.

Напрежението върху кондензатора по време на разреждане ще бъде U C = Ue-t/τ = U/e t/τ

По време на τ напрежението върху кондензатора ще намалее до стойността U/e, което ще бъде 1 /e*100% ≈ 36,8% стойност U.
Във време 3 τ кондензаторът ще се разреди до (1 /e 3)*100% ≈ 5% от стойността U.
Във време 5 τ до (1 /e 5)*100% ≈ 1% стойност U.

Параметър τ широко използвани в изчисленията R.C.-филтри на различни електронни схеми и компоненти.

Връзка между моментните стойности на напреженията и токовете на елементите

Електрическа верига

За последователна верига, съдържаща линеен резистор R, индуктор L и кондензатор C, когато е свързана към източник с напрежение u (виж Фиг. 1), можем да запишем

където x е желаната функция на времето (напрежение, ток, връзка на потока и т.н.); - известно смущаващо влияние (напрежение и (или) ток на източника на електрическа енергия); - k-ти постоянен коефициент, определен от параметрите на веригата.

Редът на това уравнение е равен на броя на независимите устройства за съхранение на енергия във веригата, които се разбират като индуктори и кондензатори в опростена верига, получена от оригиналната чрез комбиниране на индуктивностите и, съответно, капацитетите на елементите, връзките между които са последователни или паралелни.

В общия случай редът на диференциалното уравнение се определя от връзката

,

(3)

където и са съответно броят на индукторите и кондензаторите след определеното опростяване на оригиналната схема; - броят на възлите, в които се събират само клонове, съдържащи индуктори (в съответствие с първия закон на Кирхоф, токът през всеки индуктор в този случай се определя от токовете през останалите бобини); - броят на веригите, чиито клонове съдържат само кондензатори (в съответствие с втория закон на Кирхоф, напрежението на всеки от кондензаторите в този случай се определя от напреженията на останалите).

Наличието на индуктивни връзки не влияе на реда на диференциалното уравнение.

Както е известно от математиката, общото решение на уравнение (2) е сумата от частно решение на изходното нехомогенно уравнение и общо решение на хомогенното уравнение, получено от изходното чрез приравняване на лявата му страна на нула. Тъй като от математическа гледна точка не се налагат ограничения върху избора на конкретно решение (2), във връзка с електротехниката е удобно да се вземе като последно решението, съответстващо на желаната променлива x в стационарно състояние след комутация режим (теоретично за).

Конкретно решение на уравнение (2) се определя от вида на функцията от дясната му страна и следователно се нарича принудителен компонент.За вериги с зададени постоянни или периодични напрежения на източника (токове) принудителната компонента се определя чрез изчисляване на стационарния режим на работа на веригата след превключване по някой от разгледаните по-рано методи за изчисляване на линейни електрически вериги.

Вторият компонент на общото решение x на уравнение (2) - решение (2) с нулева дясна част - съответства на режима, когато външни (принуждаващи) сили (източници на енергия) не влияят пряко на веригата. Влиянието на източниците се проявява тук чрез енергията, съхранявана в полетата на индуктори и кондензатори. Този режим на работа на веригата се нарича свободен, а променливата е безплатен компонент.

В съответствие с горното,. общото решение на уравнение (2) има формата

(4)

Съотношението (4) показва, че при класическия метод на изчисление посткомутационният процес се разглежда като суперпозиция на два режима - принудителен, който възниква веднага след превключването, и свободен, който възниква само по време на преходния процес.

Трябва да се подчертае, че тъй като принципът на суперпозиция е валиден само за линейни системи, методът на решение, базиран на определеното разширение на желаната променлива x, е валиден само за линейни вериги.

Начални условия. Комутационни закони

В съответствие с дефиницията на свободната компонента в нейния израз участват интеграционни константи, чийто брой е равен на реда на диференциалното уравнение. Постоянните интеграции се намират от началните условия, които обикновено се разделят на независими и зависими. Независимите начални условия включват свързване на потока (ток) за индуктора и заряд (напрежение) на кондензатора в даден момент (момент на комутация). Независимите начални условия се определят въз основа на законите за комутация (вижте таблица 2).

