Principiul mișcărilor posibile: pentru echilibrul unui sistem mecanic cu conexiuni ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice deplasare posibilă să fie egală cu zero. sau în proiecţii: .
Principiul deplasărilor posibile asigură în general condițiile de echilibru pentru orice sistem mecanic și oferă o metodă generală de rezolvare a problemelor de statică.
Dacă sistemul are mai multe grade de libertate, atunci ecuația principiului mișcărilor posibile este compilată pentru fiecare dintre mișcările independente separat, adică. vor exista atâtea ecuații câte grade de libertate are sistemul.
Principiul posibilelor deplasări este convenabil prin faptul că, atunci când se consideră un sistem cu conexiuni ideale, reacțiile acestora nu sunt luate în considerare și este necesar să se opereze numai cu forțe active.
Principiul mișcărilor posibile este formulat după cum urmează:
Pentru a materiza. un sistem supus unor conexiuni ideale este în stare de repaus; este necesar și suficient ca suma muncii elementare efectuate de forțele active asupra posibilelor deplasări ale punctelor din sistem să fie pozitivă
Ecuația generală a dinamicii- când un sistem se mișcă cu conexiuni ideale la un moment dat în timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor inerțiale asupra oricărei mișcări posibile a sistemului va fi egală cu zero. Ecuația folosește principiul posibilelor deplasări și principiul lui D'Alembert și vă permite să compuneți ecuații diferențiale de mișcare ale oricărui sistem mecanic. Oferă o metodă generală de rezolvare a problemelor de dinamică.
Secvență de compilare:
a) forțele specificate care acționează asupra acestuia sunt aplicate fiecărui corp, iar forțele și momentele perechilor de forțe inerțiale sunt de asemenea aplicate condiționat;
b) informează sistemul asupra posibilelor mișcări;
c) întocmește ecuații pentru principiul mișcărilor posibile, considerând sistemul în echilibru.
Trebuie remarcat faptul că ecuația generală a dinamicii poate fi aplicată și sistemelor cu conexiuni neideale, doar că în acest caz reacțiile legăturilor neideale, precum forța de frecare sau momentul de frecare de rulare, trebuie clasificate ca forțe active. .
Lucrările privind deplasarea posibilă atât a forțelor active, cât și a forțelor inerțiale sunt căutate în același mod ca lucrările elementare privind deplasarea efectivă:
Munca de forta posibila: .
Lucrare posibilă a momentului (pereche de forţe): .
Coordonatele generalizate ale unui sistem mecanic sunt parametrii q 1 , q 2 , ..., q S, independenti unul de celălalt, de orice dimensiune, care determină în mod unic poziția sistemului în orice moment.
Numărul de coordonate generalizate este egal cu S - numărul de grade de libertate ale sistemului mecanic. Poziția fiecărui punct ν al sistemului, adică vectorul lui rază, în cazul general, poate fi întotdeauna exprimată în funcție de coordonatele generalizate:
Ecuația generală a dinamicii în coordonate generalizate arată ca un sistem de S ecuații, după cum urmează:
……..………. ;
………..……. ;
iată forța generalizată corespunzătoare coordonatei generalizate:
a este forța inerțială generalizată corespunzătoare coordonatei generalizate:
Numărul de mișcări posibile reciproc independente ale unui sistem se numește numărul de grade de libertate ale acestui sistem. De exemplu. o minge pe un plan se poate mișca în orice direcție, dar orice posibilă mișcare a acesteia poate fi obținută ca sumă geometrică a două mișcări de-a lungul a două axe reciproc perpendiculare. Un corp rigid liber are 6 grade de libertate.
Forțe generalizate. Pentru fiecare coordonată generalizată se poate calcula forța generalizată corespunzătoare Q k.
Calculul se face conform acestei reguli.
Pentru a determina forța generalizată Q k, corespunzătoare coordonatei generalizate q k, trebuie să dați acestei coordonate o creștere (creșteți coordonatele cu această sumă), lăsând toate celelalte coordonate neschimbate, să calculați suma muncii tuturor forțelor aplicate sistemului asupra deplasărilor corespunzătoare de puncte și să o împărțiți la incrementul de coordonata:
unde este deplasarea i-acel punct al sistemului, obtinut prin schimbare k-acea coordonata generalizata.
