Skup materijalnih točaka ili tijela, kod kojih položaj ili kretanje svake točke ovisi o položaju ili kretanju ostalih, naziva se mehanički sustav.
Vanjske sile su one koje djeluju na dijelove (točke) sustava iz točaka ili tijela koja nisu uključena u sustav. Označava se kao .
Unutarnje sile su one koje djeluju na točke sustava iz točaka istog sustava. Označeni su kao.
Vanjske i unutarnje sile mogu biti djelatne ili reakcije veza, a podjela sila na vanjske i unutarnje je uvjetna i ovisi o konkretnom zadatku.
Svojstva unutarnjih sila:
1. Glavni vektor svih unutarnjih sila sustava jednak je nuli.
2. Glavni moment svih unutarnjih sila sustava u odnosu na bilo koje središte ili os jednak je nuli:
Prvo svojstvo temelji se na petom aksiomu statike, odnosno svakoj unutarnjoj sili odgovara druga unutarnja sila, njoj jednaka po veličini i suprotno usmjerena.
Drugo svojstvo je naizgled slično uvjetima ravnoteže, iako nije, budući da se unutarnje sile primjenjuju na različite točke sustava i mogu uzrokovati relativna kretanja.
Gibanje sustava ovisi o njegovoj ukupnoj masi i raspodjeli. Svaka točka sustava s masom može se karakterizirati svojim radijus vektorom.
Središte mase sustava je točka C čiji je radijus vektor određen formulom:
gdje je , masa sustava jednaka aritmetičkom zbroju masa svih točaka sustava.
O rasporedu masa može se suditi prema položaju težišta. Zamjena u formule za koordinate težišta (7.2.2); P = Mg, dobivamo
Položaj središta mase sustava (ili centra tromosti) u svakom trenutku vremena ovisi samo o položaju i masi svake točke sustava.
Središte mase sustava poklapa se s njihovim težištem. Koncept centra gravitacije primjenjiv je na kruta tijela, a koncept centra mase primjenjiv je na sve sustave točaka ili tijela.
Budući da položaj središta mase sustava ne karakterizira u potpunosti raspodjelu masa, uvodi se još jedna veličina - moment tromosti.
Moment tromosti sustava (tijela) u odnosu na os (osni moment tromosti) je skalarna veličina jednaka zbroju umnožaka masa svih točaka (tijela) sustava s kvadratima njihovih udaljenosti od ovu os.
Neka ovo bude os Oz. Zatim
Osni moment je mjera tromosti sustava točaka (tijela) tijekom rotacijskog gibanja, dimenzija: u SI sustavu jedinica - .
U izrazu kroz koordinate aksijalni moment tromosti J u odnosu na osi bit će napisan:
Polumjer tromosti tijela u odnosu na os (Oz) je linearna veličina određena ovisnošću
gdje je M masa tijela, udaljenost od osi Oz do točke u kojoj je potrebno koncentrirati cjelokupnu masu M tijela tako da je moment tromosti te točke u odnosu na tu os jednak moment tromosti tijela.
Momenti tromosti oko osi (15.3.1) ovise o izboru tih osi i različiti su oko tih osi.
Huygens je pokazao da, znajući moment tromosti oko bilo koje osi, možete ga pronaći u odnosu na bilo koju drugu os paralelnu s njom (slika 75. 
)
Povucimo osi Cx"y"z" kroz središte mase C tijela, te kroz točku O - xyz, međusobno paralelne.
Označimo OS udaljenost s d. Zatim:
Na desnoj strani jednadžbe (15.3.6), prvi zbroj je relacija (15.3.5). drugi zbroj je masa tijela M. Kako je točka C centar mase, iz jednadžbe (15.2.2) dobivamo
no točka C je i ishodište koordinata, gdje je = 0, odnosno treći zbroj je nula. Tako
Ovo je analitički izraz Huygensovog teorema: moment tromosti tijela oko dane osi jednak je momentu tromosti oko osi paralelne s njom, koja prolazi kroz središte mase tijela, plus umnožak masa cijelog tijela i kvadrat udaljenosti između osi.