Таблица 2. Комутационни закони

Вижте повече на: http://www.toehelp.ru/theory/toe/lecture24/lecture24.html#sthash.jqyFZ18C.dpuf

RC интегрираща схема

Помислете за електрическа верига, състояща се от резистор със съпротивление Ри кондензатор с капацитет ° Споказано на фигурата.

Елементи РИ ° Сса свързани последователно, което означава, че токът в тяхната верига може да бъде изразен въз основа на производната на напрежението на зареждане на кондензатора dQ/dt = C(dU/dt)и закона на Ом U/R. Означаваме напрежението на клемите на резистора U R.
Тогава ще се осъществи равенството:

Нека интегрираме последния израз . Интегралът от лявата страна на уравнението ще бъде равен на U out + Const. Нека преместим константната компонента Констот дясната страна със същия знак.
От дясната страна времевата константа R.C.Нека го извадим от интегралния знак:

В резултат на това се оказа, че изходното напрежение U outправо пропорционален на интеграла на напрежението на клемите на резистора и следователно на входния ток аз вътре.
Постоянна компонента Констне зависи от номиналните стойности на елементите на веригата.

Да се ​​осигури правопропорционална зависимост на изходното напрежение U outот входния интеграл U в, входното напрежение трябва да е пропорционално на входния ток.

Нелинейна връзка U in /I inвъв входната верига се причинява от факта, че зареждането и разреждането на кондензатора се извършва експоненциално д-t/τ , което е най-нелинейно при t/τ≥ 1, т.е. когато стойността Tсравними или повече τ .
Тук T- време на зареждане или разреждане на кондензатора в рамките на периода.
τ = R.C.- времеконстанта - произведение на количествата РИ ° С.
Ако вземем деноминациите R.C.вериги, когато τ ще бъде много повече T, след това началната част от експоненциала за кратък период (спрямо τ ) може да бъде доста линеен, което ще осигури необходимата пропорционалност между входното напрежение и тока.

За проста верига R.C.времевата константа обикновено се приема с 1-2 порядъка по-голяма от периода на променливия входен сигнал, тогава основната и значителна част от входното напрежение ще падне на клемите на резистора, осигурявайки доста линейна зависимост U in /I in ≈ R.
В този случай изходното напрежение U outще бъде, с приемлива грешка, пропорционална на интеграла на входа U в.
Колкото по-високи са деноминациите R.C., колкото по-малък е променливият компонент на изхода, толкова по-точна ще бъде функционалната крива.

В повечето случаи променливият компонент на интеграла не се изисква при използване на такива схеми, необходим е само постоянен Конст, след това деноминациите R.C.можете да изберете възможно най-голям, но като вземете предвид входния импеданс на следващото стъпало.

Като пример, сигнал от генератор - положителна 1V правоъгълна вълна с период от 2 mS - ще бъде подаден към входа на проста интегрираща верига R.C.с деноминации:
Р= 10 kOhm, СЪС= 1 uF. Тогава τ = R.C.= 10 mS.

В този случай времевата константа е само пет пъти по-дълга от времето на периода, но визуалната интеграция може да бъде проследена доста точно.
Графиката показва, че изходното напрежение на ниво постоянен компонент от 0,5 V ще бъде с триъгълна форма, тъй като участъците, които не се променят с времето, ще бъдат константа за интеграла (означаваме го а), а интегралът на константата ще бъде линейна функция. ∫adx = ax + Const. Стойност на константата аще определи наклона на линейната функция.

Нека интегрираме синусоидата и ще получим косинус с обратен знак ∫sinxdx = -cosx + Const.
В този случай постоянният компонент Конст = 0.

Ако приложите триъгълна форма на вълната към входа, изходът ще бъде синусоидално напрежение.
Интегралът на линейната част на функция е парабола. В най-простата си форма ∫xdx = x 2 /2 + Const.
Знакът на множителя ще определи посоката на параболата.