Forța generalizată se determină folosind munca elementară. Prin urmare, această forță poate fi calculată diferit:
Și deoarece există o creștere a vectorului rază datorită creșterii coordonatei cu alte coordonate constante și timp t, relația poate fi definită ca o derivată parțială. Apoi
unde coordonatele punctelor sunt funcții de coordonate generalizate (5).
Dacă sistemul este conservator, adică mișcarea are loc sub influența forțelor potențiale ale câmpului, ale căror proiecții sunt , unde , iar coordonatele punctelor sunt funcții ale coordonatelor generalizate, atunci
Forța generalizată a unui sistem conservator este derivata parțială a energiei potențiale de-a lungul coordonatei generalizate corespunzătoare cu semnul minus.
Desigur, atunci când se calculează această forță generalizată, energia potențială ar trebui determinată în funcție de coordonatele generalizate
P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).
Note.
Primul. La calcularea forțelor de reacție generalizate, conexiunile ideale nu sunt luate în considerare.
Al doilea. Dimensiunea forței generalizate depinde de dimensiunea coordonatei generalizate.
Ecuații Lagrange de al 2-lea fel sunt derivate din ecuația generală a dinamicii în coordonate generalizate. Numărul de ecuații corespunde numărului de grade de libertate:
Pentru a compila ecuația Lagrange de al 2-lea fel, se selectează coordonatele generalizate și se găsesc viteze generalizate . Se găsește energia cinetică a sistemului, care este o funcție de viteze generalizate , și, în unele cazuri, coordonate generalizate. Se efectuează operaţiile de diferenţiere a energiei cinetice furnizate de laturile stângi ale ecuaţiilor Lagrange.Expresiile rezultate se echivalează cu forţe generalizate, pentru aflarea cărora, pe lângă formulele (26), la rezolvarea problemelor se folosesc adesea următoarele:
În numărătorul din partea dreaptă a formulei se află suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active asupra posibilei deplasări a sistemului corespunzătoare variației coordonatei i-a generalizate - . Cu această posibilă mișcare, toate celelalte coordonate generalizate nu se schimbă. Ecuațiile rezultate sunt ecuații diferențiale ale mișcării unui sistem mecanic cu S grade de libertate.
Principiul deplasărilor posibile este formulat pentru rezolvarea problemelor statice folosind metode dinamice.
Definiții
Conexiuni se numesc toate corpurile care limitează mişcarea corpului în cauză.
Ideal se numesc conexiuni, a căror activitate de reacții la orice posibilă deplasare este egală cu zero.
Numărul de grade de libertate a unui sistem mecanic este numărul de astfel de parametri independenți reciproc cu ajutorul cărora poziția sistemului este determinată în mod unic.
De exemplu, o bilă situată pe un plan are cinci grade de libertate, iar o balama cilindrică are un grad de libertate.
În general, un sistem mecanic poate avea un număr infinit de grade de libertate.
Mișcări posibile vom numi astfel de mișcări care, în primul rând, sunt permise prin conexiuni suprapuse și, în al doilea rând, sunt infinitezimale.
Mecanismul manivelă-glisor are un grad de libertate. Următorii parametri pot fi acceptați ca posibile mișcări: , X si etc.
Pentru orice sistem, numărul de mișcări posibile independente unul de celălalt este egal cu numărul de grade de libertate.
Fie ca un sistem să fie în echilibru și conexiunile impuse acestui sistem să fie ideale. Apoi pentru fiecare punct al sistemului putem scrie ecuația
,
(102)
Unde 
- rezultanta forţelor active aplicate unui punct material;
- rezultanta reacţiilor de legătură.
Înmulțiți (102) scalar cu vectorul posibilei mișcări a punctului 
,
deoarece conexiunile sunt ideale, așa este întotdeauna 
, ramane suma lucrarilor elementare ale fortelor active care actioneaza asupra punctului
.
(103)
Ecuația (103) poate fi scrisă pentru toate punctele materiale, însumând pe care le obținem
.
(104)
Ecuația (104) exprimă următorul principiu al posibilelor mișcări.