U mehanici se kruto tijelo shvaća kao sustav materijalnih točaka, čija udaljenost između bilo koje dvije točke ostaje nepromijenjena tijekom gibanja. Dakle, svi rezultati dobiveni u prethodnim temama (“Dinamika materijalne točke”, “Zakon održanja količine gibanja”, “Zakon održanja energije” i “Zakon održanja kutne količine gibanja”) za sustav materijalnih točaka primjenjivi su i na čvrsto tijelo.
Moment tromosti krutog tijela
Moment tromosti je veličina koja ovisi o rasporedu masa u tijelu i uz masu je mjera tromosti tijela pri netranslatornom gibanju. Kada se kruto tijelo okreće oko nepomične osi, moment tromosti tijela u odnosu na tu os određen je izrazom
Gdje 
- elementarne tjelesne mase; 
- njihove udaljenosti od osi rotacije.
Moment tromosti tijela u odnosu na bilo koju os može se pronaći proračunom. Ako je tvar u tijelu kontinuirano raspoređena, tada se izračunavanje momenta tromosti svodi na izračunavanje integrala
,
(1)
Gdje 
– masa elementa tijela koji se nalazi na udaljenosti 
od osi koja nas zanima. Integracija se mora provesti po cijelom volumenu tijela.
Analitički proračun takvih integrala moguć je samo u najjednostavnijim slučajevima tijela pravilnog geometrijskog oblika.
Ako je poznat moment tromosti tijela oko bilo koje osi, možete pronaći moment tromosti oko bilo koje druge osi paralelne s ovom. Služeći se Steinerovom teoremom prema kojoj moment tromosti tijela 
u odnosu na proizvoljnu os jednak je zbroju momenta tromosti tijela u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase tijela 
i paralelna sa zadanom osi, i umnožak mase tijela T po kvadratu razmaka između osi 
:
(2)
Izračun momenta tromosti tijela u odnosu na os često se može pojednostaviti tako da se prvo izračuna moment inercije oko točke. Moment tromosti tijela u odnosu na samu točku ne igra nikakvu ulogu u dinamici. To je čisto pomoćni koncept koji služi za pojednostavljenje izračuna.
Promotrimo neku točku krutog tijela s masom 
i s koordinatama 
u odnosu na pravokutni koordinatni sustav (slika 1). Kvadrati njegovih udaljenosti od koordinatnih osi 
jednaki su redom 
a momenti tromosti oko istih osi
(3)
Zbrajanje ovih jednakosti i zbrajanje po cijelom volumenu tijela
(5)
Gdje 
– moment tromosti tijela u odnosu na točku.
Iz ovog izraza možemo dobiti odnos između momenata tromosti ravnog tijela u odnosu na osi 
. Neka je masa ravnog tijela koncentrirana u ravnini 
oni. Koordinirati 
bilo koja točka takvog tijela jednaka je nuli, tada od
jednadžbi (3) i (4) slijedi da
(6)
Rotacija krutog tijela oko nepomične osi
Razmotrimo čvrsto tijelo mase 
, rotirajući oko fiksne osi kutnom brzinom 
. Da bismo dobili jednadžbu koja opisuje to gibanje, primijenimo jednadžbu momenata oko osi dobivenu u odjeljku “Zakon održanja kutne količine gibanja”
,
(7)
Prisjetimo se da u ovoj jednadžbi 
I 
– kutni moment i moment sile oko osi oko koje se kruto tijelo okreće.
Kutna količina gibanja određene točke tijela mase 
rotirajući u krugu radijusa 
s brzinom 
, je jednako
Zbrajanje po cijelom volumenu tijela, uzimajući u obzir da 
dobivamo
Dakle, kutni moment krutog tijela koje rotira oko fiksne osi jednak je proizvodu momenta tromosti tijela u odnosu na tu os i njegove kutne brzine.
Zamjenom dobivenog izraza u (7) dobivamo jednadžbu dinamike krutog tijela koje rotira oko nepomične osi,
ili 
(8)
Gdje 
– kutno ubrzanje tijela.
