میانگین تعداد کانال های اشغال شده از طریق این احتمالات بیان می شود

=پ 1 + 2پ 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+ص)یا

= پ 1 + 2پ 2 +…+(n- 1) Pn- 1 +n( 1-پ 0 -پ 1 -…-پ n-1 ).

با استفاده از این، توان عملیاتی مطلق سیستم را پیدا می کنیم:

و همچنین میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم

م=s- =s-.

مثال 1. ورودی یک QS سه کاناله با خرابی، جریانی از درخواست‌ها را با شدت دریافت می‌کند. = 4 درخواست در دقیقه، زمان برای سرویس دهی به درخواست توسط یک کانال تی obs =1/μ =0.5 دقیقه. از نقطه نظر ظرفیت QS آیا سودآور است که هر سه کانال را به یکباره مجبور به سرویس دهی کنیم و میانگین زمان سرویس سه برابر کاهش یابد؟ این چگونه بر میانگین زمانی که یک برنامه در CMO می گذراند تأثیر می گذارد؟

راه حل.با استفاده از فرمول، احتمال خرابی یک QS سه کاناله را پیدا می کنیم

ρ = /μ =4/2=2، n=3،

P 0 = = = 0,158.

احتمال شکست با فرمول تعیین می شود:

P باز = P n ==

پباز = 0.21.

توان عملیاتی نسبی سیستم:

R obsl = 1-R باز است 1-0,21=0,79.

توان عملیاتی مطلق سیستم:

A= P obsl 3,16.

میانگین تعداد کانال های اشغال شده با فرمول تعیین می شود:

1.58، سهم کانال های اشغال شده توسط سرویس،

q = 0,53.

میانگین زمانی که یک برنامه کاربردی در QS می ماند به عنوان احتمال پذیرفته شدن برنامه برای سرویس، ضرب در میانگین زمان سرویس یافت می شود: t SMO 0.395 دقیقه

با ترکیب هر سه کانال در یک، یک سیستم تک کانالی با پارامترها به دست می آید μ= 6, ρ= 2/3. برای یک سیستم تک کانال، احتمال خرابی عبارت است از:

آر 0 = = =0,6,

احتمال شکست:

P باز =ρ P 0 = = 0,4,

توان نسبی:

R obsl = 1-R باز است =0,6,

توان عملیاتی مطلق:

A=P obs = 2.4.

t SMO =P obsl= = 0.1 دقیقه

در نتیجه ترکیب کانال ها در یک کانال، با افزایش احتمال خرابی، توان عملیاتی سیستم کاهش یافت. میانگین زمانی که یک برنامه کاربردی در سیستم می گذراند کاهش یافته است.

مثال 2. ورودی یک QS سه کاناله با یک صف نامحدود، جریانی از درخواست‌ها را با شدت دریافت می‌کند. = 4 برنامه در ساعت، میانگین زمان برای سرویس دهی به یک برنامه تی=1/μ=0.5 ساعت نشانگرهای عملکرد سیستم را پیدا کنید.

برای سیستم مورد بررسی n =3, =4، μ=1/0.5=2، ρ= /μ=2، ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

P= .

پ 0 = =1/9.

میانگین تعداد برنامه های موجود در صف را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

L =.

L = = .

میانگین زمان انتظار برای یک برنامه در صف را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم:

تی= = 0.22 ساعت.

میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در سیستم:

T=t+ 0,22+0,5=0,72.

مثال 3. 3 آرایشگاه در آرایشگاه مشغول به کار هستند و 3 صندلی در سالن انتظار وجود دارد. جریان مراجعان دارای شدت است = 12 مشتری در ساعت. میانگین زمان سرویس دهی تی obsl = 20 دقیقه توان عملیاتی نسبی و مطلق سیستم، میانگین تعداد صندلی های اشغال شده، میانگین طول صف، میانگین زمانی که مشتری در آرایشگاه می گذراند را تعیین کنید.

برای این کار n =3, متر =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. احتمال خرابی با فرمول تعیین می شود:

آر 0 =.

پ 0 = 0,012.

احتمال انکار سرویس با فرمول تعیین می شود

P باز =P n+m = .

پ باز کن =Pn + متر 0,307.

ظرفیت نسبی سیستم، به عنوان مثال احتمال خدمات:

P obsl =1-P باز شود 1-0,307=0,693.

توان عملیاتی مطلق:

A= P obsl 12 .

میانگین تعداد کانال های شلوغ:

.

متوسط ​​طول صف با فرمول تعیین می شود:

L =

L= 1,56.

میانگین زمان انتظار برای خدمات در صف:

تی= ساعت

میانگین تعداد برنامه های کاربردی برای CMO:

M=L + .

میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در CMO:

T=M/ 0.36 ساعت

مثال 4. یک کارگر 4 دستگاه را کار می کند. هر دستگاه با شدت از کار می افتد = 0.5 خرابی در ساعت، میانگین زمان تعمیر تی رم=1/μ=0.8 ساعت توان عملیاتی سیستم را تعیین کنید.

این مشکل یک QS بسته را در نظر می گیرد، μ =1.25، ρ=0.5/1.25=0.4. احتمال خرابی کارگران با فرمول تعیین می شود:

آر 0 =.

پ 0 = .

احتمال اشتغال کارگر R zan = 1-P 0 . الف=( 1-پ 0 )μ = 0.85μ دستگاه در ساعت.

وظیفه:

دو کارگر گروهی از چهار ماشین را اداره می کنند. توقف یک ماشین کار به طور متوسط ​​پس از 30 دقیقه اتفاق می افتد. میانگین زمان نصب 15 دقیقه است. زمان عملیات و راه اندازی بر اساس یک قانون نمایی توزیع می شود.

میانگین سهم زمان آزاد برای هر کارگر و میانگین زمان کارکرد دستگاه را بیابید.

مشخصه های یکسانی را برای سیستمی بیابید که در آن:

الف) به هر کارگر دو ماشین اختصاص داده می شود.

ب) دو کارگر همیشه ماشین را با هم و با شدت مضاعف سرویس می دهند.

ج) تنها ماشین معیوب توسط هر دو کارگر به طور همزمان (با شدت مضاعف) سرویس می شود، و هنگامی که حداقل یک دستگاه معیوب دیگر ظاهر می شود، آنها به طور جداگانه شروع به کار می کنند و هر یک به یک ماشین سرویس می دهد (ابتدا سیستم را بر حسب فرآیندهای مربوطه توضیح دهید. مرگ و تولد).

راه حل:

حالت های زیر سیستم S ممکن است:

S 0 - همه ماشین ها عملیاتی هستند.

دستگاه S 1 – 1 در حال تعمیر است، بقیه در حال کار هستند.

دستگاه S 2 – 2 در حال تعمیر است، بقیه در حال کار هستند.

دستگاه S 3 – 3 در حال تعمیر است، بقیه در حال کار هستند.

دستگاه S 4 – 4 در حال تعمیر است، بقیه سالم هستند.

S 5 - (1، 2) ماشین آلات در حال تعمیر هستند، بقیه در وضعیت خوبی هستند.

S 6 - (1، 3) ماشین آلات در حال تعمیر هستند، بقیه در حال کار هستند.

S 7 - (1، 4) ماشین آلات در حال تعمیر هستند، بقیه در حال کار هستند.

S 8 - (2، 3) ماشین آلات در حال تعمیر هستند، بقیه در وضعیت خوبی هستند.

S 9 - (2، 4) ماشین آلات در حال تعمیر هستند، بقیه در وضعیت خوبی هستند.

S 10 - (3، 4) ماشین آلات در حال تعمیر هستند، بقیه در وضعیت خوبی هستند.

S 11 - (1، 2، 3) ماشین آلات در حال تعمیر هستند، 4 ماشین در حال کار است.

S 12 - (1، 2، 4) ماشین آلات در حال تعمیر هستند، 3 دستگاه در حال کار است.

S 13 - (1، 3، 4) ماشین آلات در حال تعمیر هستند، ماشین 2 عملیاتی است.

S 14 - (2، 3، 4) ماشین آلات در حال تعمیر هستند، 1 ماشین در حال کار است.