Pentru echilibrul unui sistem cu conexiuni ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă mișcare a sistemului să fie egală cu zero.
Numărul de ecuații (104) este egal cu numărul de grade de libertate ale unui sistem dat, ceea ce reprezintă un avantaj al acestei metode.
Ecuația generală a dinamicii (principiul D'Alembert-Lagrange)
Principiul deplasărilor posibile face posibilă rezolvarea problemelor statice folosind metode dinamice; pe de altă parte, principiul lui d'Alembert oferă o metodă generală de rezolvare a problemelor dinamice folosind metode statice. Prin combinarea acestor două principii, putem obține o metodă generală de rezolvare a problemelor din mecanică, care se numește principiul D'Alembert-Lagrange.
.
(105)
Când un sistem se mișcă cu conexiuni ideale în fiecare moment de timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor inerțiale asupra oricărei mișcări posibile a sistemului va fi egală cu zero.
În formă analitică, ecuația (105) are forma
Ecuații Lagrange de al doilea fel
Coordonate generalizate (q) Aceștia sunt parametri care sunt independenți unul de celălalt și care determină în mod unic comportamentul unui sistem mecanic.
Numărul de coordonate generalizate este întotdeauna egal cu numărul de grade de libertate ale sistemului mecanic.
Orice parametri care au orice dimensiune pot fi aleși ca coordonate generalizate.
N 
De exemplu, atunci când studiem mișcarea unui pendul matematic, care are un grad de libertate, ca coordonată generalizată q parametrii pot fi acceptati:
X(m), y(m) – coordonatele punctului;
s(m) – lungimea arcului;
(m 2) – zona sectorului;
(rad) – unghi de rotație.
Pe măsură ce sistemul se mișcă, coordonatele sale generalizate se vor schimba continuu în timp
Ecuațiile (107) sunt ecuațiile de mișcare ale sistemului în coordonate generalizate.
Se numesc derivatele coordonatelor generalizate în raport cu timpul viteze generalizate ale sistemului
.
(108)
Dimensiunea vitezei generalizate depinde de dimensiunea coordonatei generalizate.
Orice alte coordonate (carteziane, polare etc.) pot fi exprimate prin coordonate generalizate.
Alături de conceptul de coordonată generalizată este introdus și conceptul de forță generalizată.
Sub forta generalizataînțelegeți o cantitate egală cu raportul sumei lucrărilor elementare ale tuturor forțelor care acționează asupra sistemului la o anumită creștere elementară a coordonatei generalizate la această creștere
,
(109)
Unde S– indice de coordonate generalizat.
Dimensiunea forței generalizate depinde de dimensiunea coordonatei generalizate.
Pentru a găsi ecuațiile de mișcare (107) ale unui sistem mecanic cu conexiuni geometrice în coordonate generalizate, se folosesc ecuații diferențiale în forma Lagrange de al doilea fel.
.
(110)
B (110) energie cinetică T sistemul este exprimat prin coordonate generalizate q Sși viteze generalizate 
.
Ecuațiile lui Lagrange oferă o metodă unificată și destul de simplă pentru rezolvarea problemelor de dinamică. Tipul și numărul de ecuații nu depind de numărul de corpuri (puncte) incluse în sistem, ci doar de numărul de grade de libertate. Cu legături ideale, aceste ecuații fac posibilă eliminarea tuturor reacțiilor de legătură necunoscute anterior.
Este necesar și suficient ca suma muncii, toate forțele active aplicate sistemului pentru orice posibilă mișcare a sistemului, să fie egală cu zero.
Numărul de ecuații care pot fi compilate pentru un sistem mecanic, pe baza principiului posibilelor deplasări, este egal cu numărul de grade de libertate ale acestui sistem mecanic.
Literatură
- Targ S. M. Curs scurt de mecanica teoretica. Manual pentru colegii – ed. a X-a, revăzută. si suplimentare - M.: Mai sus. scoala, 1986.- 416 p., ill.
- Curs de bază de mecanică teoretică (partea întâi) N. N. Buchgolts, Editura Nauka, Redacția principală a literaturii de fizică și matematică, Moscova, 1972, 468 p.
Fundația Wikimedia. 2010.