Недостатъкът на най-простата верига е, че променливият компонент на изхода е много малък спрямо входното напрежение.

Нека разгледаме операционен усилвател (O-Amp) като интегратор според схемата, показана на фигурата.

Като се вземе предвид безкрайно голямото съпротивление на операционния усилвател и правилото на Кирхоф, тук ще бъде валидно равенството:

I in = I R = U in /R = - I C.

Напрежението на входовете на идеалния оп-усилвател е нула тук, след това на клемите на кондензатора U C = U навън = - U навътре .
следователно U outще се определя въз основа на тока на общата верига.

При стойности на елемента R.C., Кога τ = 1 сек, изходното променливо напрежение ще бъде равно на интеграла на входа. Но противоположни по знак. Идеален интегратор-инвертор с идеални схемни елементи.

RC диференциална верига

Нека разгледаме диференциатор, използващ операционен усилвател.

Идеален операционен усилвател тук ще осигури равни токове I R = - I Cспоред правилото на Кирхоф.
Напрежението на входовете на оп-усилвателя е нула, следователно изходното напрежение U out = U R = - U in = - U C .
Въз основа на производната на заряда на кондензатора, закона на Ом и равенството на текущите стойности в кондензатора и резистора, пишем израза:

U out = RI R = - RI C = - RC(dU C /dt) = - RC(dU in /dt)

От това виждаме, че изходното напрежение U outпропорционална на производната на заряда на кондензатора dU в /dt, като скоростта на промяна на входното напрежение.

За времева константа R.C., равно на единица, изходното напрежение ще бъде равно по стойност на производната на входното напрежение, но с противоположен знак. Следователно разглежданата схема диференцира и инвертира входния сигнал.

Производната на константа е нула, така че няма да има константен компонент на изхода при диференциране.

Като пример, нека приложим триъгълен сигнал към входа на диференциатора. Изходът ще бъде правоъгълен сигнал.
Производната на линейната част на функцията ще бъде константа, чийто знак и големина се определят от наклона на линейната функция.

За най-простата диференцираща RC верига от два елемента използваме пропорционалната зависимост на изходното напрежение от производната на напрежението на клемите на кондензатора.

U out = RI R = RI C = RC(dU C /dt)

Ако вземем стойностите на RC елементите, така че времевата константа да е с 1-2 порядъка по-малка от дължината на периода, тогава съотношението на увеличението на входното напрежение към увеличението на времето в рамките на периода може да определи скоростта на промяна на входното напрежение до известна степен с точност. В идеалния случай това увеличение трябва да клони към нула. В този случай основната част от входното напрежение ще падне на клемите на кондензатора, а изходът ще бъде незначителна част от входа, поради което такива схеми практически не се използват за изчисляване на производната.

Най-честата употреба на RC диференциращи и интегриращи схеми е за промяна на дължината на импулса в логически и цифрови устройства.
В такива случаи RC деноминациите се изчисляват експоненциално д-t/RC въз основа на дължината на импулса в периода и необходимите промени.
Например фигурата по-долу показва, че дължината на импулса T iна изхода на интегриращата верига ще се увеличи с време 3 τ . Това е времето, необходимо на кондензатора да се разреди до 5% от стойността на амплитудата.

На изхода на диференциращата верига амплитудното напрежение се появява незабавно след прилагане на импулс, тъй като е равно на нула на клемите на разредения кондензатор.
Това е последвано от процеса на зареждане и напрежението на клемите на резистора намалява. Във време 3 τ тя ще намалее до 5% от стойността на амплитудата.

Тук 5% е ориентировъчна стойност. При практически изчисления този праг се определя от входните параметри на използваните логически елементи.

Сложните електронни устройства се състоят от прости вериги. Помислете за верига, състояща се от резистор и кондензатор, свързани последователно с идеален генератор на напрежение, показан на фиг. 3.3.

