ثابت کنید که یک تابع زوج است. توابع زوج و فرد. شرایط کافی برای وجود افراط

که تا حدودی برای شما آشنا بودند. همچنین در آنجا ذکر شد که موجودی ویژگی های تابع به تدریج دوباره پر می شود. دو ویژگی جدید در این بخش مورد بحث قرار خواهد گرفت.

تعریف 1.

تابع y = f(x)، x є X، فراخوانی می شود حتی اگر برای هر مقدار x از مجموعه X برابری f (-x) = f (x) برقرار باشد.

تعریف 2.

تابع y = f(x)، x є X، فرد نامیده می شود اگر برای هر مقدار x از مجموعه X برابری f (-x) = -f (x) برقرار باشد.

ثابت کنید که y = x 4 یک تابع زوج است.

راه حل. داریم: f(x) = x 4، f(-x) = (-x) 4. اما (-x) 4 = x 4. این بدان معناست که برای هر x برابری f(-x) = f(x) برقرار است، یعنی. عملکرد یکنواخت است

به طور مشابه، می توان ثابت کرد که توابع y - x 2، y = x 6، y - x 8 زوج هستند.

ثابت کنید که y = x 3 ~ یک تابع فرد است.

راه حل. داریم: f(x) = x 3، f(-x) = (-x) 3. اما (-x) 3 = -x 3. این بدان معنی است که برای هر x برابری f (-x) = -f (x) برقرار است، یعنی. تابع فرد است

به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که توابع y = x، y = x 5، y = x 7 فرد هستند.

من و شما قبلاً بیش از یک بار متقاعد شده ایم که اصطلاحات جدید در ریاضیات اغلب منشأ "زمینی" دارند، یعنی. می توان آنها را به نوعی توضیح داد. این مورد در هر دو توابع زوج و فرد صادق است. ببینید: y - x 3، y = x 5، y = x 7 توابع فرد هستند، در حالی که y = x 2، y = x 4، y = x 6 توابع زوج هستند. و به طور کلی، برای هر تابعی از شکل y = x" (در زیر به طور خاص این توابع را مطالعه خواهیم کرد)، که در آن n یک عدد طبیعی است، می‌توان نتیجه گرفت: اگر n یک عدد فرد باشد، تابع y = x" است. فرد؛ اگر n یک عدد زوج باشد، تابع y = xn زوج است.

همچنین توابعی وجود دارند که نه زوج هستند و نه فرد. به عنوان مثال، تابع y = 2x + 3 است. در واقع، f(1) = 5، و f (-1) = 1. همانطور که می بینید، در اینجا، بنابراین، نه هویت f(-x) = f (x)، و نه هویت f(-x) = -f(x).

بنابراین، یک تابع می تواند زوج، فرد یا هیچکدام باشد.

مطالعه زوج یا فرد بودن یک تابع معین معمولاً مطالعه برابری نامیده می شود.

تعاریف 1 و 2 به مقادیر تابع در نقاط x و -x اشاره دارد. این فرض را بر این می گذارد که تابع در هر دو نقطه x و نقطه -x تعریف شده است. این بدان معنی است که نقطه -x به دامنه تعریف تابع به طور همزمان با نقطه x تعلق دارد. اگر یک مجموعه عددی X، همراه با هر یک از عناصر آن x، حاوی عنصر مقابل -x نیز باشد، X یک مجموعه متقارن نامیده می شود. فرض کنید، (-2، 2)، [-5، 5]، (-oo، +oo) مجموعه های متقارن هستند، در حالی که \) .

از آنجایی که \(x^2\geqslant 0\) است، پس سمت چپ معادله (*) بزرگتر یا مساوی \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) است.

بنابراین، تساوی (*) تنها زمانی می تواند صادق باشد که هر دو طرف معادله برابر با \(\mathrm(tg)^2\,1\) باشد. این بدان معناست که \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] بنابراین، مقدار \(a=-\mathrm(tg)\,1\) برای ما مناسب است.

پاسخ:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

وظیفه 2 #3923

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

تمام مقادیر پارامتر \(a\) را پیدا کنید که برای هر کدام نمودار تابع \

متقارن در مورد مبدا

اگر نمودار یک تابع نسبت به مبدا متقارن باشد، چنین تابعی فرد است، یعنی \(f(-x)=-f(x)\) برای هر \(x\) از دامنه تعریف برقرار است. از تابع بنابراین، لازم است آن مقادیر پارامتر را پیدا کنید که برای آنها \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(تراز شده) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(تراز شده)\]

آخرین معادله باید برای همه \(x\) از دامنه تعریف \(f(x)\) برآورده شود، بنابراین، \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .

پاسخ:

\(\dfrac n2، n\in\mathbb(Z)\)

وظیفه 3 #3069

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

تمام مقادیر پارامتر \(a\) را بیابید که برای هر کدام معادله \ 4 راه حل دارد که \(f\) یک تابع تناوبی زوج با دوره \(T=\dfrac(16)3\) است. در کل خط عددی تعریف شده است، و \(f(x)=ax^2\) برای \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(تکلیف از مشترکین)

از آنجایی که \(f(x)\) یک تابع زوج است، نمودار آن با توجه به محور مختصات متقارن است، بنابراین، برای \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\). بنابراین، برای \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) و این قطعه ای از طول \(\dfrac(16)3\ است)، تابع \(f(x)=ax^2\ است. ) .

1) اجازه دهید \(a>0\) . سپس نمودار تابع \(f(x)\) به شکل زیر خواهد بود:


سپس برای اینکه معادله 4 جواب داشته باشد، لازم است نمودار \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) از نقطه \(A\) عبور کند:


بنابراین، \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\پایان(تراز شده)\پایان(جمع آوری شده)\راست. \quad\فلش راست چپ\چهار \چپ[\شروع(جمع شده)\شروع(تراز شده) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(تراز شده) \end( جمع شده)\right.\] از آنجایی که \(a>0\) , پس \(a=\dfrac(18)(23)\) مناسب است.

2) اجازه دهید \(a0\)). اگر حاصل ضرب دو ریشه مثبت و مجموع آنها مثبت باشد، خود ریشه ها مثبت خواهند بود. بنابراین، شما نیاز دارید: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a 0 on (x_(1); x_(2 ) ) \ جام (x_(3)؛ +\infty)

فواصل زمانی که تابع منفی است، یعنی f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})

عملکرد محدود

یک تابع y=f(x)، x\in X معمولاً زمانی که یک عدد A وجود داشته باشد که نابرابری f(x) \geq A برای هر x \در X وجود دارد، به صورت محدود خوانده می‌شود.

مثالی از یک تابع محدود شده از زیر: y=\sqrt(1+x^(2)) زیرا y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 برای هر x.

یک تابع y=f(x)، x\in X در بالا به صورت محدود خوانده می شود اگر عدد B وجود داشته باشد که نابرابری f(x) \neq B برای هر x \در X برای آن برقرار باشد.

مثالی از یک تابع محدود شده از زیر: y=\sqrt(1-x^(2))، x \in [-1;1] زیرا y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 برای هر x \ در [-1;1].

یک تابع y=f(x)، x\in X معمولاً زمانی محدود خوانده می شود که عدد K > 0 وجود داشته باشد که نابرابری \left | f(x)\right | \neq K برای هر x \در X.

مثالی از یک تابع محدود: y=\sin x در کل خط اعداد محدود شده است، زیرا \left | \sin x \راست | \neq 1 .

عملکرد افزایش و کاهش

مرسوم است که از تابعی صحبت کنیم که در بازه مورد بررسی به عنوان یک تابع افزایشی زمانی که مقدار بزرگتر x با مقدار بزرگتری از تابع y=f(x) مطابقت دارد، افزایش می یابد. نتیجه این است که با گرفتن دو مقدار دلخواه از آرگومان x_(1) و x_(2) از بازه مورد نظر، با x_(1) > x_(2)، نتیجه y(x_(1)) خواهد شد. y (x_(2)).

تابعی که در بازه مورد بررسی کاهش می یابد، تابع نزولی نامیده می شود که مقدار بزرگتر x با مقدار کوچکتر تابع y(x) مطابقت داشته باشد. نتیجه این است که با گرفتن دو مقدار دلخواه آرگومان x_(1) و x_(2) و x_(1) > x_(2) از بازه مورد بررسی، نتیجه y(x_(1)) خواهد بود.< y(x_{2}) .

ریشه های یک تابع را معمولاً نقاطی می نامند که در آن تابع F=y(x) محور آبسیسا را ​​قطع می کند (با حل معادله y(x)=0 به دست می آیند).