Vedeți care este „Principiul posibilelor deplasări” în alte dicționare:
principiul miscarilor posibile
Unul dintre principiile variaționale ale mecanicii, care stabilește condiția generală pentru echilibrul mecanic. sisteme. După V. p.p., pentru echilibru mecanic. sisteme cu conexiuni ideale (vezi CONEXIUNI MECANICE) este necesar și suficient ca suma de lucru dAi... ... Enciclopedie fizică
Dicţionar enciclopedic mare
PRINCIPIUL MIȘCĂRILOR POSIBILE, pentru echilibrul unui sistem mecanic este necesar și suficient ca suma muncii tuturor forțelor care acționează asupra sistemului pentru orice posibilă mișcare a sistemului să fie egală cu zero. Principiul posibilelor mișcări se aplică atunci când... ... Dicţionar enciclopedic
Unul dintre principiile variaționale ale mecanicii (Vezi Principiile variaționale ale mecanicii), care stabilește condiția generală pentru echilibrul unui sistem mecanic. Potrivit V. p.p., pentru echilibrul unui sistem mecanic cu conexiuni ideale (vezi Conexiuni ... ... Marea Enciclopedie Sovietică
Principiul vitezei virtuale, principiul variațional diferențial al mecanicii clasice, exprimă cele mai generale condiții de echilibru ale sistemelor mecanice constrânse de conexiuni ideale. Potrivit lui V. p. p. mechan. sistemul este in echilibru... Enciclopedie matematică
Pentru echilibrul unui sistem mecanic, este necesar și suficient ca suma muncii efectuate de toate forțele care acționează asupra sistemului pentru orice posibilă mișcare a sistemului să fie egală cu zero. Principiul posibilelor deplasări este aplicat în studiul condițiilor de echilibru... ... Dicţionar enciclopedic
Pentru echilibru mecanic. Este necesar și suficient pentru sistem ca suma muncii efectuate de toate forțele care acționează asupra sistemului pentru orice posibilă mișcare a sistemului să fie egală cu zero. V. p. p. este utilizat în studierea condiţiilor de echilibru ale sistemelor mecanice complexe. sisteme... ... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic
principiul deplasărilor virtuale- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. principiul deplasării virtuale vok. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. principiul deplasărilor virtuale, m; principiul miscarilor posibile, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas
Unul dintre principiile variaționale ale mecanicii, conform romului pentru o anumită clasă de mișcări mecanice în comparație între ele. sistem, cel valabil este acela pentru care fizic. dimensiune, numit acțiune, are cea mai mică (mai precis, staționară)… … Enciclopedie fizică
Cărți
- Mecanica teoretică. În 4 volume. Volumul 3: Dinamica. Mecanica analitica. Texte de curs. Vultur al Ministerului Apărării al Federației Ruse, Bogomaz Irina Vladimirovna. Manualul conține două părți ale unui singur curs de mecanică teoretică: dinamică și mecanică analitică. Prima parte discută în detaliu prima și a doua problemă de dinamică, de asemenea...
Figura 2.4
Soluţie
Să înlocuim sarcina distribuită cu o forță concentrată Q = q∙DH. Această forță este aplicată în mijlocul segmentului D.H.- la punct L.
Putere F Să-l descompunem în componente, proiectându-l pe axa: orizontală Fxcosαși verticală F y sinα.
Figura 2.5
Pentru a rezolva o problemă folosind principiul deplasărilor posibile, este necesar ca structura să se poată mișca și, în același timp, să existe o reacție necunoscută în ecuația de lucru. În sprijinul A reacția este descompusă în componente X A, Y A.
Pentru determinare X A modifica designul suportului A astfel încât punctul A nu se putea deplasa decât orizontal. Să exprimăm deplasarea punctelor structurii printr-o posibilă rotație a piesei CDBîn jurul punctului B la un unghi δφ 1, Part A.K.C. structura în acest caz se rotește în jurul punctului C V1— centrul de rotație instantaneu (Figura 2.5) la un unghi δφ 2, și puncte în mișcare LȘi C- voi
δS L = BL∙δφ 1;
δS C = BC∙δφ 1.
În același timp
δS C = CC V1 ∙δφ 2
δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1.