Фиг.3.3.Верига на диференциация

Ако изходното напрежение се отстранява от резистор, тогава веригата се нарича диференцираща, ако от кондензатор, тя се нарича интегрираща. Тези линейни вериги се характеризират със стабилни и преходни характеристики. Това се дължи на факта, че промяната на напрежението, действащо във веригата, води до факта, че токовете и напреженията в различни части на веригата придобиват нови стойности. Промяната в състоянието на веригата не настъпва мигновено, а за определен период от време. Следователно се прави разлика между стабилно състояние и преходни състояния на електрическа верига.

Електрическите процеси се считат за стабилни (стационарни), ако законът за промяна на всички напрежения и токове съвпада в рамките на постоянни стойности със закона за промяна на напрежението, действащо във веригата от външен източник. В противен случай веригата се счита за преходно (нестационарно) състояние.

Стационарните характеристики включват амплитудно-честотни и фазови характеристики на линейна верига.

Нестационарното състояние на линейна верига се описва с преходна характеристика.

Да приемем, че идеален генератор на напрежение е свързан към входа на веригата. Въз основа на втория закон на Кирхоф за диференцираща верига, можем да напишем диференциално уравнение, свързващо напрежението и тока в клоновете на веригата:

(3.2)

Тъй като напрежението на изхода на веригата е:

(3.3)

Замествайки текущата стойност в интеграла, получаваме:

(3.4)

Нека разграничим лявата и дясната страна на последното уравнение по отношение на времето:

(3.5)

Нека пренапишем това уравнение в следната форма:

, (3.6)

Където = е параметър на веригата, наречен времева константа на веригата.

В зависимост от стойността на времеконстантата са възможни две различни връзки между първия и втория член от дясната страна на уравнението.

Ако времевата константа е голяма в сравнение с периода на хармоничните сигнали >>Или с продължителността на импулсите >>, които могат да бъдат приложени към входа на тази верига, тогава

И напрежението на изхода на веригата повтаря входното напрежение с леко изкривяване:

Ако времеконстантата е малка в сравнение с периода на хармоничните сигнали<<Или с длительностью импульсов <<, то

Следователно изходното напрежение е:

По този начин, в зависимост от стойността на времевата константа, такава схема може или да предаде входния сигнал към изхода с определени изкривявания, или да го диференцира с определена степен на точност. В този случай формата на изходния сигнал ще бъде различна. По-долу на фиг. Фигура 3.4 показва входното напрежение, напрежението на резистора и кондензатора за случаите, когато времеконстантата е голяма и времеконстантата е малка.

А б

Ориз. 3.4.Напрежения на елементите на диференциращата верига при ( А) И ( б)

В началния момент се появява скок на напрежението в резистора, равен на амплитудата на входния сигнал, след което кондензаторът започва да се зарежда, по време на което напрежението в резистора ще намалее.

Когато времеконстантата е , кондензаторът няма време да се зареди до амплитудата на входния импулс и веригата предава входния сигнал към изхода с леко изкривяване. При<< конденсатор успеет полностью зарядиться до амплитуды входного напряжения за время действия первого импульса, а за время паузы между импульсами – полностью разрядиться. При этом на выходе цепи появляются укороченные импульсы, приблизительно соответствующие производной от входного сигнала. Считается, что когда Цепочка дифференцирует входной сигнал.

Сега нека определим коефициента на предаване на диференциращата верига. Комплексният коефициент на предаване на диференциращата верига, когато хармоничен сигнал е приложен към входа, е равен на:

. (3.11)

Нека обозначим отношението , където е граничната честота на лентата на пропускане на диференциращата верига.

Изразът за коефициента на предаване ще приеме формата:

Модулът на коефициента на предаване е равен на:

. (3.13)

- граничната честота на лентата на пропускане, при която модулът на реактивното съпротивление става равен на стойността на активното съпротивление, а коефициентът на предаване на веригата е равен на . Зависимостта на модула на коефициента на предаване от честотата се нарича амплитудно-честотна характеристика (AFC).