S 15 - کلیه ماشین آلات تعمیر شده است.

نمودار وضعیت سیستم ...

این سیستم S نمونه ای از یک سیستم بسته است، زیرا هر ماشین یک نیاز بالقوه است که در لحظه خراب شدن به یک ماشین واقعی تبدیل می شود. در حین کار دستگاه در بلوک تاخیر قرار دارد و از لحظه خرابی تا پایان تعمیر در خود سیستم می باشد. هر کارگر یک کانال خدماتی است.

اگر کارگری مشغول باشد، در واحد زمان، ظرفیت سیستم، μ-ماشین ها را راه اندازی می کند:

پاسخ:

میانگین سهم وقت آزاد برای هر کارگر ≈ 0.09 است.

میانگین زمان کارکرد دستگاه ≈ 3.64.

الف) به هر کارگر دو ماشین اختصاص داده می شود.

احتمال خرابی کارگران با فرمول تعیین می شود:

احتمال استخدام کارگر:

اگر کارگری مشغول باشد، در واحد زمان، ظرفیت سیستم، μ-ماشین ها را راه اندازی می کند:

پاسخ:

میانگین سهم وقت آزاد برای هر کارگر ≈ 0.62 است.

میانگین زمان کارکرد دستگاه ≈ 1.52.

ب) دو کارگر همیشه ماشین را با هم و با شدت مضاعف سرویس می کنند.

ج) تنها ماشین معیوب توسط هر دو کارگر به طور همزمان (با شدت مضاعف) سرویس می شود، و هنگامی که حداقل یک دستگاه معیوب دیگر ظاهر می شود، آنها به طور جداگانه شروع به کار می کنند و هر یک به یک ماشین سرویس می دهد (ابتدا سیستم را از نظر فرآیندهای مربوطه توضیح دهید. مرگ و تولد).

مقایسه 5 پاسخ:

موثرترین راه برای سازماندهی کارگران در ماشین ها، نسخه اولیه کار خواهد بود.

نمونه هایی از ساده ترین سیستم های صف (QS) در بالا مورد بحث قرار گرفت. اصطلاح "تک یاخته" به معنای "ابتدایی" نیست. مدل های ریاضی این سیستم ها قابل اجرا و با موفقیت در محاسبات عملی هستند.

امکان بکارگیری تئوری تصمیم در سیستم های صف با عوامل زیر تعیین می شود:

1. تعداد برنامه های کاربردی در سیستم (که به عنوان QS در نظر گرفته می شود) باید کاملاً زیاد باشد (به طور انبوه).

2. همه برنامه های دریافت شده در ورودی QS باید از یک نوع باشند.

3. برای محاسبه با استفاده از فرمول ها، باید قوانینی را بدانید که دریافت درخواست ها و شدت پردازش آنها را تعیین می کند. علاوه بر این، جریان های سفارش باید پواسون باشند.

4. ساختار QS، i.e. مجموعه الزامات ورودی و ترتیب پردازش درخواست باید کاملاً ثابت شود.

5. لازم است موضوعات از سیستم حذف شوند یا آنها به عنوان الزامات با شدت پردازش ثابت توصیف شوند.

به محدودیت‌های ذکر شده در بالا، می‌توانیم یکی دیگر را اضافه کنیم که تأثیر زیادی بر ابعاد و پیچیدگی مدل ریاضی دارد.

6. تعداد اولویت های استفاده شده باید حداقل باشد. اولویت برنامه ها باید ثابت باشد، یعنی. آنها نمی توانند در طول پردازش در QS تغییر کنند.

در طول کار، هدف اصلی به دست آمد - مطالب اصلی "QS با زمان انتظار محدود" و "QS بسته" مورد مطالعه قرار گرفت که توسط معلم رشته دانشگاهی تنظیم شده است. همچنین با کاربرد دانش کسب شده در عمل آشنا شدیم، یعنی. مواد پوشش داده شده را ادغام کرد.

1) http://www.5ballov.ru.

2) http://www.studentport.ru.

3) http://vse5ki.ru.

4) http://revolution..

5) فومین جی.پ. روش ها و مدل های ریاضی در فعالیت های تجاری. م: امور مالی و آمار، 2001.

6) Gmurman V.E. نظریه احتمالات و آمار ریاضی. م: دبیرستان، 2001.

7) Sovetov B.A.، Yakovlev S.A. مدل سازی سیستم ها م: دبیرستان، 1985.

8) لیفشیتس ع.ال. مدل سازی آماری QS. م.، 1978.

9) Ventzel E.S. تحقیق در عملیات. M: Nauka، 1980.

10) Ventzel E.S., Ovcharov L.A. نظریه احتمال و کاربردهای مهندسی آن M: Nauka، 1988.

یک QS چند کاناله را در نظر بگیرید (پ> 1)، که ورودی آن یک جریان پواسون از درخواست‌ها را با شدت دریافت می‌کند و شدت سرویس هر کانال p است، حداکثر تعداد مکان‌های ممکن در صف با مقدار محدود می‌شود. تی.حالت های گسسته QS با تعداد برنامه های دریافت شده توسط سیستم تعیین می شود که می توان آنها را یادداشت کرد:

مربع - همه کانال ها رایگان هستند، ک = 0;

S-فقط یک کانال اشغال شده است (هر کدام)، ک = 1;

*5*2 - فقط دو کانال (هر کدام) اشغال شده است، ک = 2;

S n- همه مشغول هستند پکانال ها، k = p.

در حالی که QS در هر یک از این حالت ها است، هیچ صفی وجود ندارد. پس از اشغال تمام کانال‌های سرویس، درخواست‌های بعدی یک صف تشکیل می‌دهند و بدین ترتیب وضعیت بعدی سیستم را تعیین می‌کنند:

S n + -همه مشغول هستند پکانال ها و یک برنامه در صف است، ک = پ + 1;

اس n +2 - همه مشغول هستند پکانال ها و دو برنامه در صف هستند، ک = پ + 2;

S n+m -همه مشغول هستند پطناب و همه چیز تیمکان های در صف k = n + m.

حالت گراف و کانال SMOبا صف،محدود تیدر برخی نقاط، در شکل نشان داده شده است. 5.18.

انتقال QS به حالتی با اعداد زیاد توسط جریان درخواست های دریافتی با شدت تعیین می شود.

برنج. 5.18

در حالی که بر حسب شرط در رسیدگی به این درخواست ها شرکت می کنند پکانال های یکسان با شدت جریان سرویس برابر با p برای هر کانال. در این حالت، شدت کل جریان سرویس با اتصال کانال های جدید تا این حالت افزایش می یابد. Sn،وقتی همه پکانال ها شلوغ خواهند شد با ظاهر شدن صف، شدت سرویس دیگر افزایش نمی یابد، زیرا قبلاً به حداکثر مقدار برابر با ph

اجازه دهید عباراتی را برای احتمالات محدود کننده حالت ها بنویسیم

عبارت rho را می توان با استفاده از فرمول پیشرفت هندسی برای مجموع عبارت با مخرج p تبدیل کرد. /پ:

تشکیل یک صف زمانی امکان پذیر است که یک برنامه جدید دریافت شده حداقل در سیستم پیدا شود پالزامات، یعنی زمانی که سیستم خواهد بود p, p + 1, پ + 2, (پ + تی- 1) الزامات. این رویدادها مستقل هستند، بنابراین احتمال اشغال همه کانال ها برابر است با مجموع احتمالات مربوطه r yu Rp+bPp+2 > ->Рп+т- 1- بنابراین احتمال تشکیل صف می باشد

امکان انکار خدمات زمانی رخ می دهد که همه پکانال ها و همه چیز تیمکان های ردیف پر است

توان نسبی برابر خواهد بود

توان عملیاتی مطلق

میانگین تعداد کانال های شلوغ

میانگین تعداد کانال های بیکار

نسبت اشغال کانال (استفاده).