Nađimo kinetičku energiju rotirajućeg tijela. Da bismo to učinili, zbrajamo kinetičke energije njegovih pojedinih dijelova po cijelom volumenu tijela.
(9)
Poznavajući ovisnost momenta sila koje djeluju na tijelo o kutu rotacije, može se pronaći rad tih sila kada se tijelo okrene za konačni kut 
.
Neka bude čvrsto tijelo. Odaberimo neki pravac OO (sl. 6.1), koji ćemo nazvati osi (pravac OO može biti izvan tijela). Podijelimo tijelo na elementarne presjeke (materijalne točke) s masama 
koji se nalazi na udaljenosti od osi 
odnosno.
Moment tromosti materijalne točke u odnosu na os (OO) umnožak je mase materijalne točke s kvadratom njezine udaljenosti od te osi:
. (6.1)
Moment tromosti (MI) tijela u odnosu na os (OO) zbroj je umnožaka masa elementarnih dijelova tijela s kvadratom njihove udaljenosti od osi:
. (6.2)
Kao što vidite, moment tromosti tijela je aditivna veličina - moment tromosti cijelog tijela u odnosu na određenu os jednak je zbroju momenata tromosti njegovih pojedinih dijelova u odnosu na istu os.
U ovom slučaju
.
Moment inercije se mjeri u kgm 2. Jer
, (6.3)
gdje je
– gustoća tvari, 
- volumen ja- th odjeljak, dakle
,
ili, prelazeći na infinitezimalne elemente,
. (6.4)
Formulu (6.4) zgodno je koristiti za izračunavanje MI homogenih tijela pravilnog oblika u odnosu na os simetrije koja prolazi kroz središte mase tijela. Na primjer, za MI cilindra u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase paralelno s generatrisom, ova formula daje
,
Gdje T- težina; R- radijus cilindra.
Steinerov teorem pruža veliku pomoć u izračunavanju MI tijela u odnosu na određene osi: MI tijela ja u odnosu na bilo koju os jednak je zbroju MI ovog tijela ja c u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase tijela i paralelna je sa zadanom i umnožak mase tijela s kvadratom udaljenosti d između navedenih osi:
. (6.5)
Moment sile oko osi
Neka sila djeluje na tijelo F. Pretpostavimo radi jednostavnosti da sila F leži u ravnini okomitoj na neku ravnu liniju OO (sl. 6.2, A), koju ćemo nazvati os (npr. ovo je os rotacije tijela). Na sl. 6.2, A
A- točka primjene sile F,
- točka presjeka osi s ravninom u kojoj leži sila; r- radijus vektor koji definira položaj točke A u odnosu na točku OKO";
O"B
= b
-
rame snage. Krak sile u odnosu na os je najmanja udaljenost od osi do pravca na kojem leži vektor sile F(duljina okomice povučene iz točke 
na ovu liniju).
Moment sile u odnosu na os je vektorska veličina definirana jednakošću
. (6.6)
Modul ovog vektora je . Ponekad stoga kažu da je moment sile oko osi umnožak sile i njezina kraka.
Ako snaga F je usmjeren proizvoljno, tada se može rastaviti na dvije komponente; 
I 
(Sl.6.2, b), tj. 
+
, Gdje 
- komponenta usmjerena paralelno s osi OO, i 
leži u ravnini okomitoj na os. U ovom slučaju pod momentom sile F u odnosu na os OO razumjeti vektor
. (6.7)
U skladu s izrazima (6.6) i (6.7), vektor M usmjeren duž osi (vidi sl. 6.2, A,b).
Moment tijela u odnosu na os rotacije
P 
Neka tijelo rotira oko određene osi OO kutnom brzinom 
. Mentalno rastavimo ovo tijelo na elementarne dijelove s masama 
, koji se nalaze od osi, odnosno na udaljenostima 
i rotirati u krugovima, imajući linearne brzine 
Poznato je da je vrijednost jednaka 
- postoji impuls ja-zemljište. trenutak impulsa ja-presjek (materijalna točka) u odnosu na os rotacije naziva se vektor (točnije pseudovektor)
, (6.8)
Gdje r ja– radijus vektor koji definira položaj ja- površina u odnosu na os.