Зависимостта на фазовия ъгъл между изходното и входното напрежение от честотата се нарича фазова характеристика (PFC). Фазова характеристика:

По-долу на фиг. 3.5 показва честотната характеристика и фазовата характеристика на диференциращата верига:

Ориз. 3.5.Амплитудно-честотни и фазови характеристики

Диференцираща верига

От амплитудно-честотната характеристика става ясно, че преминаването на сигнали през диференциращата верига е придружено от намаляване на амплитудите на нискочестотните компоненти на неговия спектър. Диференциращата верига е високочестотен филтър.

От фазовата характеристика става ясно, че фазите на нискочестотните компоненти са изместени с по-голям ъгъл от фазите на високочестотните компоненти.

Преходният отговор на диференциращата верига може да се получи, ако напрежението се приложи към входа под формата на една стъпка. Комплексният коефициент на предаване е равен на

Помислете за електрическа верига, състояща се от резистор със съпротивление Ри кондензатор с капацитет ° Споказано на фигурата.

Елементи РИ ° Сса свързани последователно, което означава, че токът в тяхната верига може да бъде изразен въз основа на производната на напрежението на зареждане на кондензатора dQ/dt = C(dU/dt)и закона на Ом U/R. Означаваме напрежението на клемите на резистора U R.
Тогава ще се осъществи равенството:

Нека интегрираме последния израз . Интегралът от лявата страна на уравнението ще бъде равен на U out + Const. Нека преместим константната компонента Констот дясната страна със същия знак.
От дясната страна времевата константа R.C.Нека го извадим от интегралния знак:

В резултат на това се оказа, че изходното напрежение U outправо пропорционален на интеграла на напрежението на клемите на резистора и следователно на входния ток аз вътре.
Постоянна компонента Констне зависи от номиналните стойности на елементите на веригата.

Да се ​​осигури правопропорционална зависимост на изходното напрежение U outот входния интеграл U в, входното напрежение трябва да е пропорционално на входния ток.

Нелинейна връзка U in /I inвъв входната верига се причинява от факта, че зареждането и разреждането на кондензатора се извършва експоненциално д-t/τ , което е най-нелинейно при t/τ≥ 1, т.е. когато стойността Tсравними или повече τ .
Тук T- време на зареждане или разреждане на кондензатора в рамките на периода.
τ = R.C.- времеконстанта - произведение на количествата РИ ° С.
Ако вземем деноминациите R.C.вериги, когато τ ще бъде много повече T, след това началната част от експоненциала за кратък период (спрямо τ ) може да бъде доста линеен, което ще осигури необходимата пропорционалност между входното напрежение и тока.

За проста верига R.C.времевата константа обикновено се приема с 1-2 порядъка по-голяма от периода на променливия входен сигнал, тогава основната и значителна част от входното напрежение ще падне на клемите на резистора, осигурявайки доста линейна зависимост U in /I in ≈ R.
В този случай изходното напрежение U outще бъде, с приемлива грешка, пропорционална на интеграла на входа U в.
Колкото по-високи са деноминациите R.C., колкото по-малък е променливият компонент на изхода, толкова по-точна ще бъде функционалната крива.

В повечето случаи променливият компонент на интеграла не се изисква при използване на такива схеми, необходим е само постоянен Конст, след това деноминациите R.C.можете да изберете възможно най-голям, но като вземете предвид входния импеданс на следващото стъпало.

Като пример, сигнал от генератор - положителна 1V правоъгълна вълна с период от 2 mS - ще бъде подаден към входа на проста интегрираща верига R.C.с деноминации:
Р= 10 kOhm, СЪС= 1 uF. Тогава τ = R.C.= 10 mS.

В този случай времевата константа е само пет пъти по-дълга от времето на периода, но визуалната интеграция може да бъде проследена доста точно.
Графиката показва, че изходното напрежение на ниво постоянен компонент от 0,5 V ще бъде с триъгълна форма, тъй като участъците, които не се променят с времето, ще бъдат константа за интеграла (означаваме го а), а интегралът на константата ще бъде линейна функция. ∫adx = ax + Const. Стойност на константата аще определи наклона на линейната функция.

Нека интегрираме синусоидата и ще получим косинус с обратен знак ∫sinxdx = -cosx + Const.
В този случай постоянният компонент Конст = 0.

