Якщо задано безліч чисел Xі вказаний спосіб f, за яким для кожного значення хЄ Xставиться у відповідність лише одне число у. Тоді вважається заданою функцією y = f(х), у якої область визначення X(зазвичай позначають D(f) = X). Безліч Yвсіх значень у, для яких є як мінімум одне значення хЄ X, таке, що y = f(х), таку множину називають безліччю значеньфункції f(найчастіше позначають E(f)= Y).
Або залежність однієї змінної увід іншої х, при якій кожному значенню змінної хз певної множини Dвідповідає єдине значення змінної у, називається функцією.
Функціональну залежність змінної у від х часто підкреслюють записом у (х), яку читають гравець від ікс.
Область визначенняфункції у(х), тобто безліч значень її аргументу х, позначають символом D(y), який читають де від ігор.
Область значеньфункції у(х), тобто безліч значень, які набуває функція у, позначають символом Е(у), який читають е від ігор.
Основними способами завдання функції є:
а) аналітичний(за допомогою формули y = f(х)). До цього можна віднести і випадки, коли функція задається системою рівнянь. Якщо функція задана формулою, то область її визначення становлять ті значення аргументу, у яких вираз, записане у правій частині формули, має значення.
б) табличний(за допомогою таблиці відповідних значень хі у). У такий спосіб часто задається температурний режим або курси валют, але цей спосіб не такий наочний, як наступний;
в) графічний(За допомогою графіка). Це один із найнаочніших способів завдання функції, оскільки за графіком відразу "читаються" зміни. Якщо функція у(х) задана графіком, то область її визначення D(y) є проекція графіка на вісь абсцис, а область значень Е(у) – проекція графіка на вісь ординат (дивися малюнок).
г) слівний. Цей спосіб часто застосовується у завданнях, а точніше в описі їхньої умови. Зазвичай цей спосіб замінюють одним із наведених вище.
Функції y = f(х), xЄ X, і y = g(х), xЄ X, називаються тотожно рівнимина підмножині МЗ X, якщо для кожного x 0 Є Мсправедлива рівність f(х 0) = g(х 0).
Графік функції y = f(х) можна уявити, як безліч таких точок ( х; f(х)) на координатній площині, де х- довільна змінна, з D(f). Якщо f(х 0) = 0, де х 0 то точка з координатами ( x 0; 0) - це точка, в якій графік функції y = f(х) перетинається з віссю x. Якщо 0Є D(f), то точка (0; f(0)) - це точка, в якій графік функції у = f(x) перетинається з віссю у.
Число х 0 із D(f) функції y = f(х) це нуль функції, тоді, коли f(х 0) = 0.
Проміжок МЗ D(f) це проміжок знакостійностіфункції y = f(х), якщо або для довільного xЄ Мвірно f(х) > 0, або для довільного хЄ Мвірно f(х) < 0.
Є прилади, що вимальовують графіки залежностей між величинами Це барографи – прилади для фіксації залежності атмосферного тиску від часу, термографи – прилади для фіксації залежності температури від часу, кардіографи – прилади для графічної реєстрації діяльності серця. Термограф має барабан, він рівномірно обертається. Папір, намотаний на барабан, стосується самописець, який в залежності від температури піднімається і опускається і вимальовує на папері певну лінію.
Від представлення функції формулою можна перейти до її представлення таблицею та графіком.
При вивченні математики дуже важливо розуміти, що таке функція, її сфери визначення та значення. За допомогою дослідження функцій на екстремум можна вирішити багато завдань з алгебри. Навіть завдання геометрії іноді зводяться до розгляду рівнянь геометричних фігур на площині.
1) Область визначення функції та область значень функції.
Область визначення функції - це безліч всіх допустимих дійсних значень аргументу x(змінною x), при яких функція y = f(x)визначено. Область значень функції - це безліч усіх дійсних значень y, що приймає функцію.
В елементарної математики вивчаються функції лише з безлічі дійсних чисел.
2) Нулі функції.
Нуль функції – таке значення аргументу, у якому значення функції дорівнює нулю.
3) Проміжки знаковості функції.
Проміжки знакостійності функції – такі безлічі значень аргументу, у яких значення функції лише позитивні чи лише негативні.
4) Монотонність функції.
Зростаюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.
Зменшуюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.
5) парність (непарність) функції.
Четна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хв галузі визначення виконується рівність f(-x) = f(x). Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.
Непарна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хв галузі визначення справедлива рівність f(-x) = - f(x). Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.
6) Обмежена та необмежена функції.
Функція називається обмеженою, якщо є таке позитивне число M, що |f(x)| ≤ M для всіх значень x. Якщо такої кількості немає, то функція - необмежена.
7) Періодичність функції.