الف) اگر برای x > 0 یک تابع زوج افزایش یابد، آنگاه برای x کاهش می یابد< 0

ب) وقتی یک تابع زوج در x > 0 کاهش می یابد، آنگاه در x افزایش می یابد< 0

ج) هنگامی که یک تابع فرد در x > 0 افزایش می یابد، آنگاه در x نیز افزایش می یابد< 0

د) هنگامی که یک تابع فرد برای x > 0 کاهش می یابد، آنگاه برای x نیز کاهش می یابد< 0

افراطی عملکرد

نقطه حداقل تابع y=f(x) معمولاً نقطه ای x=x_(0) نامیده می شود که همسایگی آن نقاط دیگری دارد (به جز نقطه x=x_(0)) و برای آنها نابرابری f( x ) > f(x_(0)). y_(min) - تعیین تابع در نقطه min.

نقطه ماکزیمم تابع y=f(x) معمولاً نقطه ای x=x_(0) نامیده می شود که همسایگی آن نقاط دیگری دارد (به جز نقطه x=x_(0)) و برای آنها نابرابری f( ایکس )< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

پيش نياز

طبق قضیه فرما: f"(x)=0 وقتی تابع f(x) که در نقطه x_(0) قابل تمایز است در این نقطه دارای یک اکسترموم باشد.

شرایط کافی

هنگامی که مشتق علامت مثبت را به منفی تغییر می دهد، آنگاه x_(0) حداقل نقطه خواهد بود.

x_(0) - تنها زمانی یک نقطه حداکثر خواهد بود که مشتق هنگام عبور از نقطه ثابت x_(0) علامت آن را از منفی به مثبت تغییر دهد.

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع در یک بازه

مراحل محاسبه:

مشتق f"(x) جستجو می شود.

نقاط ثابت و بحرانی تابع پیدا شده و آنهایی که متعلق به بخش هستند انتخاب می شوند.

مقادیر تابع f(x) در نقاط ثابت و بحرانی و انتهای قطعه یافت می شود. کوچکتر از نتایج به دست آمده کوچکترین مقدار تابع و بزرگتر بزرگترین خواهد بود.

در جولای 2020، ناسا یک سفر به مریخ راه اندازی کرد. این فضاپیما یک رسانه الکترونیکی با نام تمام شرکت کنندگان ثبت نام شده در سفر به مریخ تحویل خواهد داد.

ثبت نام شرکت کنندگان باز است. بلیط خود را به مریخ با استفاده از این لینک دریافت کنید.

اگر این پست مشکل شما را حل کرد یا فقط آن را دوست داشتید، لینک آن را با دوستان خود در شبکه های اجتماعی به اشتراک بگذارید.

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد دانلود ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر قرار دهید. به ابتدای الگو (به هر حال، این اصلا ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.

یک شب سال نو دیگر... هوای یخبندان و دانه های برف روی شیشه پنجره... همه اینها باعث شد دوباره درباره... فراکتال ها و آنچه ولفرام آلفا درباره آن می داند بنویسم. مقاله جالبی در این زمینه وجود دارد که شامل نمونه هایی از ساختارهای فراکتالی دو بعدی است. در اینجا به نمونه های پیچیده تری از فراکتال های سه بعدی خواهیم پرداخت.

یک فراکتال را می توان به صورت بصری به عنوان یک شکل یا بدن هندسی نشان داد (به این معنی که هر دو مجموعه ای هستند، در این مورد، مجموعه ای از نقاط)، که جزئیات آن شکلی مشابه خود شکل اصلی دارند. یعنی این یک ساختار خود مشابه است که با بررسی جزئیات آن با بزرگنمایی، همان شکل بدون بزرگنمایی را خواهیم دید. در حالی که در مورد یک شکل هندسی معمولی (نه فراکتال)، با بزرگنمایی جزئیاتی را خواهیم دید که شکل ساده تری نسبت به خود شکل اصلی دارند. به عنوان مثال، در بزرگنمایی به اندازه کافی بالا، بخشی از یک بیضی مانند یک بخش خط مستقیم به نظر می رسد. در مورد فراکتال ها این اتفاق نمی افتد: با هر افزایشی در آنها، دوباره همان شکل پیچیده را خواهیم دید که با هر افزایش بارها و بارها تکرار می شود.

بنوا ماندلبروت، بنیانگذار علم فراکتال ها، در مقاله خود فراکتال ها و هنر به نام علم می نویسد: «فرکتال ها اشکال هندسی هستند که از نظر جزییات به اندازه شکل کلی خود پیچیده هستند. یعنی اگر بخشی از فراکتال باشد. به اندازه کل بزرگ می شود، به عنوان یک کل ظاهر می شود، یا دقیقاً یا شاید با تغییر شکل جزئی.