Kutni moment cijelog tijela u odnosu na os rotacije naziva se vektor
(6.9)
čiji modul 
.
U skladu s izrazima (6.8) i (6.9), vektori
I 
usmjerena duž osi rotacije (sl. 6.3). Lako je pokazati da kutna količina gibanja tijela L u odnosu na os rotacije i moment tromosti ja ovog tijela u odnosu na istu os povezani su odnosom
. (6.10)
DEFINICIJA
Fizička veličina koja je mjera tromosti tijela koje rotira oko osi naziva se moment tromosti tijela (J).
Ovo je skalarna (općenito, tenzorska) veličina.
gdje su mase materijalnih točaka na koje je tijelo podijeljeno; kvadratima udaljenosti od materijalne točke do osi rotacije.
Za kontinuirano homogeno tijelo koje rotira oko osi, moment tromosti često se definira kao:
gdje je r funkcija položaja materijalne točke u prostoru; - gustoća tijela; - volumen elementa tijela.
Tenzor tromosti
Skup vrijednosti:
koji se naziva tenzor inercije. Elementi dijagonalnog tenzora: . Tenzor tromosti je simetričan.
Neka su svi nedijagonalni elementi tenzora jednaki nuli, samo dijagonalne komponente nisu jednake nuli. Tada tenzor pišemo kao:
U ovom slučaju, osi tijela podudaraju se s koordinatnim osima i glavne su osi inercije. Količine:
nazivaju se glavni momenti tromosti. Tenzor u obliku (4) prikazan je dijagonalno. Momenti tromosti koji se nalaze izvan glavne dijagonale matrice (3) nazivaju se centrifugalnim. Ako su osi koordinatnog sustava usmjerene duž glavnih osi tromosti tijela, tada su centrifugalni momenti tromosti jednaki nuli.
Ako su glavne osi povučene kroz središte mase tijela, onda se one nazivaju centralne glavne osi, a tenzor se zove centralni tenzor.
Glavne osovine za tijelo nije uvijek lako pronaći. Ali ponekad je dovoljno koristiti razmatranja simetrije. Dakle, u lopti u odnosu na bilo koju točku glavne osi se mogu pronaći ovako. Jedna od glavnih osi prolazi središtem lopte, druge dvije su proizvoljno orijentirane u ravnini koja je okomita na prvu os.
Komponente momenta tromosti čvrstog tijela u odnosu na osi Kartezijevog koordinatnog sustava definirane su kao:
gdje su koordinate elementa mase tijela (), koji ima volumen .
Moment tromosti čvrstog tijela ovisi o obliku tijela i raspodjeli mase u tijelu u odnosu na os rotacije.
Vrijednosti jednake:
nazivaju se polumjeri tromosti tijela u odnosu na pripadajuće osi koordinatnog sustava.
Steinerov teorem
U nekim slučajevima izračunavanje momenta tromosti uvelike olakšava poznavanje Steinerova teorema (ponekad zvanog Huygensov teorem): Moment tromosti tijela (J) u odnosu na proizvoljnu os jednak je momentu tromosti u odnosu na os , koji je povučen kroz središte mase predmetnog tijela (), plus umnožak mase tijela (m ) s kvadratom udaljenosti između osi, pod uvjetom da su osi paralelne:
Primjeri rješavanja problema
PRIMJER 1
| Vježbajte | Odredite moment tromosti homogenog cilindra (J) polumjera R i visine H u odnosu na os Z koja se poklapa s vlastitom osi. |
| Riješenje | I tako je os rotacije Z usmjerena duž osi cilindra, neka je ishodište koordinatnog sustava na sredini visine promatranog tijela (slika 1). U odnosu na os Z u Kartezijevom koordinatnom sustavu jednako je: Budući da je gustoća cilindra konstantna, integral (1.1) zapisujemo kao: gdje je S površina poprečnog presjeka cilindra. Najprikladnije je izračunati integral (1.2) u cilindričnom koordinatnom sustavu, čija je os usmjerena duž osi Z. Tada dobivamo: Pomoću jednakosti (1.3) pretvaramo integral (1.2) u oblik: |
Moment tromosti tijela (sustava) u odnosu na zadanu os Oz (ili aksijalni moment tromosti) je skalarna veličina koja se razlikuje od zbroja umnožaka masa svih točaka tijela (sustava) za kvadrati njihovih udaljenosti od ove osi:
Iz definicije proizlazi da je moment tromosti tijela (ili sustava) u odnosu na bilo koju os pozitivna veličina i nije jednak nuli.