Ако приложите триъгълна форма на вълната към входа, изходът ще бъде синусоидално напрежение.
Интегралът на линейната част на функция е парабола. В най-простата си форма ∫xdx = x 2 /2 + Const.
Знакът на множителя ще определи посоката на параболата.

Недостатъкът на най-простата верига е, че променливият компонент на изхода е много малък спрямо входното напрежение.

Нека разгледаме операционен усилвател (O-Amp) като интегратор според схемата, показана на фигурата.

Като се вземе предвид безкрайно голямото съпротивление на операционния усилвател и правилото на Кирхоф, тук ще бъде валидно равенството:

I in = I R = U in /R = - I C.

Напрежението на входовете на идеалния оп-усилвател е нула тук, след това на клемите на кондензатора U C = U навън = - U навътре .
следователно U outще се определя въз основа на тока на общата верига.

При стойности на елемента R.C., Кога τ = 1 сек, изходното променливо напрежение ще бъде равно на интеграла на входа. Но противоположни по знак. Идеален интегратор-инвертор с идеални схемни елементи.

RC диференциална верига

Нека разгледаме диференциатор, използващ операционен усилвател.

Идеален операционен усилвател тук ще осигури равни токове I R = - I Cспоред правилото на Кирхоф.
Напрежението на входовете на оп-усилвателя е нула, следователно изходното напрежение U out = U R = - U in = - U C .
Въз основа на производната на заряда на кондензатора, закона на Ом и равенството на текущите стойности в кондензатора и резистора, пишем израза:

U out = RI R = - RI C = - RC(dU C /dt) = - RC(dU in /dt)

От това виждаме, че изходното напрежение U outпропорционална на производната на заряда на кондензатора dU в /dt, като скоростта на промяна на входното напрежение.

За времева константа R.C., равно на единица, изходното напрежение ще бъде равно по стойност на производната на входното напрежение, но с противоположен знак. Следователно разглежданата схема диференцира и инвертира входния сигнал.

Производната на константа е нула, така че няма да има константен компонент на изхода при диференциране.

Като пример, нека приложим триъгълен сигнал към входа на диференциатора. Изходът ще бъде правоъгълен сигнал.
Производната на линейната част на функцията ще бъде константа, чийто знак и големина се определят от наклона на линейната функция.

За най-простата диференцираща RC верига от два елемента използваме пропорционалната зависимост на изходното напрежение от производната на напрежението на клемите на кондензатора.

U out = RI R = RI C = RC(dU C /dt)

Ако вземем стойностите на RC елементите, така че времевата константа да е с 1-2 порядъка по-малка от дължината на периода, тогава съотношението на увеличението на входното напрежение към увеличението на времето в рамките на периода може да определи скоростта на промяна на входното напрежение до известна степен с точност. В идеалния случай това увеличение трябва да клони към нула. В този случай основната част от входното напрежение ще падне на клемите на кондензатора, а изходът ще бъде незначителна част от входа, поради което такива схеми практически не се използват за изчисляване на производната.

Най-честата употреба на RC диференциращи и интегриращи схеми е за промяна на дължината на импулса в логически и цифрови устройства.
В такива случаи RC деноминациите се изчисляват експоненциално д-t/ RC въз основа на дължината на импулса в периода и необходимите промени.
Например фигурата по-долу показва, че дължината на импулса T iна изхода на интегриращата верига ще се увеличи с време 3 τ . Това е времето, необходимо на кондензатора да се разреди до 5% от стойността на амплитудата.

На изхода на диференциращата верига амплитудното напрежение се появява незабавно след прилагане на импулс, тъй като е равно на нула на клемите на разредения кондензатор.
Това е последвано от процеса на зареждане и напрежението на клемите на резистора намалява. Във време 3 τ тя ще намалее до 5% от стойността на амплитудата.

Тук 5% е ориентировъчна стойност. При практически изчисления този праг се определя от входните параметри на използваните логически елементи.

Коментари и предложения се приемат и са добре дошли!