نسبت قطعی کانال

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف

اگر r/n = 1، این فرمول شکل دیگری دارد:

میانگین زمان انتظار در یک صف با فرمول های لیتل تعیین می شود

میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در QS، مانند QS تک کاناله، بیشتر از میانگین زمان انتظار در صف با میانگین زمان سرویس برابر با 1/p است، زیرا برنامه همیشه تنها توسط یک کانال ارائه می شود:

مثال 5.21. این مینی مارکت مشتریانی را با شدت شش مشتری در دقیقه دریافت می کند که توسط سه صندوقدار با شدت دو مشتری در دقیقه خدمات رسانی می شود. طول صف محدود به پنج مشتری است. ویژگی های QS را تعیین کنید و عملکرد آن را ارزیابی کنید.

راه حل

n = 3; تی = 5; X =6; p = 2; p =X/x = 3; r/n = 1.

ما احتمالات محدود کننده حالت های QS را پیدا می کنیم:

سهم خرابی صندوقداران

این احتمال وجود دارد که تنها یک کانال با سرویس دهی اشغال شده باشد

احتمال اینکه دو کانال با سرویس دهی اشغال شده باشد می باشد

این احتمال وجود دارد که هر سه کانال مشغول باشند

احتمال اشغال هر سه کانال و پنج مکان در صف است

امکان انکار سرویس زمانی رخ می دهد که k = t + n = = 5 + 3 = 8 و است р$ = р OTK = 0,127.

ظرفیت نسبی و مطلق QS به ترتیب برابر است س = 1 - r باز کنید= 0.873 و L = 0.873A. = 5.24 (مشتریان در دقیقه).

میانگین تعداد کانال های شلوغ و میانگین طول صف عبارتند از:

میانگین زمان انتظار در صف n ماندن در QS به ترتیب برابر است با:

سیستم خدمات مینی مارکت مستحق ستایش است، زیرا میانگین طول صف و میانگین زمانی که مشتری در صف سپری می کند کم است.

مثال 5.22. به طور متوسط ​​هر 30 دقیقه خودروهایی با محصولات میوه و سبزی وارد انبار میوه و تره بار می شوند. میانگین زمان تخلیه یک کامیون 1.5 ساعت است که تخلیه توسط دو تیم لودر انجام می شود. در قلمرو پایگاه، نباید بیش از چهار وسیله نقلیه در مرحله فرود در صف باشند و منتظر تخلیه باشند. ما شاخص ها را تعیین کرده و عملکرد QS را ارزیابی خواهیم کرد.

راه حل

SMO دو کاناله، پ= 2 با تعداد محدود مکان در صف متر= 4، شدت جریان ورودی l. = 2 av/h، شدت سرویس c = 2/3 av/h، شدت بار p = A./p = 3، r/n = 3/2 = 1,5.

ما ویژگی های QS را تعیین می کنیم:

این احتمال وجود دارد که همه خدمه بدون وسیله نقلیه بارگیری شوند

احتمال خرابی زمانی که دو خودرو در حال تخلیه و چهار خودرو در صف باشند،

میانگین تعداد خودروهای در صف

سهم خرابی لودرها بسیار ناچیز است و تنها 1.58٪ از زمان کار را تشکیل می دهد و احتمال امتناع زیاد است - 36٪ از درخواست های دریافتی از تخلیه رد می شوند ، هر دو تیم تقریباً به طور کامل مشغول هستند ، ضریب استخدام نزدیک به یک است. و برابر با 0.96، توان نسبی کم است - فقط 64٪ از برنامه های دریافتی سرویس می شود، میانگین طول صف 2.6 خودرو است، بنابراین SM O نمی تواند با انجام درخواست های خدمات مقابله کند و لازم است افزایش تعداد تیم های لودر و استفاده گسترده تر از قابلیت های مرحله فرود.

مثال 5.23. یک شرکت تجاری سبزیجات زودرس را از گلخانه های یک مزرعه دولتی حومه شهر به صورت تصادفی با شدت 6 واحد دریافت می کند. در یک روز. اتاق های ابزار، تجهیزات و منابع نیروی کار به ما امکان پردازش و ذخیره محصولات را به میزان 2 واحد می دهد. این شرکت چهار نفر استخدام می کند که هر کدام به طور میانگین می توانند محصولات یک بار تحویل را در مدت 4 ساعت پردازش کنند.مدت روز کاری در نوبت کاری 12 ساعت است. ظرفیت انبار چقدر باید باشد تا پردازش کامل انجام شود. محصولات حداقل 97 درصد از تعداد تحویل انجام شده خواهد بود؟

راه حل

بیایید مشکل را با تعیین متوالی نشانگرهای QS برای مقادیر مختلف ظرفیت ذخیره سازی حل کنیم تی= 2، 3، 4، 5 و غیره و مقایسه در هر مرحله از محاسبه احتمال سرویس با مقدار معین р 0 ()С = 0,97.

شدت بار را تعیین کنید:

ما احتمال یا کسری از زمان خرابی را پیدا می کنیم t = 2:

احتمال انکار سرویس، یا نسبت برنامه های از دست رفته،

احتمال سرویس یا نسبت درخواست های ارائه شده از برنامه های دریافت شده است

از آنجایی که مقدار به دست آمده کمتر از مقدار تعیین شده 0.97 است، محاسبات را برای تی= 3. برای این مقدار، شاخص های حالت های QS دارای مقادیر هستند

احتمال سرویس در این حالت نیز کمتر از مقدار مشخص شده است، بنابراین محاسبات را برای بعدی ادامه می دهیم. t = 4، که برای آن شاخص های حالت دارای مقادیر زیر هستند: p$ = 0.12; Rotk = 0.028; Pofc = 0.972. اکنون مقدار به دست آمده از احتمال سرویس، شرایط مشکل را برآورده می کند، از 0.972 > 0.97، بنابراین، ظرفیت انبار باید به حجم 4 واحد افزایش یابد.

برای دستیابی به یک احتمال معین از خدمات، می‌توانید با محاسبه متوالی شاخص‌های QS، تعداد بهینه افراد را برای پردازش سبزیجات انتخاب کنید. n = 3، 4، 5 و غیره یک راه حل مصالحه را می توان با مقایسه و تضاد برای گزینه های مختلف برای سازمان های CMO، هزینه های مرتبط با افزایش تعداد کارکنان و ایجاد تجهیزات تکنولوژیکی ویژه برای پردازش سبزیجات در یک شرکت تجاری پیدا کرد.

بنابراین، مدل‌های صف در ترکیب با روش‌های اقتصادی تنظیم وظایف، تجزیه و تحلیل سیستم‌های QS موجود، توسعه توصیه‌هایی برای سازماندهی مجدد آنها برای بهبود کارایی عملیاتی و همچنین تعیین عملکرد بهینه سیستم‌های QS جدید ایجاد شده را ممکن می‌سازد.

مثال 5.24. به طور متوسط، نه خودرو در ساعت به کارواش می‌رسد، اما اگر از قبل چهار خودرو در صف وجود داشته باشد، مشتریان تازه وارد معمولاً به صف نمی‌پیوندند، بلکه از آنجا عبور می‌کنند. میانگین زمان شستشوی ماشین ۲۰ دقیقه است و تنها دو مکان برای شستن آن وجود دارد. میانگین هزینه شستن ماشین 70 روبل است. میانگین از دست دادن درآمد یک کارواش در طول روز را تعیین کنید.

راه حل

ایکس= 9 ماشین در ساعت؛ = 20 دقیقه؛ p = 2; t = 4.

یافتن شدت بار تعیین درصد خرابی کارواش

احتمال شکست

ظرفیت نسبی برابر است با ظرفیت مطلق میانگین تعداد خودروهای در صف

میانگین تعداد برنامه های در حال سرویس دهی

میانگین زمان انتظار در صف

میانگین زمانی که یک خودرو در کارواش صرف می کند

بنابراین، 34٪ از برنامه ها سرویس نمی شوند، ضرر برای 12 ساعت کار در روز به طور متوسط ​​2570 روبل خواهد بود. (12*9* 0.34 70)، یعنی. 52 درصد از کل درآمد، زیرا r باز = 0,52 p 0 ^ s.