U budućnosti će se pokazati da aksijalni moment tromosti ima istu ulogu tijekom rotacijskog gibanja tijela kao i masa tijekom translatornog gibanja, tj. da je aksijalni moment tromosti mjera tromosti tijela tijekom rotacije. pokret.
Prema formuli (2), moment tromosti tijela jednak je zbroju momenata tromosti svih njegovih dijelova u odnosu na istu os. Za jednu materijalnu točku koja se nalazi na udaljenosti h od osi, . Jedinica mjerenja momenta tromosti u SI bit će 1 kg (u sustavu MKGSS -).
Da bi se izračunali aksijalni momenti tromosti, udaljenosti točaka od osi mogu se izraziti preko koordinata tih točaka (na primjer, kvadrat udaljenosti od osi Ox bit će, itd.).
Tada će se momenti tromosti oko osi odrediti formulama:
Često se tijekom izračuna koristi koncept radijusa kružnog kretanja. Polumjer tromosti tijela u odnosu na os je linearna veličina određena jednakošću
gdje je M masa tijela. Iz definicije proizlazi da je polumjer tromosti geometrijski jednak udaljenosti od osi točke u kojoj se mora koncentrirati masa cijelog tijela tako da je moment tromosti te jedne točke jednak momentu tromosti cijelog tijela.
Poznavajući polumjer tromosti, možete koristiti formulu (4) za pronalaženje momenta tromosti tijela i obrnuto.
Formule (2) i (3) vrijede i za kruto tijelo i za bilo koji sustav materijalnih točaka. U slučaju čvrstog tijela, rastavljajući ga na elementarne dijelove, nalazimo da će se u limitu zbroj u jednakosti (2) pretvoriti u integral. Kao rezultat toga, uzimajući u obzir gdje je gustoća, a V volumen, dobivamo
Integral se ovdje proteže na cijeli volumen V tijela, a gustoća i udaljenost h ovise o koordinatama točaka tijela. Slično, formule (3) za čvrsta tijela imaju oblik
Formule (5) i (5) prikladne su za korištenje pri izračunavanju momenata tromosti homogenih tijela pravilnog oblika. U tom će slučaju gustoća biti konstantna i bit će izvan predznaka integrala.
Nađimo momente tromosti nekih homogenih tijela.
1. Tanki homogeni štap duljine l i mase M. Izračunajmo njegov moment tromosti u odnosu na os okomitu na štap i prolazi kroz njegov kraj A (sl. 275). Usmjerimo koordinatnu os duž AB.Tada je za bilo koji elementarni segment duljine d vrijednost , a masa , gdje je masa jedinične duljine štapa. Kao rezultat, formula (5) daje
Zamjenjujući ovdje s njegovom vrijednošću, konačno nalazimo
2. Tanki okrugli homogeni prsten polumjera R i mase M. Odredimo njegov moment tromosti u odnosu na os koja je okomita na ravninu prstena i prolazi kroz njegovo središte C (slika 276).
Budući da su sve točke prstena udaljene od osi, formula (2) daje
Stoga, za prsten
Očito će se isti rezultat dobiti za moment tromosti tanke cilindrične ljuske mase M i polumjera R u odnosu na njezinu os.
3. Okrugla homogena ploča ili cilindar polumjera R i mase M. Izračunajmo moment tromosti okrugle ploče u odnosu na os koja je okomita na ploču i prolazi kroz njezino središte (vidi sliku 276). Da bismo to učinili, odabiremo elementarni prsten s radijusom i širinom (slika 277, a). Površina ovog prstena je, a masa je gdje je masa po jedinici površine ploče. Tada će prema formuli (7) za odabrani elementarni prsten postojati i za cijelu ploču