Este mai convenabil să se construiască ecuația de lucru prin lucrul momentelor unor forțe date în raport cu centrele de rotație.
Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0.
Reacţie Y A nu face treaba. Transformând această expresie, obținem
Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0.
Redus cu δφ 1, obținem o ecuație din care putem găsi cu ușurință X A.
Pentru determinare Y A Structura de sprijin A Să-l schimbăm astfel încât atunci când mutam punctul A numai forța a făcut treaba Y A(Figura 2.6). Să luăm posibila mișcare a unei părți a structurii ca BDC rotație în jurul unui punct fix B — δφ 3.
Figura 2.6
Pentru un punct C δS C = BC∙δφ 3, centrul de rotație instantaneu pentru o parte a structurii A.K.C. va fi un punct C V2, și mutând punctul C se va exprima.
1. Coordonate generalizate și număr de grade de libertate.
Când un sistem mecanic se mișcă, toate punctele sale nu se pot mișca în mod arbitrar, deoarece sunt limitate de conexiuni. Aceasta înseamnă că nu toate coordonatele punctului sunt independente. Poziția punctelor este determinată prin specificarea doar a coordonatelor independente.
coordonate generalizate. Pentru sistemele holonomice (adică cele ale căror conexiuni sunt exprimate prin ecuații care depind doar de coordonate), numărul de coordonate generalizate independente ale unui sistem mecanic egal cu numărul de grade de libertate acest sistem.
Exemple:
Poziția tuturor punctelor este determinată în mod unic de unghiul de rotație
manivelă.
Un grad de libertate.
2. Poziția unui punct liber în spațiu este determinată de trei coordonate independente una de cealaltă. De aceea trei grade de libertate.
3. Corp rotativ rigid, poziție determinată de unghiul de rotație j . Un grad de libertate.
4. Un corp rigid liber a cărui mișcare este determinată de șase ecuații - șase grade de libertate.
2. Posibilele mișcări ale sistemului mecanic.
Conexiuni ideale.
Posibil deplasările sunt mișcări infinitezimale imaginare permise la un moment dat de conexiunile impuse sistemului. Posibilele mișcări ale punctelor unui sistem mecanic sunt considerate cantități de ordinul întâi de micime, prin urmare, mișcările curbilinii ale punctelor sunt înlocuite cu segmente drepte trasate tangențial la traiectoriile de mișcare a punctelor și sunt desemnate dS.
dS A = dj . O.A.
Toate forțele care acționează asupra unui punct material sunt împărțite în forțe specificate și forțe de reacție.
Dacă suma muncii efectuate de reacțiile legăturilor la orice posibilă deplasare a sistemului este egală cu zero, atunci astfel de legături se numesc ideal.
3. Principiul mișcărilor posibile.
Pentru echilibrul unui sistem mecanic cu conexiuni ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă mișcare a sistemului să fie egală cu zero.
Sens principiul miscarilor posibile:
1. Sunt luate în considerare doar forțele active.
2. Oferă în general condiția de echilibru pentru orice sistem mecanic, în timp ce în statică este necesar să se ia în considerare echilibrul fiecărui corp al sistemului separat.
Sarcină.
Pentru o poziție dată a mecanismului manivelă-glisor în echilibru, găsiți relația dintre moment și forță dacă OA = ℓ.
Ecuația generală a dinamicii.
Principiul deplasărilor posibile oferă o metodă generală de rezolvare a problemelor de statică. Pe de altă parte, principiul lui d'Alembert permite utilizarea metodelor statice pentru a rezolva probleme dinamice. Prin urmare, prin aplicarea simultană a acestor două principii se poate obține o metodă generală de rezolvare a problemelor de dinamică.
Să luăm în considerare un sistem mecanic căruia îi sunt impuse constrângeri ideale. Dacă forțele de inerție corespunzătoare sunt adăugate în toate punctele sistemului, cu excepția forțelor active și a reacțiilor de cuplare care acționează asupra lor, atunci conform principiului lui d'Alembert, sistemul de forțe rezultat va fi în echilibru. Aplicând principiul mișcărilor posibile, obținem:
Deoarece conexiunile sunt ideale, atunci:
Această egalitate reprezintă ecuația generală a dinamicii.