• توان نسبی یا احتمال سرویس، توان عملیاتی مطلق، میانگین تعداد خدمه اشغال شده، نرخ اشغال خدمه لودر

سیستم های انتظار با جریان ورودی نامحدود

فرمول های محاسباتی
احتمال رایگان بودن همه کانال ها

میانگین تعداد ستون های اشغال شده:
N zan =n-N 0 = 2-(2 p 0 + 1 p 1) = 2-2 0.1111 - 0.1778 = 1.6
احتمال عدم صف در پمپ بنزین:

احتمال اینکه شما باید منتظر بمانید تا سرویس شروع شود برابر است با احتمال اشغال شدن همه ستون ها:
p 0 + p 1 + p 2 = 0.1111 + 0.1778 + 0.1422 = 0.4311
میانگین تعداد خودروهای در صف:

• اس 0 – کانال رایگان است.
• اس 1 – کانال مشغول است.
• اس 2 - کانال مشغول است، یک درخواست در صف است.
• اسک- کانال مشغول است، (k–1) درخواست ها در صف هستند.
• اسمتر+ 1 – کانال مشغول است، در صف متربرنامه های کاربردی.

برنج. 25
با استفاده از فرمول های Erlang، احتمالات رویدادهایی را خواهیم یافت که شامل این واقعیت است که QS در یک حالت قرار دارد. اس 1 , اس 2 , …, اس m+1:
(28)

در این حالت، احتمال اینکه اپلیکیشنی که وارد سیستم می شود آن را رایگان بیابد برابر است با
. (29)
نسبت شدت دریافت درخواست‌ها λ به شدت درخواست‌های سرویس‌دهی μ، شدت کاهش‌یافته μ است، یعنی.

ρ=λ/μ
اجازه دهید نسبت λ/&mu را در فرمول های (28) و (29) با ρ جایگزین کنیم، سپس عبارات به شکل زیر در می آیند:

(30)
احتمال آر 0 با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:
p 0 = -1. (31)
بیان برای احتمال پ 0 یک تصاعد هندسی است که مجموع آن برابر خواهد بود

.
بنابراین، فرمول های (30) و (31) امکان تعیین احتمال هر رویدادی را که می تواند در سیستم رخ دهد، تعیین می کند، یعنی احتمال قرار گرفتن سیستم در هر حالتی را تعیین می کند.
فرمول برای پ 0 برای حالتی معتبر است که ρ ≠ 1 باشد. در صورتی که ρ = 1، یعنی شدت دریافت برنامه ها برابر با شدت سرویس دهی آنها باشد، از فرمول دیگری برای محاسبه احتمال رایگان بودن سیستم استفاده می شود:

,
که m تعداد برنامه های موجود در صف است.

بیایید تعریف کنیم ویژگی های عملکرد QS تک کاناله:

• این احتمال وجود دارد که درخواست بعدی وارد شده به سیستم رد شود آر otk;
• توان عملیاتی مطلق آ,
• توان نسبی س,
• تعداد کانال های اشغال شده k
• میانگین تعداد درخواست ها در صف r،
• میانگین تعداد برنامه های مرتبط با QS، z .

درخواست بعدی که وارد سیستم می شود، زمانی که کانال مشغول است، رد می شود، یعنی درخواست دیگری در حال سرویس دهی است، و بس. مترمکان های صف نیز پر شده است. سپس احتمال این رویداد را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

. (32)
احتمال اینکه یک برنامه کاربردی وارد سیستم شود و بلافاصله سرویس شود یا مکان هایی در صف وجود داشته باشد، یعنی توان نسبی را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد.

. (33)
میانگین تعداد درخواست‌هایی که می‌توان در واحد زمان، یعنی توان عملیاتی مطلق، به صورت زیر محاسبه می‌شود:

A=Q·λ (34)
بنابراین، با استفاده از فرمول های (32)، (33)، (34) می توان شاخص های اصلی عملکرد را برای هر سیستم صف محاسبه کرد. اکنون عباراتی را برای محاسبه ویژگی های ذاتی این QS استخراج می کنیم.
میانگین تعداد درخواست‌ها در صف r را به‌عنوان انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته تعریف می‌کنیم. آر- تعداد برنامه های موجود در صف.
♦ آر 2 احتمال وجود یک درخواست در صف خدمات است.
♦ آر 3- احتمال وجود دو برنامه در صف
♦ آرک- احتمال وجود (k–1) برنامه های کاربردی در صف.
♦ آرمتر+ 1 - احتمال وجود m برنامه در صف.
سپس میانگین تعداد برنامه های موجود در صف را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:
r =1·P 2 +2·P 3 + ... +(k-1)·P k + ... +m·P m+1 . (35)
اجازه دهید مقادیر احتمالی که قبلاً در فرمول (30) محاسبه شده است را جایگزین فرمول (35) کنیم:
r =1·ρ 2 ·p 0 +2·ρ 3 ·p 0 + ... +(k-1)·ρ k ·p 0 + ... +m·ρ m+1 ·p 0 . (35)
بیایید احتمال را از معادله خارج کنیم پ 0 و آر 2، سپس فرمول نهایی را برای محاسبه میانگین تعداد درخواست ها در صف خدمات دریافت می کنیم:
r =ρ 2 p 0 (1+2 ρ+ ... +(k-1) ρ k-2 + ... +m ρ m-1)
اجازه دهید فرمولی را برای میانگین تعداد برنامه های مرتبط با QS، z استخراج کنیم، یعنی تعداد برنامه های موجود در صف که در حال سرویس دهی هستند. تعداد کل برنامه های مرتبط با QS، z را به عنوان مجموع دو مقدار میانگین تعداد برنامه ها در صف r و تعداد کانال های شلوغ k در نظر بگیرید:

z = r + k.
از آنجایی که فقط یک کانال وجود دارد، تعداد کانال های اشغال شده k می تواند مقادیر 0 یا 1 را بگیرد. احتمال k = 0، یعنی. سیستم آزاد است، مربوط به احتمال P 0 است، مقدار آن را می توان با استفاده از فرمول (31) پیدا کرد. اگر k = 1، به عنوان مثال. کانال مشغول سرویس دهی به درخواست است، اما هنوز مکان هایی در صف وجود دارد، سپس احتمال این رویداد را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

.
بنابراین z برابر خواهد بود با:

. (37)

QS تک کاناله با انتظار

سیستم تک کاناله با صف نامحدود

برای تعیین احتمالات محدود کننده حالت‌ها، از فرمول‌های (16)، (17) برای فرآیند مرگ و تولید مثل استفاده می‌کنیم (در اینجا ما به کمبود خاصی اعتراف می‌کنیم، زیرا این فرمول‌ها قبلاً برای تعداد محدودی به دست آمده بودند. حالات سیستم). دریافت می کنیم (32)
از آنجایی که احتمالات محدود کننده فقط برای ρ وجود دارد< 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
p 0 = 1-ρ، (33)
و با در نظر گرفتن روابط (17)
p 1 =ρ·p 0 ; p 2 =ρ 2 ·p 0 ; ... p k =ρ k ·p 0 ; ...
بیایید احتمالات محدود کننده حالت های دیگر را پیدا کنیم
p 1 =ρ·(1-ρ); p 2 =ρ 2 ·(1-ρ); ... p k =ρ k ·(1-ρ); ... (34)
احتمالات محدود کننده p 0 , p 1 , p 2 , ..., p k , ... یک حرفه هندسی کاهشی با مخرج p تشکیل می دهند.< 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم L سیستم. ما با استفاده از فرمول انتظارات ریاضی تعیین خواهیم کرد که با در نظر گرفتن (34) شکل خواهد گرفت
(35)
(مجموع از 1 تا ∞، زیرا جمله صفر 0·p 0 =0 است).
می توان نشان داد که فرمول (35) تبدیل (در ρ< 1) к виду
(36)
بیایید میانگین تعداد برنامه های موجود در صف L را خیلی پیدا کنیم. بدیهی است که
L och = L syst -L rev (37)
جایی که L vol. - میانگین تعداد برنامه های در حال سرویس دهی.
میانگین تعداد درخواست‌های تحت سرویس با فرمول انتظار ریاضی تعداد درخواست‌های تحت سرویس، با گرفتن مقدار 0 (اگر کانال رایگان) یا 1 (اگر کانال مشغول است) تعیین می‌شود:
L och =0 p 0 +1 (1-p 0)
آن ها میانگین تعداد درخواست های تحت سرویس برابر با احتمال اشغال بودن کانال است:
L och =P zan =1-p 0 , (38)
در حال اجرا (33)
L och =P zan ρ, (39)
حال طبق فرمول (37) با احتساب (36) و (39)
(40)
ثابت شده است که برای هر نوع جریان برنامه‌ها، برای هر توزیع زمان خدمات، برای هر رشته خدماتی، میانگین زمان ماندن یک درخواست در سیستم (صف) برابر است با تقسیم میانگین تعداد برنامه‌های کاربردی در سیستم (در صف) با شدت جریان برنامه ها،آن ها
(41)
(42)
فرمول های (41) و (42) نامیده می شوند فرمول های لیتلآنها از این واقعیت ناشی می شوند که در حالت محدود، ثابت، میانگین تعداد برنامه‌های وارد شده به سیستم برابر است با میانگین تعداد برنامه‌هایی که از آن خارج می‌شوند:هر دو جریان درخواست ها شدت λ یکسانی دارند.
بر اساس فرمول های (41) و (42)، با در نظر گرفتن (36) و (40)، میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در سیستم با فرمول تعیین می شود:
(43)
و میانگین زمانی که یک برنامه در صف می ماند
(44)