Функція f(x) - періодична, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого x з області визначення функції має місце: f(x+T) = f(x). Таке найменше називається періодом функції. Усі тригонометричні функції є періодичними. (Тригонометричні формули).
19. Основні елементарні функції, їх властивості та графіки. Застосування функцій економіки.
Основні елементарні функції. Їх властивості та графіки
1. Лінійна функція.
Лінійною функцією називається функція виду , де х - змінна, а і b - дійсні числа.
Число аназивають кутовим коефіцієнтом прямої, він дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до позитивного напрямку осі абсцис. Графік лінійної функції є пряма лінія. Вона визначається двома точками.
Властивості лінійної функції
1. Область визначення - безліч всіх дійсних чисел: Д(y) = R
2. Безліч значень - безліч всіх дійсних чисел: Е(у) = R
3. Функція набуває нульового значення при або.
4. Функція зростає (зменшується) по всій області визначення.
5. Лінійна функція безперервна по всій області визначення, диференційована і .
2. Квадратична функція.
Функція виду , де х – змінна, коефіцієнти а, b, с – дійсні числа, називається квадратичні.
1.Парність та непарність.Функція f(x) називається парною, якщо значення симетричні щодо осі OY, тобто. f(-x) = f(x). Функція f(x) називається непарною, якщо її значення змінюється на протилежне за зміни змінної х на -х, тобто. f(-x) = -f(x). В іншому випадку функція називається функцією загального вигляду.
2.Монотонність.Функція називається зростаючою (зменшується) на проміжку Х, якщо більшого значення аргументу з цього проміжку відповідає більше (менше) значення функції, тобто. при x1< (>) x2, f(x1)< (>) f(x2).
3.Періодичність.Якщо значення функції f(x) повторюється через певний період Т, то функція називається періодичною з періодом Т 0 , тобто. f(x + T) = f(x). В іншому випадку неперіодична.
4. Обмеженість.Функція f (x) називається обмеженою на проміжку Х, якщо існує таке позитивне число М > 0 що для будь-якого x, що належить проміжку Х, | f(x) |< M. В противном случае функция называется неограниченной.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Нехайy- деяка функція змінноїx; причому, неважливо, як ця функція задана: формулою, таблицею чи інакше. Важливим є лише сам факт існування цієї функціональної залежності, що записується наступним чином:y = f(x). Літераf(початкова буква латинського слова “functio”- функція) не позначає будь-якої величини, як і буквиlog, sin, tan у записах функційy= logx, y= sinx, y= tanx. Вони говорять лише про певні функціональні залежностіyвідx. Записy = f (x) представляєбудь-якуфункціональну залежність. Якщо дві функціональні залежності:yвідxіzвідtвідрізняються одна від одної, то вони записуються за допомогою різних літер:y = f (x) таz = F (t). Якщо деякі залежності одні й самі, всі вони записуються однієї й тієї ж буквоюf: y = f (x) таz = f (t). Якщо вираз для функціональної залежностіy = f (x) відомо, вона може бути записана з використанням обох позначень функції. Наприклад,y= sin xабо f(x) = sin x. Обидві форми цілком рівносильні. Іноді використовується інша форма запису: y (x). Це означає те саме, що й y = f (x).
Графічне подання функцій.
Щоб уявити функціюy = f(x) у вигляді графіка, потрібно:
1) Записати ряд значень функції та її аргументу до таблиці:
2) Перенести координати точок функції з таблиці до системи координат,
відзначивши відповідно до обраного масштабу значення абсцис на
осіХта значення ординат на осіY(Рис.2). В результаті в нашій системі
координат буде побудовано ряд точокA, B, C, . . . , F.
3) З'єднуючи точкиA, B, C, . . . , Fплавною кривою, отримуємо графік заданої
функціональної залежності.
Таке графічне уявлення функції дає наочне уявлення характері її поведінки, але досягнута у своїй точність недостатня. Можливо, що проміжні точки, які не побудовані на графіку, лежать далеко від проведеної плавної кривої. Хороші результати значною мірою залежить також від вдалого вибору масштабів. Тому слід визначити графік функції як геометричне місце точок , координати яких M (x, y) пов'язані заданою функціональною залежністю .
Область визначення та область значень функції.В елементарній математиці вивчаються функції лише на безлічі дійсних чисел R. Це означає, що аргумент функції може набувати ті дійсні значення, у яких функція визначена, тобто. вона також набуває лише дійсних значень. Безліч Xвсіх допустимих дійсних значень аргументу x, при яких функція y= f(x) визначено, називається областю визначення функції. Безліч Yвсіх дійсних значень y, які приймає функція, називається областю значень функції. Тепер можна надати більш точне визначення функції: правило (закон) відповідності між множинами X та Y, за яким для кожного елемента з множини X можна знайти один і тільки один елемент з множини Y називається функцією.