Din aceasta rezultă principiul d'Alembert-Lagrange– când un sistem se deplasează cu conexiuni ideale în fiecare moment de timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor inerțiale la orice mișcare posibilă a sistemului va fi egală cu zero.
Sarcină.
În liftul la angrenaj 2 greutate 2G cu raza R2 =R cuplul aplicat M=4GR.
Determinați accelerația sarcinii ridicate A greutate G, neglijând greutatea frânghiei și frecarea în osii. O tobă pe care este înfășurată frânghia și un angrenaj atașat rigid de ea 1 , au o greutate totală 4Gși raza de rotație r = R. Raza tamburului R A = R si angrenaje 1
R1 = 0,5R.
Să descriem toate forțele care acționează, direcția accelerațiilor și posibilele deplasări.
________________
Să substituim în ecuația generală a dinamicii
Să exprimăm deplasarea în termeni de unghi de rotație δφ 1
Să înlocuim valorile
δφ 1 ≠0
Să exprimăm toate accelerațiile prin cele necesare un Ași egalați expresia dintre paranteze cu zero
Să înlocuim valorile
Principiul mișcărilor posibile.
a = 0,15 m
b = 2a = 0,3 m
m = 1,2 Nm _________________
x B; la B; N / A ; M p
Soluţie: Să aflăm reacția suportului mobil A de ce să renunțăm mental la această conexiune, înlocuindu-i acțiunea cu o reacție N / A
Posibila mișcare a tijei AC este rotația sa în jurul balamalei CU la un unghi dj. Nucleu Soare rămâne nemișcat.
Să creăm o ecuație a muncii, ținând cont de faptul că munca forțelor la întoarcerea unui corp este egal cu produsul momentului de forță față de centrul de rotație și unghiul de rotație al corpului.
Pentru a determina reacțiile de fixare rigidă într-un suport ÎN mai întâi găsiți momentul reacției Domnul. Pentru a face acest lucru, să aruncăm conexiunea care împiedică rotirea tijei Soare, înlocuind prinderea rigidă cu un suport articulat-fix și aplicând un moment Domnul .
Să spunem tijei o posibilă rotație cu un unghi DJ 1.
Să creăm o ecuație de lucru pentru tijă Soare:
Să definim deplasările:
Pentru a determina componenta verticală a reacției de fixare rigidă, aruncăm legătura care împiedică mișcarea verticală a punctului ÎN, înlocuind prinderea rigidă cu una glisantă (rotirea este imposibilă) și aplicând reacția:
Să spunem partea stângă (tijă) Soare cu glisor ÎN) viteza posibilă V B mișcare înainte în jos. Nucleu AC se va roti în jurul unui punct A .
Să creăm o ecuație de lucru:
Pentru a determina componenta orizontală a reacției de fixare rigidă, aruncăm legătura care împiedică mișcarea orizontală a punctului ÎNînlocuirea etanșării rigide cu una glisantă și aplicarea reacției:
Să spunem partea stângă (glisor) ÎNîmpreună cu tija Soare) viteza posibilă V B mișcare înainte spre stânga. De la sprijin A pe role, apoi partea dreaptă se va deplasa înainte cu aceeași viteză. Prin urmare .
Să creăm o ecuație de lucru pentru întreaga structură.
Pentru a verifica corectitudinea soluției, întocmim ecuațiile de echilibru pentru întregul sistem:
Condiția este îndeplinită.
Răspuns: yB = -14,2 H; XB = -28,4 H; NA = 14,2 H; V P = 3,33 Nm.
Viteze generalizate. Forțe generalizate.
Se numesc mărimi independente care determină în mod unic poziția tuturor punctelor unui sistem mecanic coordonate generalizate. – q
Dacă sistemul are S grade de libertate, atunci poziția acestuia va fi determinată S coordonate generalizate:
q 1 ; q2; ...; qs.
Deoarece coordonatele generalizate sunt independente unele de altele, incrementele elementare ale acestor coordonate vor fi, de asemenea, independente:
dq 1; dq 2 ; ...; dq S .