QS تک کاناله با انتظار بدون محدودیت در ظرفیت بلوک انتظار

مثال 3.3.اجازه دهید وضعیت در نظر گرفته شده در مثال 3.2 را به یاد بیاوریم، جایی که ما در مورد عملکرد یک پست تشخیصی صحبت می کنیم. اجازه دهید پست تشخیصی مورد نظر دارای تعداد نامحدودی پارکینگ برای وسایل نقلیه ای باشد که برای سرویس می رسند، یعنی طول صف نامحدود است.
برای تعیین مقادیر نهایی ویژگی های احتمالی زیر لازم است:

• احتمالات حالات سیستم (ایستگاه تشخیصی)؛
• میانگین تعداد خودروهای موجود در سیستم (در حال سرویس و در صف)؛
• میانگین مدت اقامت یک وسیله نقلیه در سیستم (برای سرویس و در صف)؛
• میانگین تعداد خودروهایی که در صف خدمات هستند؛
• میانگین مدت زمانی که یک ماشین در صف می ماند.

راه حل
1. پارامتر جریان سرویس m و شدت کاهش یافته جریان خودرو p در مثال 3.2 تعریف شده است:
m = 0.952; p = 0.893.
2. احتمالات محدود کننده سیستم را با استفاده از فرمول ها محاسبه کنید
P 0 = 1-ρ = 1-0.893 = 0.107
P 1 = (1-ρ) ρ = (1-0.893) 0.893 = 0.096
P 2 = (1-ρ) ρ 2 = (1-0.893) 2 0.893 = 0.085
P 3 = (1-ρ) ρ 3 = (1-0.893) 3 0.893 = 0.076
P 4 = (1-ρ) ρ 4 = (1-0.893) 4 0.893 = 0.068
P 5 = (1-ρ) ρ 5 = (1-0.893) 5 0.893 = 0.061
و غیره.
لازم به ذکر است که P o نسبت زمانی را تعیین می کند که در طی آن پست تشخیصی مجبور به غیرفعال شدن (بیکار) می شود. در مثال ما 10.7 درصد است R o= 0,107.
3. میانگین تعداد خودروهای موجود در سیستم (در حال سرویس و در صف):
4. میانگین مدت اقامت مشتری در سیستم:

تی= l P N

در مثال ما، با N = 3 + 1 = 4 و p = 0.893،
m = l P o p 4 = 0.85·0.248·0.8934·0.134 اتومبیل در ساعت.
با یک حالت کارکرد 12 ساعته ایستگاه تشخیص، این معادل این واقعیت است که ایستگاه تشخیصی به طور متوسط ​​12·0.134 = 1.6 خودرو در هر شیفت (روز) از دست می دهد.
حذف محدودیت در طول صف به ما این امکان را می دهد که تعداد مشتریانی را که در مثال خود ارائه می دهیم به طور متوسط ​​1.6 اتومبیل در هر شیفت (12 ساعت کار) در ایستگاه تشخیص افزایش دهیم. واضح است که تصمیم برای گسترش فضای پارک خودروهایی که به ایستگاه تشخیصی می‌رسند باید بر اساس ارزیابی خسارت اقتصادی ناشی از از دست دادن مشتریان در شرایطی باشد که تنها سه جای پارک برای این خودروها وجود دارد.

QS چند کاناله با صف نامحدود

سیستم می تواند در یکی از حالت های S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,…, S n ,…, - شماره گذاری شده بر اساس تعداد برنامه های کاربردی در QS: S 0 - هیچ برنامه کاربردی در سیستم (همه کانال ها رایگان هستند)؛ S 1 - یک کانال اشغال شده است، بقیه رایگان هستند. S 2 - دو کانال مشغول هستند، بقیه آزاد هستند؛...، S k - k کانال ها مشغول هستند، بقیه آزاد هستند؛...، S n - همه n کانال مشغول هستند (بدون صف). S n+1 - همه n کانال مشغول هستند، یک درخواست در صف وجود دارد؛...، S n+r - همه مشغول هستند nکانال ها، rبرنامه ها در خط هستند ...

نمودار وضعیت سیستم در شکل نشان داده شده است. 9. توجه داشته باشیم که برخلاف QS قبلی، شدت جریان سرویس (انتقال سیستم از یک حالت به حالت دیگر از راست به چپ) ثابت نمی ماند و با افزایش تعداد درخواست ها در QS از 0 به n، از m به nm افزایش می یابد، زیرا تعداد کانال های سرویس بر این اساس افزایش می یابد. وقتی تعداد درخواست‌ها در QS بیشتر از n باشد، شدت جریان سرویس برابر nm باقی می‌ماند.

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف
, (50)
میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم
L syst =L och +ρ، (51)
میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در صف و میانگین زمانی که یک برنامه کاربردی در سیستم می ماند، مانند قبل، با استفاده از فرمول های لیتل (42) و (41) به دست می آید.
اظهار نظر.برای یک QS با یک صف نامحدود در r< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность س=1، و توان عملیاتی مطلق برابر با شدت جریان ورودی درخواست‌ها است، یعنی. آ=l.

QS با صف محدود

در ساده‌ترین مدل‌های ریاضی چنین سیستم‌هایی، فرض می‌شود که یک درخواست می‌تواند برای یک زمان تصادفی در صف باقی بماند، که طبق یک قانون نمایی با یک پارامتر مشخص υ توزیع شده است. می‌توانیم به‌طور مشروط فرض کنیم که هر درخواستی که در صف سرویس قرار می‌گیرد، می‌تواند سیستم را با شدت υ ترک کند.
شاخص های عملکرد QS با زمان محدود مربوطه بر اساس نتایج به دست آمده برای فرآیند مرگ و تولید مثل به دست می آیند.

در نتیجه، ما متذکر می شویم که در عمل اغلب سیستم های خدمات بسته وجود دارد که در آنها جریان ورودی برنامه ها به طور قابل توجهی به وضعیت خود QS بستگی دارد. به عنوان مثال، می توان وضعیتی را ذکر کرد که برخی از ماشین ها از محل کار به انبار تعمیر می رسند: واضح است که هر چه تعداد ماشین آلات در حالت تعمیر بیشتر باشد، استفاده از آنها کمتر و شدت کمتری دارد. جریان ماشین آلات تازه وارد برای تعمیر. یک QS بسته با تعداد محدودی از منابع درخواست مشخص می شود و هر منبع زمانی که درخواست آن ارائه می شود "مسدود" می شود (یعنی درخواست های جدیدی صادر نمی کند). در چنین سیستم هایی، با تعداد محدودی از حالت های QS، احتمالات محدود کننده برای هر مقدار شدت جریان برنامه و سرویس وجود خواهد داشت. آنها را می توان با بررسی مجدد روند مرگ و تولید مثل محاسبه کرد.

بیایید ساده ترین QS را با انتظار در نظر بگیریم - یک سیستم تک کانالی که جریانی از درخواست ها را با شدت دریافت می کند. شدت سرویس (به عنوان مثال، به طور متوسط، یک کانال به طور مداوم مشغول به درخواست خدمات در هر واحد (از زمان) ارسال می کند. درخواستی که در زمانی که کانال مشغول است وارد صف می شود و در انتظار سرویس است.

سیستم با طول صف محدود. اجازه دهید ابتدا فرض کنیم که تعداد مکان‌های صف با تعداد محدود است، یعنی اگر برنامه‌ای در زمانی وارد شود که از قبل برنامه‌هایی در صف وجود داشته باشد، سیستم را بدون سرویس رها می‌کند. در آینده، با عجله به سمت بی نهایت، ویژگی های یک QS تک کانال را بدون محدودیت در طول صف به دست خواهیم آورد.

ما وضعیت های QS را با توجه به تعداد برنامه های موجود در سیستم (هم در حال سرویس و هم در انتظار سرویس) شماره گذاری می کنیم:

کانال رایگان است

کانال شلوغ است، هیچ صفی وجود ندارد.

کانال مشغول است، یک برنامه در صف است.

کانال مشغول است، برنامه ها در صف هستند.

کانال شلوغ است، هزاران برنامه در صف هستند.

GSP در شکل نشان داده شده است. 5.8. تمام شدت جریان‌های رویداد که در امتداد فلش‌های چپ به راست به داخل سیستم حرکت می‌کنند برابر و از راست به چپ - هستند. در واقع، جریان درخواست‌ها، سیستم را در امتداد فلش‌ها از چپ به راست حرکت می‌دهد (به محض رسیدن درخواست، سیستم به حالت بعدی می‌رود)، در حالی که از راست به چپ جریانی از "انتشار" یک کانال شلوغ وجود دارد. ، که دارای شدت است (به محض اینکه درخواست بعدی سرویس شود، کانال یا رایگان می شود یا تعداد برنامه های موجود در صف کاهش می یابد).

برنج. 5.8. QS تک کاناله با انتظار

در شکل نشان داده شده است. نمودار 5.8 نمودار تولید مثل و مرگ است. با استفاده از راه حل کلی (5.32)-(5.34)، عباراتی را برای احتمالات محدود کننده حالت ها می نویسیم (همچنین به (5.40) مراجعه کنید:

یا با استفاده از:

آخرین خط در (5.45) شامل یک تصاعد هندسی با جمله اول 1 و مخرج p است. از کجا می گیریم:

در ارتباط با آن، احتمالات محدود کننده شکل می گیرند:

عبارت (5.46) فقط برای (زیرا عدم قطعیت شکل را می دهد) معتبر است. مجموع یک تصاعد هندسی با مخرج برابر است با و در این مورد

اجازه دهید ویژگی های QS را تعیین کنیم: احتمال شکست، توان نسبی، توان عملیاتی مطلق، میانگین طول صف، میانگین تعداد برنامه های مرتبط با سیستم، متوسط ​​زمان انتظار در صف، میانگین زمان صرف شده در QS

احتمال شکست. بدیهی است که برنامه تنها در صورتی رد می شود که کانال مشغول باشد و تمام t مکان های صف نیز مشغول باشند:

پهنای باند نسبی:

توان عملیاتی مطلق:

میانگین طول صف بیایید میانگین تعداد برنامه های موجود در صف را به عنوان انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته پیدا کنیم - تعداد برنامه های موجود در صف:

با احتمال یک برنامه در صف وجود دارد، با احتمال دو برنامه وجود دارد، به طور کلی با احتمال برنامه های کاربردی در صف وجود دارد و غیره، از جایی که:

از آنجایی که مجموع (5.50) را می توان به عنوان مشتق با توجه به مجموع یک پیشرفت هندسی تفسیر کرد:

با جایگزینی این عبارت به (5.50) و با استفاده از (5.47)، در نهایت به دست می آوریم:

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم. سپس، فرمولی برای میانگین تعداد برنامه‌های مرتبط با سیستم (هم آنهایی که در صف ایستاده‌اند و هم آنهایی که در حال سرویس هستند) به دست می‌آوریم. از آنجایی که میانگین تعداد برنامه های تحت سرویس کجاست، مشخص است، باید تعیین کرد. از آنجایی که تنها یک کانال وجود دارد، تعداد درخواست های ارائه شده می تواند برابر با (با احتمال) یا 1 (با احتمال) باشد که از این تعداد:

و میانگین تعداد برنامه های مرتبط با QS است

میانگین زمان انتظار برای یک برنامه در صف. بیایید آن را نشان دهیم؛ اگر درخواستی در یک نقطه از زمان وارد سیستم شود، به احتمال زیاد کانال سرویس مشغول نخواهد بود و مجبور نیست در صف منتظر بماند (زمان انتظار صفر است). به احتمال زیاد در زمانی که درخواستی در حال انجام است وارد سیستم می شود، اما هیچ صفی در مقابل او وجود نخواهد داشت و درخواست برای یک دوره زمانی (میانگین زمان سرویس دهی) منتظر شروع سرویس می ماند. درخواست). این احتمال وجود دارد که برنامه دیگری در صف قبل از بررسی برنامه وجود داشته باشد و میانگین زمان انتظار برابر با و غیره باشد.

اگر، به عنوان مثال، هنگامی که یک درخواست تازه وارد، کانال سرویس را اشغال کرده و برنامه های کاربردی را در صف پیدا کند (احتمال این است)، در این صورت درخواست وارد صف نمی شود (و ارائه نمی شود)، بنابراین زمان انتظار صفر است. . میانگین زمان انتظار خواهد بود:

اگر در اینجا عبارات را جایگزین احتمالات (5.47) کنیم، دریافت می کنیم:

در اینجا ما از روابط (5.50)، (5.51) (مشتق از یک پیشرفت هندسی) و همچنین از (5.47) استفاده می کنیم. با مقایسه این عبارت با (5.51)، توجه می کنیم که به عبارت دیگر، میانگین زمان انتظار برابر است با میانگین تعداد برنامه های موجود در صف تقسیم بر شدت جریان برنامه.

میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در سیستم اجازه دهید انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی را نشان دهیم - زمان ماندن یک درخواست در QS، که مجموع میانگین زمان انتظار در صف و میانگین زمان سرویس است. اگر بار سیستم 100٪ باشد، بدیهی است، در غیر این صورت

مثال 5.6.پمپ بنزین (پمپ بنزین) پمپ بنزینی است با یک کانال سرویس (یک ستون).

منطقه در ایستگاه اجازه می دهد تا بیش از سه خودرو در صف سوخت گیری همزمان نباشند. اگر از قبل سه ماشین در صف باشد، ماشین بعدی که به ایستگاه می‌رسد به صف نمی‌پیوندد. جریان اتومبیل هایی که برای سوخت گیری می رسند دارای شدت (خودرو در دقیقه) است. فرآیند سوخت گیری به طور متوسط ​​1.25 دقیقه طول می کشد.

تعريف كردن:

احتمال شکست؛

ظرفیت نسبی و مطلق پمپ بنزین ها؛

میانگین تعداد خودروهایی که در انتظار سوخت‌گیری هستند.

میانگین تعداد خودروها در پمپ بنزین (از جمله آنهایی که در حال سرویس دهی هستند)؛

میانگین زمان انتظار برای یک ماشین در صف؛

میانگین زمانی که یک خودرو در پمپ بنزین می گذراند (از جمله سرویس).

به عبارت دیگر، میانگین زمان انتظار برابر است با میانگین تعداد برنامه های موجود در صف تقسیم بر شدت جریان برنامه.

ابتدا شدت کاهش یافته جریان برنامه ها را می یابیم:

طبق فرمول (5.47):

احتمال شکست.

ظرفیت نسبی QS

توان عملیاتی مطلق QS

ماشین در دقیقه

میانگین تعداد خودروهای موجود در صف را با استفاده از فرمول (5.51) پیدا می کنیم.

یعنی میانگین تعداد خودروهایی که در صف برای سوخت گیری منتظر می مانند 1.56 است.