Mai mult, fiecare dintre cantități dq 1; dq 2 ; ...; dq S determină mișcarea posibilă corespunzătoare a sistemului, independent de celelalte.
Pe măsură ce sistemul se mișcă, coordonatele sale generalizate se vor schimba continuu în timp; legea acestei mișcări este determinată de ecuațiile:
, …. ,
Acestea sunt ecuațiile de mișcare ale sistemului în coordonate generalizate.
Derivatele coordonatelor generalizate în raport cu timpul se numesc viteze generalizate ale sistemului:
Marimea depinde de marime q.
Considerăm un sistem mecanic format din n puncte materiale asupra cărora acționează forțele F1, F2, Fn. Lasă sistemul să aibă S grade de libertate și poziția sa este determinată de coordonate generalizate q 1 ; q2; q 3. Să informăm sistemul despre o posibilă mișcare la care coordona q 1 primește o creștere dq 1, iar coordonatele rămase nu se modifică. Atunci vectorul rază al punctului primește un increment elementar (dr k) 1. Acesta este incrementul pe care îl primește vectorul rază atunci când se schimbă doar coordonatele q 1 prin suma dq 1. Coordonatele rămase rămân neschimbate. De aceea (dr k) 1 calculat ca diferență parțială:
Să calculăm munca elementară a tuturor forțelor aplicate:
Să-l scoatem din paranteze dq 1, primim:
Unde - putere generalizată.
Asa de, forta generalizata – acesta este coeficientul pentru incremente ale coordonatei generalizate.
Calculul forțelor generalizate se rezumă la calculul posibilelor lucrări elementare.
Dacă toată lumea se schimbă q, Acea:
Conform principiului posibilelor deplasări, pentru ca sistemul să fie în echilibru este necesar și suficient ca SdА а к = 0. În coordonate generalizate Î 1. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dq s = 0 prin urmare, Pentru echilibrul sistemului este necesar și suficient ca forțele generalizate corespunzătoare posibilelor deplasări selectate pentru sistem și, prin urmare, coordonatele generalizate, au fost egale cu zero.
Q1 = 0; Q2 = 0; … Q s = 0.
Ecuații Lagrange.
Folosind ecuația dinamică generală pentru un sistem mecanic, pot fi găsite ecuațiile de mișcare ale sistemului mecanic.
4) determinați energia cinetică a sistemului, exprimați această energie prin viteze generalizate și coordonate generalizate;
5) găsiți derivatele parțiale corespunzătoare ale T prin și și înlocuiți toate valorile în ecuație.
Teoria impactului.
Mișcarea unui corp sub acțiunea forțelor obișnuite se caracterizează printr-o schimbare continuă a modulelor și direcțiilor vitezelor acestui corp. Cu toate acestea, există cazuri în care vitezele punctelor corpului și, prin urmare, impulsul corpului rigid, suferă modificări finite într-o perioadă foarte scurtă de timp.
Fenomen, în care, într-o perioadă de timp neglijabil de mică, vitezele punctelor de pe corp se modifică într-o cantitate finită se numește a sufla.
Putere, sub acțiunea cărora are loc un impact, sunt numite tobe.
O perioadă scurtă de timp t, în timpul căreia are loc impactul se numește timpul de impact.
Deoarece forțele de impact sunt foarte mari și se modifică în limite semnificative în timpul impactului, în teoria impactului, nu forțele de impact în sine, ci impulsurile lor sunt considerate ca o măsură a interacțiunii corpurilor.
Impulsuri ale forțelor non-impact în timp t vor fi valori foarte mici și pot fi neglijate.
Teorema despre modificarea impulsului unui punct la impact:
Unde v– viteza punctului la începutul impactului,
u– viteza punctului la finalul impactului.
Ecuația de bază a teoriei impactului.
Deplasarea punctelor într-o perioadă foarte scurtă de timp, adică în timpul impactului, va fi și ea mică și, prin urmare, vom considera corpul nemișcat.
Deci, putem trage următoarele concluzii despre acțiunea forțelor de șoc:
1) acţiunea forţelor non-impact în timpul impactului poate fi neglijată;
2) deplasările de puncte ale corpului în timpul impactului pot fi neglijate și corpul poate fi considerat nemișcat în timpul impactului;