به این مقدار میانگین تعداد خودروهای در حال سرویس اضافه می شود

ما میانگین تعداد خودروهای مرتبط با پمپ بنزین را دریافت می کنیم.

میانگین زمان انتظار برای یک ماشین در صف طبق فرمول (5.54)

با افزودن به این مقدار، میانگین زمانی را که یک خودرو در پمپ بنزین می گذراند به دست می آوریم:

سیستم های انتظار نامحدود. در چنین سیستم هایی مقدار m محدود نمی شود و بنابراین می توان با عبور از حد در عبارات به دست آمده قبلی (5.44)، (5.45) و غیره، ویژگی های اصلی را به دست آورد.

توجه داشته باشید که مخرج در آخرین فرمول (5.45) مجموع تعداد نامتناهی از عبارت های یک تصاعد هندسی است. این مجموع زمانی همگرا می شود که پیشرفت بی نهایت در حال کاهش باشد، یعنی زمانی که .

می توان ثابت کرد که شرایطی وجود دارد که در یک QS حالت ماندگار محدود کننده با انتظار وجود دارد، در غیر این صورت چنین حالتی وجود ندارد و صف در بدون محدودیت افزایش می یابد. بنابراین، در آنچه در ادامه می آید، فرض می شود که .

اگر، روابط (5.47) به شکل زیر است:

در صورت عدم وجود محدودیت در طول صف، هر برنامه ای که وارد سیستم می شود سرویس می شود، بنابراین،

میانگین تعداد برنامه های موجود در صف را از (5.51) در زیر بدست می آوریم:

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم طبق فرمول (5.52) با

میانگین زمان انتظار را از فرمول بدست می آوریم

(5.53) در:

در نهایت، میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در QS است

QS چند کاناله با انتظار

سیستم با طول صف محدود. بیایید یک کانال QS با انتظار در نظر بگیریم که جریانی از درخواست‌ها را با شدت دریافت می‌کند. شدت خدمات (برای یک کانال)؛ تعداد مکان های موجود در صف

وضعیت های سیستم با توجه به تعداد درخواست های مرتبط با سیستم شماره گذاری می شوند:

بدون صف:

همه کانال ها رایگان هستند.

یک کانال اشغال شده، بقیه رایگان هستند.

کانال ها شلوغ هستند، بقیه نه.

همه کانال ها اشغال شده اند، هیچ کانال رایگان وجود ندارد.

یک صف وجود دارد:

همه n کانال مشغول هستند. یک برنامه در صف قرار دارد.

همه n کانال مشغول هستند، برنامه های r در صف قرار دارند.

همه n کانال مشغول هستند، برنامه های r در صف هستند.

GSP در شکل نشان داده شده است. 5.9. هر فلش با شدت جریان رویداد مشخص شده است. در امتداد فلش ها از چپ به راست، سیستم همیشه با همان جریان درخواست ها با شدت انتقال داده می شود.

برنج. 5.9. QS چند کاناله با انتظار

نمودار معمولی برای فرآیندهای تولید مثل و مرگ است، که محلول قبلاً (5.29) - (5.33) به دست آمده است. بیایید عباراتی را برای احتمالات محدود کننده حالت ها با استفاده از نماد بنویسیم: (در اینجا از عبارت برای مجموع یک تصاعد هندسی با مخرج استفاده می کنیم).

بنابراین، تمام احتمالات حالت پیدا شده است.

اجازه دهید ویژگی های عملکرد سیستم را تعیین کنیم.

احتمال شکست. اگر همه کانال ها و همه مکان های صف اشغال شده باشد، درخواست دریافت شده رد می شود:

توان عملیاتی نسبی احتمال شکست را به یکی تکمیل می کند:

توان عملیاتی مطلق QS:

میانگین تعداد کانال های شلوغ برای QS با امتناع، با میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم همزمان بود. برای یک QS با صف، میانگین تعداد کانال‌های شلوغ با میانگین تعداد برنامه‌های کاربردی در سیستم منطبق نیست: مقدار دوم با میانگین تعداد برنامه‌های موجود در صف با اولی متفاوت است.

اجازه دهید میانگین تعداد کانال های اشغال شده را با علامت گذاری کنیم. هر کانال شلوغ به طور متوسط ​​درخواست ها را در واحد زمان ارائه می دهد و QS به عنوان یک کل به طور متوسط ​​​​درخواست در واحد زمان را ارائه می دهد. با تقسیم یکی بر دیگری بدست می آوریم:

میانگین تعداد درخواست ها در یک صف را می توان مستقیماً به عنوان انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته محاسبه کرد:

در اینجا دوباره (عبارت در پرانتز) مشتق حاصل از مجموع پیشرفت هندسی رخ می دهد (به بالا (5.50)، (5.51)-(5.53) مراجعه کنید)، با استفاده از رابطه برای آن، به دست می آوریم:

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم:

میانگین زمان انتظار برای یک برنامه در صف. بیایید تعدادی از موقعیت‌ها را در نظر بگیریم که در حالتی که یک درخواست تازه وارد سیستم را پیدا می‌کند و مدت زمانی که باید منتظر سرویس بماند، متفاوت است.

اگر درخواستی همه کانال‌ها را مشغول پیدا نکند، اصلاً نباید منتظر بماند (شرایط مربوطه در انتظار ریاضی برابر با صفر است). اگر درخواستی در زمانی وارد شود که همه کانال‌ها مشغول هستند و هیچ صفی وجود ندارد، باید به طور متوسط ​​زمانی برابر با (زیرا «جریان انتشار» کانال‌ها شدت آن برابر باشد.) اگر برنامه‌ای تمام کانال‌ها را مشغول و یک برنامه در جلوی خود در صف بیابد، باید به طور متوسط ​​برای مدتی منتظر بماند (برای هر برنامه در جلو) و غیره. اگر برنامه‌ای خود را در صف برنامه‌ها بیابد. ، به طور متوسط ​​برای یک دوره زمانی باید منتظر بماند. اگر برنامه‌ای که به تازگی وارد شده است، برنامه‌هایی را از قبل در صف پیدا کند، اصلاً منتظر نخواهد ماند (اما سرویس نمی‌شود). میانگین زمان انتظار را با ضرب هر یک از این مقادیر در احتمالات مربوطه بدست می آوریم:

همانطور که در مورد QS تک کانالی با انتظار، توجه می کنیم که این عبارت با عبارت میانگین طول صف (5.59) تنها با ضریب تفاوت دارد، یعنی.

میانگین زمان اقامت یک درخواست در سیستم، و همچنین برای یک QS تک کاناله، با میانگین زمان انتظار در میانگین زمان خدمات ضرب در توان عملیاتی نسبی متفاوت است:

سیستم هایی با طول صف نامحدود. ما یک کانال QS را با انتظار در نظر گرفتیم، زمانی که بیشتر از درخواست‌ها نمی‌توانند همزمان در صف باشند.

همانطور که قبلاً هنگام تجزیه و تحلیل سیستم ها بدون محدودیت، لازم است روابط به دست آمده برای .

احتمال حالت ها را از فرمول (5.56) با عبور از حد (در) بدست می آوریم. توجه داشته باشید که مجموع پیشروی هندسی مربوطه در همگرا و واگرا می شود. با این فرض و هدایت مقدار m به بی نهایت در فرمول (5.56)، عباراتی برای احتمالات محدود کننده حالت ها به دست می آوریم:

احتمال شکست، توان عملیاتی نسبی و مطلق. از آنجایی که هر درخواست دیر یا زود سرویس می شود، ویژگی های توان عملیاتی QS عبارتند از:

میانگین تعداد برنامه های موجود در صف را از (5.59) بدست می آوریم:

و میانگین زمان انتظار از (5.60) است:

میانگین تعداد کانال های اشغال شده، مانند قبل، از طریق توان عملیاتی مطلق تعیین می شود:

میانگین تعداد برنامه های مرتبط با QS به عنوان میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف به اضافه میانگین تعداد برنامه های تحت سرویس (میانگین تعداد کانال های اشغال) تعریف می شود:

مثال 5.7.یک پمپ بنزین با دو پمپ () به جریانی از اتومبیل ها با شدت (ماشین در دقیقه) خدمت می کند. میانگین زمان سرویس در هر دستگاه

پمپ بنزین دیگری در این منطقه وجود ندارد، بنابراین صف ماشین ها در جلوی پمپ بنزین می تواند تقریباً نامحدود رشد کند. ویژگی های QS را بیابید.

از آنجایی که صف به طور نامحدود رشد نمی کند و منطقی است که در مورد حالت ثابت عملکرد محدود QS صحبت کنیم. با استفاده از فرمول (5.61) احتمال حالت ها را می یابیم:

میانگین تعداد کانال های اشغال شده را با تقسیم توان مطلق QS بر شدت سرویس پیدا می کنیم:

احتمال عدم صف در پمپ بنزین به صورت زیر خواهد بود:

میانگین تعداد خودروهای در صف:

میانگین تعداد خودروها در پمپ بنزین ها:

میانگین زمان انتظار در صف:

میانگین زمانی که یک خودرو در پمپ بنزین می گذراند:

QS با زمان انتظار محدود. قبلاً، سیستم‌هایی را با انتظار محدود می‌کردیم که فقط با طول صف (تعداد برنامه‌های همزمان در صف) محدود می‌شدند. در چنین QS، یک برنامه زمانی که در یک صف قرار می‌گیرد، آن را ترک نمی‌کند تا زمانی که منتظر سرویس شود. در عمل، انواع دیگری از QS وجود دارد که در آنها یک برنامه، پس از مدتی انتظار، می تواند صف را ترک کند (به اصطلاح برنامه های کاربردی "بی صبر").

بیایید یک QS از این نوع را در نظر بگیریم، با این فرض که محدودیت زمان انتظار یک متغیر تصادفی است.

فرض کنید یک کانال QS با انتظار وجود دارد، که در آن تعداد مکان‌های صف محدود نیست، اما زمانی که یک برنامه در صف می‌ماند، یک متغیر تصادفی با مقدار متوسط ​​است، بنابراین، برای هر برنامه در صف ایستاده است. صف، نوعی پواسون "جریان خروج" عمل می کند » با شدت برنامه ها، آنها در صف می ایستند و غیره.

نمودار حالت ها و انتقال های سیستم در شکل نشان داده شده است. 5.10.

برنج. 5.10. QS با زمان انتظار محدود

بیایید این نمودار را مانند قبل علامت گذاری کنیم. تمام فلش هایی که از چپ به راست منتهی می شوند، شدت جریان برنامه ها را نشان می دهند. برای حالت‌های بدون صف، فلش‌هایی که از سمت راست به چپ منتهی می‌شوند، مانند قبل، شدت کل جریان را نشان می‌دهند که تمام کانال‌های اشغال شده را سرویس می‌دهد. در مورد حالت‌های دارای صف، فلش‌هایی که از سمت راست به چپ منتهی می‌شوند، شدت کل جریان سرویس همه کانال‌ها به اضافه شدت متناظر جریان خروج از صف را نشان می‌دهند. اگر برنامه هایی در صف وجود داشته باشد، شدت کل جریان خروجی ها برابر خواهد بود.

همانطور که از نمودار مشاهده می شود، یک الگوی تولید مثل و مرگ وجود دارد. با استفاده از عبارات کلی برای احتمالات محدود کننده حالت ها در این طرح (با استفاده از علامت اختصاری)، می نویسیم:

اجازه دهید به برخی از ویژگی های یک QS با انتظار محدود در مقایسه با QS که قبلاً در نظر گرفته شده بود با درخواست های "بیمار" توجه کنیم.

اگر طول صف محدود نباشد و درخواست‌ها «صبور» باشد (صف را ترک نکنید)، رژیم حد ثابت فقط در این مورد وجود دارد (در , پیشرفت هندسی بی‌نهایت مربوطه واگرا می‌شود، که از نظر فیزیکی با رشد نامحدود مطابقت دارد. از صف در ).

برعکس، در یک QS با مشتریان «بی‌صبر» که دیر یا زود صف را ترک می‌کنند، بدون در نظر گرفتن شدت کاهش یافته جریان مشتری، بدون جمع کردن سری‌های بی‌نهایت (5.63)، حالت سرویس برقرار شده در همیشه به دست می‌آید. از (5.64) بدست می آوریم:

و میانگین تعداد کانال های اشغال شده موجود در این فرمول را می توان به عنوان انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی یافت که مقادیری با احتمالات را می گیرد:

در پایان، توجه می کنیم که اگر در فرمول های (5.62) به حد (یا، همان چیزی که در ) است برویم، در آن صورت فرمول (5.61) را به دست آوریم، یعنی برنامه های "بی صبر" به "صبور" تبدیل می شوند.

QS چند کاناله با صف نامحدود

بیایید مشکل را در نظر بگیریم. در دسترس QS کانال n با صف نامحدود. جریان درخواست‌های وارد شده به QS دارای شدت l و جریان خدمات دارای شدت m است. لازم است احتمالات محدود کننده حالت‌های QS و شاخص‌های اثربخشی آن را پیدا کنید.

سیستم می تواند در یکی از حالت های S0، S1، S2، ...، Sk ..، Sn، ...، شماره گذاری شده با توجه به تعداد درخواست ها در QS: S0 -- هیچ درخواستی در سیستم وجود ندارد. (همه کانال ها رایگان هستند) S -- یک کانال اشغال شده است، بقیه رایگان هستند. S2-- دو کانال اشغال شده، بقیه رایگان هستند. Sk -- k کانال ها اشغال شده اند، بقیه رایگان هستند. Sn -- همه n کانال مشغول هستند (بدون صف). Sn+1 -- همه n کانال مشغول هستند، یک درخواست در صف وجود دارد. Sn+r -- همه n کانال مشغول هستند، برنامه های r در صف هستند.

نمودار وضعیت سیستم در شکل 7 نشان داده شده است. اجازه دهید توجه داشته باشیم که برخلاف QS قبلی، شدت جریان سرویس (انتقال سیستم از یک حالت به حالت دیگر از راست به چپ) ثابت نمی ماند، بلکه به عنوان تعداد درخواست‌ها در QS از 0 به n افزایش می‌یابد از m به n افزایش می‌یابد، زیرا تعداد کانال‌های سرویس بر این اساس افزایش می‌یابد. وقتی تعداد درخواست‌ها در QS بیشتر از n باشد، شدت جریان سرویس برابر nm باقی می‌ماند.

شکل 7 - نمودار حالت یک QS چند کاناله

می توان نشان داد که برای c/n< 1 предельные вероятности существуют. Если с/n ? 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (20) и (21) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью

احتمال اینکه یک برنامه در صف قرار گیرد است

برای یک QS کانال n با یک صف نامحدود، با استفاده از تکنیک های قبلی، می توان موارد زیر را پیدا کرد:

میانگین تعداد کانال های شلوغ

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم

میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در صف و میانگین زمانی که یک برنامه کاربردی در سیستم می ماند، مانند قبل، با استفاده از فرمول های لیتل (48) و (49) پیدا می شود.

اظهار نظر. برای QS با صف نامحدود با< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк = 0, Q=1, а равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = л.

QS با صف محدود

سؤالات با صف محدود فقط از این جهت متفاوت هستند که تعداد برنامه های موجود در صف محدود است (نمی تواند از m مشخص شده تجاوز کند). اگر درخواست جدیدی در زمانی وارد شود که تمام مکان‌های صف اشغال شده باشد، QS را بدون سرویس رها می‌کند، یعنی. رد می شود

QS تک کاناله با طول صف محدود

حد احتمالات:

احتمال شکست:

توان عملیاتی مطلق

پهنای باند نسبی

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف

میانگین تعداد درخواست‌های تحت سرویس (میانگین تعداد کانال‌های شلوغ)

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم

QS چند کاناله با صف محدود

حد احتمالات:

احتمال شکست:

توان عملیاتی مطلق

پهنای باند نسبی

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف

میانگین تعداد درخواست‌های تحت سرویس (میانگین تعداد کانال‌های شلوغ)